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主要内容

使用毕达哥拉斯三角恒等式

毕达哥拉斯恒等式告诉我们,无论 θ 的值是多少,sin²θ+cos²θ 恒等于 1。这遵循了毕达哥拉斯定理,也就是为什么它称作毕达哥拉斯恒等式!我们可以利用该恒等式解决许多问题。 Sal Khan 创建

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视频字幕

我们有一个角θ, 单位为弧度, 在-3π/2和-π之间, 大于-3π/2, 且小于-π, 我们还知道sinθ等于1/2, 从已知的信息中, 我们能不能求出tanθ等于多少? 我建议你暂停视频, 自己试着做一做, 如果你不知道如何下手, 提示一下, 你应该使用勾股定理导出的三角函数等式, 也就是sin²θ+cos²θ=1。 我们来解这道题, 我们知道了这个三角函数恒等式, sin²θ+cos²θ=1, 我们已经知道了sinθ是多少, 是1/2, 所以sin²θ就是(1/2)², 加上cos²θ等于1, 等于1/4+cos²θ=1, 两边同时减去1/4, 我们得到cos²θ等于, 左边减去1/4, 这个1/4就消失了, 就是这样, 1减去1/4等于3/4, 现在cosθ等于多少? 它的平方是3/4, 所以它可以是正的或者负的3/4的平方根, 所以cosθ等于, 正或负根号下3/4, 也就等于, 正负根号3除以根号4, 也就是2, 所以cosθ等于正或负根号3除以2。 但是我们怎么才能知道到底是哪个呢? 这时我们就要用到这些信息了, θ大于-3π/2且小于π, 画一个单位圆, 你可能会问, 我费这么大劲求cosθ干什么? 如果你知道了sinθ和cosθ是多少, tanθ就是sinθ/cosθ, 然后你就知道tanθ了, 现在我们看这个单位圆, 来分析一下我们应该用哪一个cosθ。 我要画圆了, 这是Y轴, X轴, 我要用粉色画单位圆, 我尽力了, 不要在意细节, 题目中说θ大于-3π/2, -3π/2在哪里? 我们来找一下, 这是-π/2, 这是θ的一条边, 用颜色标记一下, θ的这一边在, 正X轴上, 我们现在要找到另一边, 这里是-π/2, 这里是-π, θ还小于π, 就是这里, 我来标记一下, 这是-π, θ在-π和-3π/2之间, -3π/2在这里, 所以角θ的另一条边在这个区域的某个地方, 我做这些的原因, 这个弧线, 你可以把它当成θ的角度, 我做这些的原因, 就是要分析cosθ, 是正还是负, 很明显θ在第二象限中, cosθ就是角与单位圆, 的交点的x坐标, 所以这个点, 我用橙色标注, 这里就是cosθ, 这是正的还是负的? 这很明显是负的 所以在这个问题中, cosθ不是正的, 而是负的, cosθ等于负根号3除以2。 我们知道了cosθ是多少, 但我们还要求出tanθ是多少, 再提醒一下自己, tanθ就是, sinθ除以cosθ, 我们从题中得到sinθ等于1/2, 所以tanθ就是1/2除以cosθ, 而cosθ等于负根号3除以2, 这等于多少? 这就等于, 1/2乘以cosθ的倒数, 也就是负2除以根号3, 2会消掉, 得到的是负1除以根号3。 有些时候我们不想把根号留在分母里, 不想有一个无理数做分母, 所以我们要把它有理化, 将分数乘以√3/√3, 所以tanθ就是负根号3除以3, 这个结果在逻辑上也成立, 因为这个角的tan就是这条线的斜率, 而这条线的斜率确实为负。