证明毕达哥拉斯三角恒等式特性

－【画外音】 现在我们来复习一点 三角函数的单位圆定义。 在这里我画了一个单位圆，而所说的 单位圆就是一个半径为 1 的圆。 例如这一点就是坐标为 （1，0）的点。 x 坐标为 1，y 坐标为 0。 这一点坐标为 （0， 1）。 这一点坐标为 （－1， 0）。 这一点坐标为 （0， －1）。 半径是从位于 原点的圆心到圆上 任意点的距离， 这里半径等于 1。 以单位圆来定义三角函数很方便， 因此特别称之为 单位圆定义。 而且我们看到如果让一个角 的起始边靠着 x 轴的正向， 另一边就会 与单位圆有个交点。 比如这是角 θ。 我们定义 θ 的余弦函数和正弦函数 分别为这一点的 x 坐标和 y 坐标， 而这一点是角 θ 的终止边 （不是靠着 x 轴正向的那一边） 与单位圆的交点。 例中这一点， 其 x 坐标，就是该点 在 x 轴上的投影，我们 称之为 θ 的余弦函数。 该点的 y 坐标，是该点在 y 轴上 的投影，我们称之为 θ 的正弦函数。 在以往的有关单位圆的视频里， 谈过这个定义实际上是用直角三角形 来定义三角函数的延伸。 新的单位圆定义， 适用于负角度、90 度角、 钝角或锐角， 所以非常有用。 我要做的是利用已知的 三角函数的单位圆定义 来证明三角恒等式。 事实上这一点刚好在 这个半径为 1 的圆周上。 圆心在原点的单位圆 的方程是什么？ 这个应该是 x 平方 ... 在其它视频里我们已经证明了 可以用解析几何中求距离的公式, 其实就是 利用勾股定理来构建圆的方程。 圆心在原点的单位圆方程为 x 平方加上 y 平方等于 1， 就是等于其半径的平方。 这一段距离等于 1。 已知 θ 的余弦函数定义为 这一点的 x 坐标， 而 θ 的正弦函数定义为这一点的 y 坐标， 且这一点在圆周上。 这个点的坐标必须满足这个方程。 因为 θ 的余弦函数定义为这一点的 x 坐标， 且 θ 的正弦函数定义为这一点的 y 坐标， 而这一点的坐标必须满足这个方程， 意味着 θ 的余弦平方加上其正弦平方 必须等于 1。 或者 θ 的正弦平方加上 θ 的 余弦平方必须等于 1。 这只是根据一点的情况所得到的结论。 在这一点上，cosθ 是 x 坐标， sinθ 是 y 坐标。 这一点的坐标必须满足 定义这个圆的方程，因此cosθ 平方加上 sinθ 平方等于 1。 这个等式，正如我们在其它视频里所见到的， 叫做毕达哥拉斯三角恒等式。 它有什么用呢？ 如果你知道了 θ 的正弦和余弦中间的一个值， 就可以用这个恒等式求出另一个值。 比如你知道了 θ 的余弦， 你可以用这个恒等式先算出 θ 的正弦，然后还可以算出 θ 的正切， 因为正切等于正弦除以余弦。 叫它毕达哥拉斯三角 恒等式，是因为所牵涉的 圆的方程的来源。 看这一点，它的 x 坐标是 cos θ， 而 y 坐标是 sin θ， 这一点和原点 的距离是多少？ 我们可以画一个直角三角形。 这段就是所要求的距离。 为了适用于任何一个象限的点， 可以取 cos θ 的绝对值 来代表这段距离。 而那段距离可以由 sin θ 的绝对值来代表。 在第一象限，不需要用绝对值， 可是如果在其它象限画起 类似的三角形，就必须 要用绝对值来表示。 勾股（国外称之为毕达哥拉斯）定理告诉我们什么？ 这个直角三角形， 斜边长度为 1， 因此这段长度 即 cos θ 的绝对值平方， 加上竖直的这段长度 即 sin θ 的绝对值的平方， 必须等于该斜边的长度的平方， 就是等于 1 的平方。 或者我们可以写一个等效的方程。 因为要进行平方运算， 即使是一个负数的平方，负数乘以 负数也会得到正数， 所以我们可以 用等效的方程 cos θ 的平方加上 sin θ 的平方等于 1 来代替上面的方程。 因此该恒等式称为毕达哥拉斯三角恒等式。 实际上甚至圆周的方程也 来源于此，即运用勾股（毕达哥拉斯） 定理于斜边为 1 的直角三角形。