三角不等式定理

我们先来画一个三角形 假设这条边长是6 这条边长是10 然后这条边长度为x 现在我想要知道这个x的值 最大或者最小能是多少 这条边最长或者最短能是多少呢？ 那第一个问题是这个最小是多少呢？ 假如我们想要这个变小 我们只需要看 这里这个角 所以我们关注这个角，将其变小 我们将这个角尽可能的变小 这是边长为10的边 我改到下面这里来 这是边长为10的边 然后我要让这个角变得非常非常小 接近0 假如这个角是0，那我们就得到了一个退化 它其实变成了一维的了 不再是二维的了 当我们接近0的时候，这条边 开始越来越接近这条10的边 然后你可以想象当它 真正与其重叠的情况，这就是退化三角形 所以假如我想要这个点 尽可能地接近这个点 也就是缩小距离x 最近的情况就是你将这个角 变成了0 让我画出来中间部分 现在角度越来越小 这条边长是6 x正在变小 然后我们继续让这个角变得越来越小 一直到我们得到一个退化三角形 我先画粉色边 这是边长为10的边 现在我们关注的这个角是0度 那这条边长度为6 那这个点和这个点之间的距离 是多少呢？ 这个距离是x 在退化三角形里，这个长度是x 我们知道6加x等于10 所以在这个情况，x等于4 所以假如这是个真的三角形的话，在x等于4 的时候这两个点是最近的 它退化成了一个线段 假如你要一个三角形 x必须大于4 现在我们想另一个情况 x最大能是多少？ 如果x变得越来越大 我们需要让这个角变大 那我们来试试 我再画出长度为10的边 这是10边 我要让这个角越来越大 所以我把长度为6的边这样画 现在我们的角越来越大了 它正在接近180度 在180度时，我们的三角形 又变成了一个线段 它变成了一个退化三角形 然后我画长度为x的边 尽可能的直 所以我们是在将这个点和 这个点的距离最大化 所以这是x边，然后我们一直到 退化三角形的情况 在这个情况，在180度的时候，长度为6的边 和长度为10的边组成了一条直线 这就是这个点和这个点 最远的情况 那在这个情况里，这个点 和那个点之间的距离 也就是我们说的x，是多少呢？ 在这个情况下，x等于6加10等于16 假如x等于16，我们得到一个退化三角形 假如我们不想要退化三角形 我们想要一个二维的三角形 那x要小于16 现在，我们刚刚所做的 被称为三角不等式 这是一个很基础的概念 也就是说一个三角形的任意一条边 假如你不想要退化三角形的话 必须小于另外两条边长的和 所以一条边长必须小于 另外两条边长的和 假如说你接受退化三角形的话 也就是一个线段 当你失去了二维信息 变成了一个一维图像 那你可以说小于等于 但是我们还是只看非退化三角形 所以一条边的长度必须 小于另外两条边长的和 然后用这个概念 我们可以得到同样的结论 你可以说，x是一条边长 它必须比另外两条边长的和 还小 所以它必须小于6加10 或者说x必须小于16，跟我们这 通过画图的结果完全一样 然后你想问x最小能是多少？ 你可以说，10必须小于 必须小于 10必须小于6加x 也就是另外两条边长的和 假如你在两边减去6 你得到4小于x，或者说x大于4 所以在某种程度上，这是一个基础概念 但是这是你在几何里肯定会碰到的 然后你会在其它种类的数学里 见到这个三角不等式的 其它版本