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变换正弦图:垂直和水平拉伸

Sal通过将 y=-2.5*cos(1/3*x) 视为垂直拉伸和反射,和 y=cos(x) 的水平拉伸来绘制出它的图表。 Sal Khan 创建

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题目要求我们做一个函数曲线 y等于-2.5乘以cosine 1/3x, 函数区间是0到6pi,包含端点 我们来画一下 首先,我们画一个最简单的函数 或者说,它简化的版本 或者说是它的核心部分,也就是cosine x 我把它画出来, 让我先画出来cosine x的曲线 这个是x轴 这里留一些空间,我可以最后 画出全部的图形 这里是-1,这里是-2 这里是正1,这里是正2 这里是2pi 然后,这里是pi 首先我们要做的 我先抄下来这个,因为晚些我们要用到它 来画整个的图形 我们开始吧 我先画y等于cosine x的曲线 所以当x等于0的时候, 我在0和2pi之间处理 显然,它是个周期函数 它会一直在负的方向和正的方向运动 当x等于0时 cosine x等于多少? cosine 0等于1 当x等于pi时候呢? cosine pi等于多少? cosine pi等于 -1 然后cosine 2pi呢? 它再次等于1 我们回来了,我们已经完成了一个周期 或者说我们完成了整个的循环 2pi是cosine x的周期 所以,这里是一个循环 如果想的话,我可以一直这样 但是,我得把这个周期画在0和2pi之间 现在我们要考虑的是,这个图形应该如何变换, 可以使它从y等于cosine x 变成,让我隔出一些空间出来 从y等于 cosine x这个曲线 变成是y等于cosine 1/3 x 这两者的区别是 现在x前面乘以了1/3 这里的曲线会发生什么变化? 如果不是x,而是1/3x 它将如何变化? 这里如何变化? 我现在要在从0到6pi 整个区间里面来做 我腾些空间出来 这个是3pi,4pi,5pi,6pi 这个图形会怎样变化? 有不同的方式来考虑这个问题 最简单的一种会是, 为了完成一个完整的周期,我们需要变得1/3倍快 或者说,3倍地慢 或者说,如果你想考虑这里的周期 cosine 1/3x的周期是多少? 周期是2pi除以 这里的这个系数的绝对值 也就是1/3的绝对值,也就是1/3 所以周期是2pi除以 1/3, 也就是2pi乘以3,得到6pi 和感觉相符合 cosine函数回到和2pi同样的位置, 新的函数,它 要花三倍的时间来到达 因为无论我们取哪个x,我们需要它的1/3 所以,为了得到2pi,x不能直接等于2pi x现在应该等于6pi,以在这里的 cosine函数的输入中得到2pi 所以,周期是2pi 当x等于0,1/3乘以0等于0,cosine 0 等于1 当x等于6pi,6pi除以3得到2pi cosine 2pi等于1 如果取中间,这里, 比如我们试下pi 但是这里,我们对应的是3pi 当x等于3pi,cosine 1/3的3pi, 也就是cosine pi cosine pi是-1 所以当x等于3pi 我们得到cosine 1/3乘以3pi,等于-1 所以,看上去像这个样子 我试着来 画的好看一些 它看上去应该大致是这个样子 所以你可以看到,从y等于cosine x到 y等于cosine 1/3x,基本上,是把原曲线 按照因数3倍拉伸 你可以看到,这里的周期是3倍长 这里的周期是2pi 好,现在只剩下再多一次变换 我们就可以得到题目 这里要求的函数了 我们只要,从cosine 1/3x 变换成-2.5乘以cosine 1/3x 我们试着画一下 这里是坐标轴 我们标识一下 这里是2pi,3pi,4pi,5pi,和6pi 我们的目标是画函数y等于, 我们在这里0到6pi的区间里面做, 而这里的区间是0到2pi, 显然,他们都是周期函数,会一直这样持续下去 但是现在,我们要画函数y等于-2.5乘以 cosine 1/3x的曲线 所以,因为有了这个变化,我们现在乘以了-2.5 结果会如何? 我们考虑一些问题 前面这里这两个曲线, 它们的波幅是多少? 有两种方法来考虑 你可以说,波幅是最高点到最低点 它们之间距离的一半 这两个例子中,最低点是-1 最高点是1 距离是2,它的一半是1 或者你可以说,是这里系数的绝对值 也就是这个1 1的绝对值,也是1 那么这里这个的波幅是多少? 波幅是cosine函数前面的乘数 它的绝对值 所以,这个函数,我用绿色 它的波幅是等于 -2.5的绝对值,也就是2.5 因此,函数乘以-2.5会如何 变换这里的这个曲线呢? 我们想一下 如果我们乘以正的2.5 你会把它拉伸 每个点,按照2又1/2倍扩张 但是,它是-2.5,所以 对于每个点,先扩张,然后 再沿着x轴翻转 我们来做一下 当x等于0,你得到1 但是现在要乘以-2.5, 也就是说得到的是-2.5 我把-2.5画这里 这是-2.5 它是负的,我们标清楚一些 这里是-3 这里是+3 这里的这个数是-2.5 我画一个虚线这里 会比较有帮助 现在,当cosine 1/3x等于0时, 乘以多少就不重要了, 它仍然是0 现在,当cosine 1/3x是-1, 也就是x等于3pi的时候 这里会发生什么? cosine 1/3x我们看到,是-1 -1乘以-2.5,得到正当2.5 所以,我们得到正2.5,正解 我们画个虚线在这里 我们将得到正2.5,也就是这里 然后当cosine 1/3x等于0 乘以什么就不重要了,它仍然是0 然后,最后,当x等于6pi, cosine 1/3x等于1 它乘以-2.5得到多少? 会是-2.5 所以,我们回来了 好,我们准备好画图了 它看上去像-我换个颜色 换个和字一样的颜色 它看上去像这样 我可以画实线 像这样 所以,你可以看到 当这里放入了1/3, 它把曲线拉伸了 将周期乘以了因数3 然后乘以-2.5 如果你只是乘以2.5, 就会扩张它一些 但是现在是-2.5 所以就不仅是增加了幅度,还需要翻转 就这样。这里的波幅是2.5 我们从中间拉伸2.5倍 或者我们可以说,最低点和最高点 它们的距离为5,它的一半是2.5 它不是简单地乘以2.5 如果你只是乘以2.5 你会得到 你会得到像这样的曲线 但是因为有负号 我们必须将它沿x轴翻转 得到这个曲线 所以,波幅是2.5 但是是这个曲线的翻转后的版本