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函数 y=tan(x) 的图表

小撒根据切线的单位圆定义绘制出了它的图表。 Sal Khan 创建

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视频字幕

这个视频里我想做的是 熟悉tanθ的图像 为了做这些,我先画一个单位圆 以便我们能够清晰的看到 不同的θ对应的tanθ的值 我们假设这是我的y轴,这是我的x轴 这是我们的x轴 这个圆像这样一样 我们已经知道 这是对三角函数的单位圆定义的复习 如果我有一个角,一个θ角 一边是正x轴 另外一个,这是另外一边 所以角度像这样一样 这条线跟圆相交到这一点 这个点的坐标 x轴和y轴的坐标,是sinθ 对不起,是x轴的坐标是cosθ 是cosθ,sinθ x轴的坐标是cosθ y轴的坐标是sinθ 我们要求出tanθ 我们知道tanθ 等于cosθ除以sinθ 或者我们从原点来看 先求对应y轴的值 y轴的值除以x轴的值 也就是这条线的斜率 等于y的变量除以x的变量 这个就是斜率 斜率,我猜你会说 这条线的斜率 这个能够让我们看到 不同的tanθ的值 我们把圆稍微清理一下 所以我们可以 我们看下 我们来做一个表格 我们来做一个表格 对不同的θ值 tanθ的值等于多少 tanθ 我们先从最简单的开始,如果θ等于0弧度 如果θ等于0弧度,这条线的斜率是多少? 这条线,斜率是0 当x变化是,y根本没有变 我们想一下 我来选一些 对我们非常容易去想正切值 是多少的数值 它们将会帮助我们 思考图的形状 tanθ对应的y轴是多少 我们先看θ等于π/4弧度 这个值,θ等于π/4 为什么这个点是有趣的 某些时候,想数字比较容易 这个是45°角 这个时候,你的x坐标等于y坐标 是相等的 你可能会记得,他是2/2的平方根 是2/2的平方根 但是,重要的是 无论你如何移动x坐标 你移动相同的y坐标 所以这条线的斜率 等于1 或者用另外一种方式来想 tanθ等于1 或者sinθ除以cosθ 它们是一样的 你最后都会得到1 我来把这里清空一下 因为我将要使用同一个圆 所以,如果θ等于π/4 这个时候tanθ等于1 现在,如果θ等于-π/4呢? 它就在这里 我画一个小三角形在这里 所以,当x,x轴坐标 是2/2平方根,我们知道 我们已经看了这个很多次,2/2的平方根 实际上,我们好好标一下 这里,θ等于 -π/4弧度 如果你希望用角度 这个等于-45° 现在,你的sin和cos值 将会是相反的 cos值等于2/2的平方根 与圆交点的横坐标是 2/2的平方根 纵坐标是2/2的负的平方根 2/2的负的平方根 这个时候tan的值是多少? 等于sin的值除以cos的值 等于-1,你可以看到 不论你x的方向怎么移动 你会在y轴上朝着相反的位置移动 在y轴上朝着相反的位置移动 我们来稍微清理一下 因为我还要继续用这个圆 你看到了 这个等于-1 这个等于-1 实际上,让我们画一些点 我们来假设这个是θ的轴 如果你看到这些,这个是θ轴 这是y轴,这是y轴 我们马上可以看到tan0等于0 tanπ/4等于1,用弧度来思考 tan-π/4等于-1 我们来想一下 现在,如果你仅仅看到这些,你可能会说 “哦,或者这是某种类型的直线” 但是我们会很明显地看到这不是一条直线 因为,如果我们的角度不断靠近 不断地靠近π/2 这条线的斜度是多少 这是θ 我们不断地向着π/2靠近 这条线,我想我会说 越来越接近垂直 斜率变得越来越大 如果你一直向π/2靠近 那些点的斜率没有定义 但是它不断靠近 一种来理解这个的方式,它接近正无穷 随着你不断接近π/2 我来画一个 我要画一条垂直的渐近线 这π/2这里 因为他不会是 我猜一种来思考的方式 是不断靠近正无穷 所以看起来会像是这样 看起来会像是这样 当你不断地向π/2靠近 这条线的斜率接近正无穷 如果角度不断地向-π/2靠近 会发生什么? 会发生什么? 这时,斜率会在负数方向 变得越来越小 不断靠近负无穷 不断靠近负无穷 我来画一下 再一次,这里也是没有定义的 我们画一条垂直的渐近线 我们不断接近负无穷 我们不断接近负无穷 这个就是tanθ在这个区间内 对应的图像 我猜我们可以说,θ轴,我们可以继续 我们可以继续 因为,如果我们角度,在这里,越过了π/2 我们可以说,我们刚刚越过了π/2 我们越过了它 现在的斜率多少? 这条线的斜率是多少? 我们可以说这条线的斜率是非常大的负值 它看起来像,我们画一下 是非常大的负值 所以,图像跳下来这边 再一次非常大的负值 非常大的负值 这个时候,当我们增加θ的值 当我们增加θ,tanθ的值 变得越来越大, 至到 至到 我来画一下 到这个角度 这个角度是多少? 这个角度我还没有告诉你们 我们可以说,这个角是 3π/4 我为什么选这个点 因为这等于π/2加上π/4 或者你可以说这个等于2π/4加上π/4 等于3π/4 这是为什么这个点有趣的原因 因为这是另一个 形成另一个,我猜你可以说 π除以2个三角形 或者1个45-45-90的三角形 当x和y轴,或者x和y的距离 有相同的大小 但是现在,x的值是负的 y的值是正的 所以这里的斜率 是跟-π/4一样的斜率 我们有另外一个等于-1的点 在3π/4,我们有另外一个等于-1的斜率 这个时候我们不断地向着π增加角度 现在斜率又回到0 我们的斜率又回到0 当越过0的时候 当我们再增加π/4的时候 我们的斜率又回到了1 我们的斜率回到了1 再一次,当我们靠近 3π/2的时候 我们的斜率变得越来越大 不断地接近正无穷 这个斜率意味着,如果你仅仅在x方向移动一点点 你会在y的方向移动非常多 所以,再一次,图像会变成类似这样 我们用一种颜色来画,以便你能够看清楚 这个图像看起来应该是这样的 它会继续向这样一样 我来继续对每一个π的弧度画下去 实际上,我用虚线表示 每一个π弧度,一直画下去 我们往回看,π,我可以画出渐近线 我可以画出渐近线 我们画一下 所以tan的图像 tanθ的图像看起来 看起来应该是这样的 我们很明显地看到,是周期性的 我们可以在两个方向上 一直画下去