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主要内容

比例尺和面积

Sal 探索了比例尺是如何影响比例图的面积的.

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视频字幕

题目告诉我们多边形Q 是由多边形P 根据1/2倍的比例因数缩小而成的。 多边形Q的面积是多边形P的面积的几倍呢? 请先暂停视频尝试独立解题。 好的,我的脑子想把它具象化一点 等我们练习做多了, 也许你就可以不需要画图了 题目说的是任意一个多边形Q和P 那么我们来画个简单的吧。 我们在讨论的是面积,那我就倾向 用长方形吧因为 长方形的面积比较好计算。 那么,我们来看一下,多边形Q是多边形P按比例缩小而成的。 所以我们要从多边形P开始。 我用红色来画。 多边形P,假设, 我构建了一个任意多边形。 假设这就是了, 然后缩小1/2倍 我要把边长画成双数。 假设这条边长是4 然后这条边长是8。 这就是多边形P,是一个平行四边形, 实际上它是一个长方形 然后面积就是4乘以8 也就是32。 现在我们来构建多边形Q,要记住, 多边形Q是将P 按比例因数缩小1/2倍得到的。 所以我们要缩小1/2倍。 所以这个边长就不是4了,应该是2, 这条边长就不是8了, 对应边长根据比例缩小 就等于4。 所以你看,我们将它缩小了1/2倍, 那现在的面积是多少呢? 面积,这个多边形Q, 面积就等于2乘以4 等于8。 所以请注意多边形Q的面积是 多边形P的面积的1/4,这是合理的 因为你将多边形的边长按照1/2 的比例缩小了,那面积的缩放比例 就是这个比例的平方。 1/2的平方就是1/4。 那么面积的缩放比例就是1/4 或者用另一种方式来答题的话, 多边形Q的面积是多边形P的面积几倍? 答案是多边形P的面积的1/4倍。 这里的重要知识点在于如果你将 某个形状的边长各缩放0.5倍, 那么面积就会缩放这个倍数的平方 也就是1/2的平方等于1/4倍。 如果缩放比例为1/3, 那么面积的缩放比例,或者说 面积就会缩放为原来的1/9。 如果是2倍, 那么面积就是放大为原来的4倍。 我们再来做一个例题。 题目说,长方形N面积 为5个平方单位。 我用另一个颜色来写。 那么长方形N的面积为5个平方单位。 詹姆斯画了另一个版本的长方形N 并标记为长方形P。 就是这个。 这是另一个缩放版本的长方形N。 从长方形N到长方形P, 詹姆斯采用的比例因数是多少呢? 我们来思考一下。 题目给出的长方形P在这里, 我们来看一下它的边长。 高是1、2、3、4、5, 高是5,然后宽是1、2、3、 4、5、6、7、8、9, 所以面积等于45。 现在,长方形N的面积是5个平方单位。 所以这个面积,我要写下来, 所以从N的面积到P的面积, 从N的面积到P的面积,我们乘以了系数9。 如果从一个5平方单位的面积起始 到45平方单位,注意N的面积是5, N的面积是5平方单位,P的面积, 我们刚算出来是45平方单位, 因此这个缩放比例为9。 现在的比例因数是多少呢 基于面积的缩放比例为9? 我们刚刚讨论过面积的缩放知识点, 面积的缩放是 比例因数的平方。 所以其中一种求解比例因数的思路是, 比例因数的平方 就等于9, 或者用另一种思路是, 比例因数就等于3 使得N变为P。 现在我们来验证一下 这样我们就能确认答案是否正确。 我们来画一个将P按照3倍 来缩小的一个长方形。 那么这个长方形如果 按照3倍来放大,就会得到长方形P。 那么底边长就不是9了而是3。 就像这样。 那么这就是3,然后高 就不是5了,而是5/3。 5/3就是1又2/3。 那么这就是高了, 就像这样。 就是5/3。 那么长方形N 就会像这样,那么它的面积是多少呢? 5/3乘以3就等于5个平方单位。 所以记住了,当面积的缩放比例 为9时, 从5/3变为5,比例因数就是乘以3。 从3到9,也是乘以3。