函数 y=sin(x) 的图表

我们问的是正弦函数 的定义域和值域是什么? 为了求出答案 我们画一个正弦函数 左边我们画一个圆 我可以把它截的短一点 我们不需要那么大 我们把它擦掉 我在左边有一个圆 我会用这个圆来求 θ的正弦值 在这个圆上，这是x，这是y 你甚至可以这么做 我们可以使用X或Y，所以对一个特定的θ 我们可以看到这个角的末端 和单位圆的交点，然后， 那个点对应的Y轴 就是sin θ的值 我在这里画一下 Y轴是竖轴 我们现在假设Y轴是sinθ Y轴是sinθ 横轴我们不画X，我们假设横轴是θ 你可以假设θ是一个单独的变量 它的单位是弧度 所以，我们我们要选很多θ 然后求出对应的sinθ的值 然后把它画出来 我们在这里画一个小小的表格 我们画一个小表格 这里我有θ 这里我们求出 sinθ的值 我们可以取一些θ的值 我们可以从0开始 我们从θ=0开始 这个时候sinθ等于多少？ 当角度是0的时候 我们代入这个圆里 对应Y轴的坐标还是0 这个是（1，0）点 对应的Y坐标是0，所以sinθ的值是0 我们可以说 sin0=0 sin0=0 我们下面看θ=π/2 θ=π/2 我们先求一些简单的数值 如果θ=π/2 这个等于一个90°的角 所以，这个角的边应该和Y轴重合 就像那样一样 这个边和圆相交的点是什么？ 这个点是（0，1） 所以，sin π/2等于多少？ sin π/2 就是这个点 对应的Y轴 是1 sin π/2 =1 我们继续往下看，你可能会看到一些规律 我们会围着这个圆转 我们想一下 如果θ=π 当θ=π，那么sin π等于多少？ 这个时候边与圆圈相交于这个点 坐标是（-1，0） Sin的数值是对应Y轴的坐标 这里是sin π sin π=0 我们再看看 3π/2 3π/2，我们看到我们已经 围绕着圆走了3/4 角的终边与单位圆相交 在这里 基于这些，sin 3π/2等于多少？ 这个点是负值 我们必须注意点，这个点是（0，-1） sinθ等于Y轴的坐标 如果轴的坐标是sinθ的值 那么θ的值是π/2 或者θ的值是3π/2 这时候sinθ等于-1 我们必须加倍小心 我们来完成整个圆 我们来算一下当θ等于2π的时候 我们选一种颜色，就用黄色吧 当θ等于2π的时候会怎么样 我们这个时候已经沿着圆转了一圈 然后回到我们开始的地方 这个时候Y轴的坐标是0 所有，sin2π的再一次等于0 如果我们持续计算 我们来看下如果我们持续增加角度 我们会看到同样的模式 我们来画一下 当θ等于0时，sinθ等于0 当θ等于π/2时， sinθ等于1 我们用同样的尺度 所以，sinθ等于1 我们画一下 这个在这个轴上，这个在这个轴上 我们可以看到他们是平行的 当θ等于π，sinθ等于0 所以当θ等于π，sinθ等于0 我们再次回到这里 当θ等于3π/2 应该在这里，3π/2 sinθ等于-1 这里是-1 我们用同样的标尺 我把这里设为-1 我们稍微往下画一点 我们把这里定为-1 sinθ等于-1 当θ等于2π时，sinθ等于0 当θ等于2π时，sinθ等于0 我们把这些点连起来 你可以试一下中间的点 你会得到一个 像这样的图形 看起来像这样的 我尽力徒手画出来 图看起来应该像这样一样 像这样的曲线被称为正弦曲线是有原因的 因为这个是正弦函数的曲线 像这样一样 但是这不是所有的图 我们可以继续画 我们可以在2π的基础上再增加π/2 如果你再增加π/2 在2π的基础上再增加π/2 你可以把这个当做2又1/2π 或者不管你怎么想 你将回到这里 你会回到 sinθ等于1 你会回到这个点 你可以继续往下画 加上π/2 你会回到这个点，在这里 所以这个曲线，sinθ的曲线 对任意值都是有意义的 任意你选择的θ值 任意的θ值 那么，负数怎么样？ 我很明显地同意，如果你持续增加θ的值 像这样一样，我们一直绕着圆增加 这样的规律就出现了 如果我们朝着相反的方向走呢？ 我们来试下 如果我们取θ等于-π/2 这个时候会发生什么 我们一起看下 θ等于-π/2，会在这里 我们会与圆相交在这里 Y轴坐标是-1 所以sin -π/2等于-1 我们看到这个图像在继续 图像在继续 所以sinθ对任何值都有效 对任意的θ，正的或负的 非负的，0，任意值 适用于任意值 我们回到问题 我可以一直画这个函数 我们回到问题 什么是定义域 什么是sinθ的值域 提示一下，定义域是 定义函数的所有输入 或者是函数的所有有效输入 这个函数会给出一个有效答案 所以sinθ的定义域是什么 好吧，我们已经看到了 我们可以把任意的θ放到这里 所以，你可以说sinθ的定义域是所有的数 所有的实数，所有的实数 那么值域呢 那么值域呢 回顾一下，值域在更专业的数学课上 被称作图像 是所有函数值的 取值的集合 那么这个集合是什么？ 这里的值域是什么？ Y=sinθ 可以取的值是多少 我们可以看到，值一直在 -1和1之间来回 从-1到1，再回到-1 它取所有中间的值 所以你可以看sinθ 它的取值总是小于等于1 并且总是 大于等于-1 所以你可以说， sinθ的值域是-1到1 的所有的数的集合，包括-1和1 这就是我们为什么用方括号而不是用圆括号