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根据现实情形解释三角形的应用

当一个三角函数模拟现实世界的关系时,我们可以给它的中线、振幅和周期赋予意义。 Sal Khan 创建

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视频字幕

- [讲师] 题目中说,雅丽莎乘坐了摩天轮 她距离地面的高度 可以用H(t)来表示,t是以秒为单位的时间 我们可以从这里看出来 在这个视频中,我想要强调的是 这个图像的某些特征 我们要关注的 首先是函数的中线 可以暂停视频,看能不能自己解出 这个图像或这个函数的中线 现在我们要来思考 这个图像代表的是什么 雅丽莎从距离地面5米的地方开始 越来越高 直到距离地面25米处 然后又越来越低直到距离地面5米处 然后再升到25米处 我们可以把中线看作 这两个极值的中点 或这些极值的平均值 她所处高度的极值最低是5 最高是25 那么5和25的平均值是多少呢? 是15 因此图像的中线就是这个样子 我这里已经画到图像外面去了 这样做是为了帮助我们思考 中线代表的是什么 一种思路是把它 看成这种情况下图像旋转的中心 或者说摩天轮的中心 距离地面的高度 为了帮助我们直观地思考,我画一个摩天轮 我要画一个以这个点为中心的圆 这个摩天轮看上去就是这样 它可能有一些支撑结构 这个摩天轮可能就是这样了 这个点距离地面的高度 就是15米,也就是中线代表的概念 下面要探索的特征是振幅 这里暂停视频,想想 这个振荡函数的振幅是什么 以及在实际生活中 它代表的概念 或形式是什么 振幅是函数上的点与中线的 最大距离或最大幅值 你可以从这里看出来 事实上雅丽莎刚开始时 是在中线以下10米的位置 比中心位置低了10米 也就是在这里 她比中线低了10米 过了大概10秒钟 她正好在中线上 也就意味着她在这里 可能摩天轮是朝这个方向转的 至少在我的想象中它是顺时针旋转的 又过了10秒钟,她在25米的高度 也就在这里 你可以看出来 她就在这里,我故意 把那个圆画成这个尺寸 我们就能看到完整的振幅了 开始在中线以下10米,再到中线以上10米 因此这就是距离中线的最大位移 或最大变化值 因此这里实际上代表了摩天轮的半径 就是10米 然后从这里开始,她又开始向下转 到这里,她回到了刚开始的高度 最后要考察的特征 是函数的周期 这个周期函数的周期是什么? 这里暂停视频,思考一下 周期就是函数 完成一个循环所需要的时间 这里她从最底下开始转 我们来看,10秒钟后,还没回到底下 再过20秒,还没回来 30秒之后,也还没回来 40秒之后,她又回到最底下了 她又回到了最低点,再继续向上转 因此这里对应的时间40秒 就是这个函数的周期 如果考虑实际发生的运动 她从距离地面5米处开始 过了10秒,处于这个位置 对应的就是这一个点 10秒之后,她处于这个位置 对应的就是这个点 10秒之后到了这里 对应这个点 再过了10秒,也就是从开始之后40秒时 她又回到了开始的位置 因此这个例子中的周期 就是旋转一周所需要的时间 有时在直观考察函数周期时 我们需要格外注意 因为有时我们很可能会想说 “从这里开始 好,我们在地面之上15米处 现在, 我们下来了 现在我们又上去了 看,我们又在地上15米了 那这个20米秒就是一个周期“ 但如果你看这里 就会明白那并不是实际的情况 这个点代表了 地面之上15米的位置 正在向下运动,是要带我们回到这个点 又过了10秒,我们又回到这里 注意,这里测量的只是整个周期的一半 只是转了一半 要转完整的一周 我们不但要回到同样的高度 而且还要有同样的运动方向 我们要回到15米并且向下运动的那个点 这里我们是15米,向上运动 我们要再转20秒 才能回到15米并且向下运动的位置