y=sin(x) 与 y=cos(x) 的交点

我们的问题是： 在θ 从0 到 2π 区间， y = sin (θ) 和 y = cos (θ) 的图像 有多少个交叉点？ 0 小于等于 θ， 而 θ 小于等于 2π。 所以要把 0 和 2π 包括在 需要考虑的值的范围之内。 要想解决这个问题， 让我来画一个关于 θ， cos(θ) 和 sin (θ) 的图表。 希望我们可以用它和单位圆 来做出 y = sin (θ) 和 y = cos(θ) 的图像。 然后我们再考虑它们有几次可以相交， 会在哪里相交。 我们开始。 首先，我们应该很清楚， 这是一个单位圆。 这是 x 轴，这是 y 轴。 我们在这里画出两个图像曲线。 这是 y 轴， 它是 θ 的函数， 横轴是 θ 而不是 x 。 首先，我们来看 当 θ 等于 0 时，函数值是什么。 当θ 等于0 时， 你们就在这个点上， 让我用不同的颜色。 在单位圆上，你们就在这个点。 它的坐标是什么？ 就是这一点， （1 ， 0） 根据这个坐标， 当θ 等于0 时，cos(θ) 等于什么？ cos(θ) 等于 1。 而 sin (θ) 等于 0。 这是在与单位元的交叉点上的 x 轴，对不起， 这是在与单位元的交叉点上的 x 坐标。 这是 y 坐标。 我们继续。 在 π/2 是怎样的呢？ π/2， 我们在这里。 坐标是什么？ 现在，x 是 0， y 是 1。 所以，cos(θ) 是 0， sin (θ) 是什么？ sin (θ) 将是 1。 这里就是它的 y 坐标。 现在我们继续往下看 π 。 现在我们继续往下看 π 。 我们在单位圆的这个点上。 这点坐标是什么？ 这是 （-1，0） cos(θ) 是什么？ 它是这里的 x 坐标，就是 -1。 而 sin (θ) 将是它的 y 坐标， 就是 0。 我们继续。 现在我们来看 3π/2， 一直走到 3π/2 这一点上， 坐标是什么？ 它是 （0，-1） cos(θ) 就是这点的 x 坐标， cos(θ) 将是 0 sin (θ) 是什么呢？ 它将是 -1。 最后，我们终于到了 2π。 我们完成了单位圆的一整圈。 我们转了整整一圈。 我们回到了这个点。 它的坐标与 角度等于 0 弧度时完全相同。 所以 cos(θ) 是什么？ 它是 1， 而 sin (θ) 是 0。 从上面的分析，我们可以做出图像草图。 并考虑它们在哪里会相交。 我们先来做 cos(θ) 。 当θ 等于0 ， 我来画一下，先标出这一点。 这是 y 等于 1， 这是 y 等于 -1。 那么，y = cos(θ)， 我开始画图，先看 θ = 0， cos(θ) = 1， cos(θ) = 1。 当 θ = π/2， cos(θ) = 0。 当 θ = π， cos(θ) = -1。 当 θ = 3π/2， cos(θ) = 0。 就是这里。 最后，当 θ = 2π， cos(θ) 又等于 1。 它的曲线看起来 是这样的。 我尽量把它画得好一点。 做一个光滑的曲线。 它看起来 应该是这样的。 这个曲线的样子，大家都熟悉。 在这个点，它应该是这样的。 这就是 y = cos(θ) 的图像。 现在我们来做 y = sin (θ) 的图像。 当 θ 等于0 ， sin (θ) = 0。 当θ 等于 π/2 ，sin (θ) = 1。 当θ 等于 π， sin (θ) = 0。 当θ 等于3 π/2， sin (θ) = -1。 它是 -1。 当θ 等于2π， sin (θ) = 0。 所以，sin (θ) 的图像 是这样的。 像这样， 我尽量把它画得好一些。 它看起来应当是这样。 目测一下， 我们来考虑这个问题。 有多少个点，y = sin (θ) 和 y = cos(θ) 可以相交呢？ 对于这个范围内的 θ ， θ 介于 0 和 2π 之间， 包括这两个点。 你们看这个图像， 你们可以看到有两个交点。 这里是一个交点， 还有个交点在这里。 这是在 0 和 2π 之间的交点。 这是一个周期性的图像。 如果图像继续下去，它们还会相交 但是如果只到2π， 当θ 在 2π 范围内， 我们会发现两个相交点。 现在我们看这两个交点是什么。 