三角函数应用题：一天的长度（相移）

可汗：在阿拉斯加的朱诺市， 一年中白天最长的一天是六月21日，这一天的白天有1096.5分钟。 过半年之后，白天最短的一天 白天时间大概只有382.5分钟。 假设今年不是闰年，今年共有365天， 六月21日是今年的第172天。 写出一个三角函数，描述出 今年的第 T 天与这一天的白天长度 L 的关系。 这是一个 L 关于 T 的函数， 不用考虑闰年。 老规矩，我鼓励你暂停视频 自己先想想该怎么解决这个问题。 来跟着我解决这道题。 我不想直接写出 L 关于 T 的函数， 我要先考虑 L 关于 U 的函数， U 是中间变量，我使用 U 是为了让我整个过程更加清晰简单。 U 表示六月21日之后过去的天数。 我们仔细捋一下， 在六月21日这一天， 如果我们考虑的是变量 U， U 就等于 0，因为六月21日之后过去了 0 天。 但如果我们考虑的是变量 T， 六月21日是今年的第 172 天， 因此 T 等于 172 那么 U 和 T 的关系是什么呢？ 它们相隔 172 天 因此 U 应该等于 T 减 172 注意 T 等于 172 时，U 等于 0。 我们先找出 L 与 U 的关系， 然后我们把 U 替换成 T 减 172，这个问题就解决了。 首先考虑 U 等于 0 时的情况。 我先写下来。 当 U 等于 0 时，是什么情况？ U 等于 0，也就是六月21日， 达到了最大值点。 那么，哪个三角函数在自变量等于 0 的时候 函数值达到最大呢？ 那么，哪个三角函数在自变量等于 0 的时候 函数值达到最大呢？ 0 的正弦是 0， 0 的余弦是 1， 因此余弦函数在 0 点达到最大值。 用余弦函数来描述这个问题 似乎更容易些。 首先在函数里有一个振幅， 乘以 cos 括号，我们看， 这里有个系数 C， 我还是用 B，因为前面的系数是 A。 系数乘以自变量 U，再加上一个常数， 这个常数表示整个函数向上或者向下的位移。 我们这个关于 U 的函数就是这个形式。 现在只需要知道这些部分的值即可。 首先，我们来考虑振幅， 以及中心线的位置。 中心线本质上就是 我们把函数图像上下移动了多远。 计算器，快现身！ 中心线应该是 这两个值的中点。 我们将 1096.5 和 382.5 加起来 除以 2，得到 739.5 这就是 C 的值，C 等于 739.5 那么，振幅就是偏离中心线最远的距离 我们用 1096 减去它，或者 用它来减去 382.5，都行。 那么好， 用 1096.5 减去 我们刚才得到的 739.5 等于 357。 这就是偏离中心线最远的距离。 A 等于 357 这里就等于 357 那么 B 等于什么呢？ 每次遇到这种问题，我就会想 “这个函数的周期是多长呢？” 我们在这里画个小表格 将不同的 U 值填进去 当 U 为 0 时，也就是六月 21 日之后的第 0 天， 函数达到最大值。 也就是说，在这 0 这个点， 我们需要这个余弦函数的值 就等于 357 乘以 0 的余弦 再加 739.5 那么，一整个周期是多长？ 当然，一整个周期就是一年 每一年的同一时间，函数值应该相同 这应该是常识。 我们过了 365 天， 当 U 等于 365 时，这个函数完成了一个周期， 函数值应该回到了最大值。 那么从这一点上讲， 函数应该是 357 乘以 cos 括号 2 pi， 当然如果是课本上标准的三角函数格式， 这里应该是一个 theta， 每 2 pi 为一个周期。 这里应该等于我写的这些 加上 739.5 这里的思路是， B 乘以 365 应该等于 2 pi， 这里是 B 乘以 365 我写下来， B 乘以 365， 这是余弦函数的输入值 它应该等于 2 pi。 也就是，B 等于 2 pi 除以 365 B 等于 2 pi 除以 365 还差最后一步，我们已经找出 A、B、C 的值，现在只需将 U 替换成 T 减 172 就得到关于 T 的函数了。 好，我们看， 我们得到——此处应有配乐—— L 关于 T 的函数等于 A， 也就是 357 乘以 cos 括号 B， 也就是 2 pi 除以 365 2 pi 除以 365，再乘以 不是 U，现在应该写成关于 T 的形式 我们考虑的是今年的第几天， 而不是六月 21 日之后的第几天。 所以是乘以 T 减 172，最后加上中心线 加上 739.5 完成。 看起来是个很复杂的函数， 但你应该把问题拆开来， 找到函数的极值点来考虑， 不管是最大值还是最小值， 然后把三角函数的输入值调整为 0 或 2 pi， 0 当然最简单， 最后再考虑变量代换。 希望对你有所帮助。