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六年级

课程: 六年级 > 单元 9

课程 2: 图形与几何
数学
六年级
整理和复习
图形与几何
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体积公式复习

Google课堂
复习棱柱、圆柱体、棱锥、圆锥体和球体的体积公式。
起初似乎有许多体积公式，但这些公式都有一个共同的结构。

棱柱和类似棱柱的几何体

start text, 体, 积, end text, start subscript, start text, 棱, 柱, end text, end subscript, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, start text, 底, 面, 积, end text, end color #0c7f99, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #ca337c, start text, 高, end text, end color #ca337c, right parenthesis
棱柱的高永远垂直于底部平面，不管它是正的还是倾斜的（斜棱柱）。

长方体

通常，我们首先学习长方体（特别是正长方体）的体积，例如用立方体构建棱柱体。
请注意，长方体的任何面都可以是它的底面，只要我们测量垂直于该面的棱柱的高度就行。
体积长方体=(面积长方形)⋅(高)=((长方形底)(长方形高))⋅(棱柱高)=lwh\begin{aligned} \text{体积}_{\text{长方体}}&=(\blueE{\text{面积}_{\text{长方形}}})\cdot (\maroonD{\text{高}})\\\\ &=\left(\blueE{(\text{长方形底})(\text{长方形高})}\right)\cdot (\maroonD{\text{棱柱高}})\\\\ &=\blueE{lw}\maroonD{h} \end{aligned}

三棱柱

三棱柱的底部是三角形。
体积三棱柱=(面积三角形)⋅(高)=(12(三角形底)(三角形高)⋅(棱柱高)=12bhℓ\begin{aligned} \text{体积}_{\text{三棱柱}}&=(\blueE{\text{面积}_{\text{三角形}}})\cdot (\maroonD{\text{高}})\\\\ &=\left(\blueE{\dfrac{1}{2}(\text{三角形底})(\text{}三角形高}\right)\cdot (\maroonD{\text{棱柱高}})\\\\ &=\blueE{\dfrac{1}{2}bh}\maroonD{\ell} \end{aligned}

圆柱

圆柱是底面为圆形的棱柱。
体积圆柱=(面积圆)⋅(高)=(π⋅(半径)2)⋅(高)=πr2h\begin{aligned} \text{体积}_{\text{圆柱}}&=(\blueE{\text{面积}_{\text{圆}}})\cdot (\maroonD{\text{高}})\\\\ &=(\blueE{\pi \cdot (\text{半径})^2})\cdot (\maroonD{\text{高}})\\\\ &=\blueE{\pi r^2}\maroonD{h} \end{aligned}

斜棱柱

斜棱柱的底面是平行四边形。
由于卡瓦列里原理，我们仍然用同样的方法计算体积。
哪个表达式正确给出方形方形的体积？
选出正确答案：

锥体和锥状体

start text, 体, 积, end text, start subscript, start text, 椎, 体, end text, end subscript, equals, start color #7854ab, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #7854ab, left parenthesis, start color #0c7f99, start text, 底, 面, 积, end text, end color #0c7f99, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #ca337c, start text, 高, end text, end color #ca337c, right parenthesis
我们同样通过垂直于其底部平面的高度来测量椎体的高。由于卡瓦列里的原理，同样的体积公式适用于椎体和其他斜锥状体。

长方锥

长方锥的底部是长方形。
体积长方锥=13(面积长方形)⋅(高)=13((长方形底)(长方形高))⋅(锥体高)=13lwh\begin{aligned} \text{体积}_{\text{长方锥}}&=\purpleD{\dfrac{1}{3}}(\blueE{\text{面积}_{\text{长方形}}})\cdot (\maroonD{\text{高}})\\\\ &=\purpleD{\dfrac{1}{3}}\left(\blueE{(\text{长方形底})(\text{长方形高})}\right)\cdot (\maroonD{\text{锥体高}})\\\\ &=\purpleD{\dfrac{1}{3}}\blueE{lw}\maroonD{h} \end{aligned}

圆锥

圆柱是底面为圆形的椎体。
体积圆锥=13(面积圆)⋅(高)=13(π⋅(半径)2)⋅(高)=13πr2h\begin{aligned} \text{体积}_{\text{圆锥}}&=\purpleD{\dfrac{1}{3}}(\blueE{\text{面积}_{\text{圆}}})\cdot (\maroonD{\text{高}})\\\\ &=\purpleD{\dfrac{1}{3}}(\blueE{\pi \cdot (\text{半径})^2})\cdot (\maroonD{\text{高}})\\\\ &=\purpleD{\dfrac{1}{3}}\blueE{\pi r^2}\maroonD{h} \end{aligned}

球体

start text, 体, 积, end text, start subscript, start text, 球, 体, end text, end subscript, equals, start color #a75a05, start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, end color #a75a05, pi, left parenthesis, start color #0c7f99, start text, 半, 径, end text, end color #0c7f99, right parenthesis, cubed

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