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利用相似性估算边长的比例

当两个直角三角形的锐角角度相同时,三角形对应边的比例也是相同的。 Sal Khan 创建

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视频字幕

题目给出了 关于这三个三角形的一些信息。 然后题目说,“利用其中一个三角形”, 所以利用这三个当中的一个三角形, “来推测比例”。 边长PN除以 边长MN的比例。 所以题目要求我们求出PN/MN的比例。 请暂停视频尝试独立解题。 好的,我们一起来解题吧。 现在,因为题目要求的是求这个比例 以及想让我们真实计算出来 或者说至少能预估这个值, 这里涉及到的知识点可能是相似性。 因此我的思路是, 这其中是否有一个三角形 跟这一个三角形是相似的呢? 相似三角形的条件是 其中两个角是相等的。 因为其中两个角是相等的, 那么这就意味着 第三个角肯定也相等,因为这第三个角 的大小完全取决于另外两个角的角度。 所以这是35度角。 然后这里有个90度角。 在这些选项里, 这个没有35度角,有一个90度, 这个没有35度,有一个90度。 但第二个三角形有一个35度角, 一个90度角,以及一个55度角。 如果你算一下, 就知道35加90加上这个 就等于180度,你就知道 这个角同样是55度。 已知三角形PNM 和第二个三角形 的所有这些角度都相等, 我们就可以得知这两个三角形是相似的。 因此对应边的比例 也是相等的。 我们这里说的是三角形与三角形之间的对应边长比例。 单看同一个三角形的话 三角形内的边长比例也是同理。 因此如果要求PN/MN, 我试着用有色笔来标注。 那么PN,也就是这一段, 对应的边 的对角是35度角。 所以对应的是这一条边, 在第二个三角形的这里。 然后MN,也就是我 在用蓝色来涂的这条边, 可能得花更多的时间。 是对应55度的角。 所以55度对应的边 就是这里。 现在,因为这两个三角形具有相似性, 所以这条红边,红边的边长 除以蓝边的边长比例 在这两个三角形里都是相等的。 因此PN,我这么写。 PN段的长度除以 MN段的长度就等于 5.7/8.2。 因为对应边长 的比例都是相等的, 无论你看的是哪一个三角形。 所以如果看的是35度的对应边 那就是5.7除以8.2。 我要说清楚的是,这并不代表 这条边长就是5.7 或者这条边长是8.2。 我们只能在全等三角形的条件下 得出这样的结论。 在相似性的条件下,我们已知比例, 如果我们只看这两个三角形里 红边对应蓝边的比例, 就是相等的。 所以这样我们就能求出比例。 来看一下,5.7/8.2, 哪一个选项是接近的呢? 我们只能说这是一个预估值, 如果要计算出来的,看一下, 大于0.57。 因为8.2小于10。 因此我们要排除这个选项。 然后5.7小于8.2。 所以不可能大于1。 所以我们就剩这两个选项了。 最简单的做法是 直接笔算做除法。 5.7除以8.2就等同于 57除以82。 我会把数位加在这。 所以57不能被整除。 570除以82呢? 我估计是6, 可能是7,看着像。 所以7乘以2是14。 然后7乘以8是56。 这是57。 所以是比0.7要小一点。 这个数字有点大了。 所以我估算,应该等于0.6几这样。 所以我会选B,就是这个。