因为它们看起来 很像是在 0 和 π/2 之间， 和在 π 和 3π /2 之间， 那么，我们看是否从单位圆上可以找到 这些交点的值是什么。 看起来，这个交点是在 π /4， 我们来证明它。 我们想一想在 π /4 的函数值是什么。 π /4 是这个角， 或者说这是它的终边。 这是 π /4 π /4 和 45 度 完全是一回事。 我们在这里写上 π /4 我们必须找出这个点是什么， 这个点的坐标是什么。 我们来画一个图， 画出一个直角三角形 这是一个直角三角形。 对于一个直角三角形，我们都知道什么呢？ 我要把它画在这里， 可以看得更清楚一些。 这是一个典型的直角三角形。 好处是我们对它比较熟悉。 我尽量把它画得好一些。 我们知道这是个直角三角形， 我们知道这是45度， 斜边的长度是什么？ 因为是单位圆，它的半径是 1。 所以这里斜边的长度是 1。 关于这个角，我们知道什么呢？ 我们知道它也是45度。 因为这三个角的和必须是180度。 因为这两个角相等， 我们知道这两个边也相等。 然后，我们可以用勾股定理 求出这两条边的长度。 用勾股定理， 已知这两条边相等， 这两条边的长度是多少呢？ 我们定义这条边长度为 a ， 那么这条边长度也为 a 。 我们根据勾股定理 我们可以说， a 的平方加 a 的平方 等于斜边的平方，等于 1。 或者 2 乘 a 的平方等于 1。 a 的平方等于1/2 。 两边开平方取其正根， a 等于1/2 的平方根， 答案就是，1 的 平方根是 1， 除以 2 的平方根。 这里，我们要将分母有理化， 上下同乘 2 的平方根， 答案就是，a 等于 分子是 2 的平方根， 分母是 2 的平方根乘以 2 的平方根， 就是 2。 所以，长度就是 2 的平方根 除以 2。 这个边长是同样的值。 这个长度 就是 2 的平方根 除以 2。 而这个高度也是 2 的平方根 除以 2。 根据这个结论， 这个点的坐标是什么？ 这是 2 的平方根 除以 2， 它在正的方向。 所以，x 等于2 的平方根 除以 2， y 等于2 的平方根 除以 2 在垂直方向，它的方向是向上的， 即垂直的正的方向。 所以它的值也是2 的平方根 除以 2。 cos(θ) 就是 单位圆的 x 坐标， 所以就是2 的平方根 除以 2。 sin (θ) 就是 y 坐标， 马上你们就可以看到 它们在这一点的值是相等的。 在这一点它们都等于 2 的平方根 除以 2。 它们都等于2 的平方根 除以 2。 现在来看这一点， 它看着在 π 和 3π/2 之间。 它就会是， 这是 π，这是 3π/2 ， 对， 就在这里。 它是 π 再加 π/4 也就是 4π/4 加 π/4 这个角就是 5π/4。 它是 5π/4。 这是 5π/4。 那么我们要找出 在 θ 等于 5π/4 这一点的 函数值是什么？ 有几个方法可以用于求解。 你甚至可以用点几何方法。 如果这个角是45度， 那么这个角也是45度。 你可以说，如果用角度来表示这个参考角 它是45度。 我们可以做非常相似的推导。 我们画一个直角三角形， 我们知道它的斜边是 1。 我们知道，如果这是个直角， 这是 45度， 如果 那个角是45度，那么这个角也是45度。 我们就得到一个非常相似的三角形。 实际上，它们是全等三角形。 斜边为 1， 45度-45度-90度。 我们知道这个边长 是 2 的平方根 除以 2。 这个边长也是 2 的平方根 除以 2。 和我们前面所用的逻辑完全一样。 根据这个结论 根据这一点， 那个点的坐标是什么？ 先看 x 值， 2 的平方根 除以 2，在负的方向。 我们要到原点的左边， 得到 2 的平方根 除以 2， 所以就是 负的 2 的平方根 除以 2。 就是 x 轴上的这个点。 是负的 2 的平方根 除以 2。 y 的值是什么？ 我们来看 2 的平方根 除以 2 向下， 在原点的下方。 因此，也是负的 2 的平方根 除以 2。 所以，cos(θ) 是负的 2 的平方根 除以 2， sin (θ) 也是负的 2 的平方根 除以 2。 这样我们看到， cos(θ) 和 sin (θ) 在这里的值确实相同。 它们都等于， 它们在这一点都等于 负的 2 的平方根 除以 2。