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七年级

课程: 七年级 > 单元 8

课程 4: 代入消元法

方程组和代入法

遍历求解方程组的例子。

让我们来解方程组

y, equals, 2, x, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, 方, 程, 1, end text, end color gray

x, plus, y, equals, 24, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, 方, 程, space, 2, end text, end color gray

难点是这个方程组里有两个变量， x 和 y. 如果我们可以去掉其中的一个变量......

思路是这样的. 方程1告诉我们start color #e07d10, 2, x, end color #e07d10 和 start color #e07d10, y, end color #e07d10 是相等的. 那么我们可以用start color #e07d10, 2, x, end color #e07d10 替换 start color #e07d10, y, end color #e07d10 代入方程2来去掉方程2里的 y.

$\begin{aligned} x + \goldD y &= 24 &\gray{\text{方程2}} \\\\ x + \goldD{2x} &= 24 &\gray{\text{用2x 替换 y}}\end{aligned}$

太棒了！现在方程里只剩下未知数 x ，我们知道如何解这个方程了.

$\begin{aligned} x + 2 x & = 24 \\ 3 x & = 24 \\ \frac{3 x}{3} & = \frac{24}{3} & 两边同时除以 3 \\ x & = 8 \end{aligned}$ ‍

很好！现在我们知道了x 等于 8. 但请记住，我们需要解的是一对变量的值. 我们还需要知道 y 的值. 已知x 等于 8，让我们带回方程1 来求 y 的值.

$\begin{aligned} y &= 2\blueD x &\gray{\text{方程 1}} \\\\ y &= 2(\blueD8) &\gray{\text{用 8 替换 x}}\\\\ \greenD y &\greenD= \greenD{16}\end{aligned}$

真棒！所以方程组的解是 left parenthesis, start color #11accd, 8, end color #11accd, comma, start color #1fab54, 16, end color #1fab54, right parenthesis。总是将解代入原始方程进行验证是个好习惯。

让我们检验一下第一个方程：

$\begin{aligned} y &= 2x \\\\ \greenD{16} &\stackrel?= 2(\blueD{8}) &\gray{\text{把 x = 8 和 y = 16 代入}}\\\\ 16 &= 16 &\gray{\text{对了！}}\end{aligned}$

再让我们检验一下第二个方程

$\begin{aligned} x +y &= 24 \\\\ \blueD{8} + \greenD{16} &\stackrel?= 24 &\gray{\text{把 x = 8 和 y = 16 代入}}\\\\ 24 &= 24 &\gray{\text{对了！}}\end{aligned}$

太棒了！left parenthesis, start color #11accd, 8, end color #11accd, comma, start color #1fab54, 16, end color #1fab54, right parenthesis 就是方程组的解. 这说明我们没有犯任何的错误.

现在轮到你用代入法解方程组了.

代入法解以下方程组.

4, x, plus, y, equals, 28

y, equals, 3, x

x, equals

y, equals

[显示答案]

找到其中一个变量的替换值，然后使用代入法.

有时候代入法有一点棘手. 例如下面这个方程组.

minus, 3, x, plus, y, equals, minus, 9, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, 方, 程, space, 1, end text, end color gray

5, x, plus, 4, y, equals, 32, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, 方, 程, space, 2, end text, end color gray

你会注意到这两个方程都没有可以直接替换的 x 或 y. 所以第一步要做的就是找 x 或者 y 的替换值. 下面是它的做法.

第一步：选一个方程找到一个变量的替换值.

让我们解第一个方程找到 y的替换值:

$\begin{aligned} -3x + y &= -9 &\gray{\text{方程 1}} \\\\ -3x + y + \maroonD{3x} &= -9 +\maroonD{3x} &\gray{\text{两边同时加 3x}} \\\\ y &= {-9 +3x} &\gray{\text{}}\end{aligned}$

第二步：把这一方程代入另一个方程求解 x.

$\begin{aligned} 5x + 4\goldD y &= 32 &\gray{\text{方程2}} \\\\ 5x +4(\goldD{-9 + 3x}) &= 32 &\gray{\text{用 -9 + 3x 替换 y}} \\\\ 5x -36 +12x &= 32 &\gray{\text{}} \\\\ 17x - 36 &= 32 &\gray{\text{}} \\\\ 17x &= 68 &\gray{\text{}} \\\\ \blueD x &\blueD= \blueD4 &\gray{\text{两边同时除以 17}}\end{aligned}$

第三步：把 x, equals, 4 代入任意一个原方程求解y.

$\begin{aligned} -3\blueD x + y &= -9 &\gray{\text{方程 1}} \\\\ -3(\blueD{4}) +y &= -9 &\gray{\text{用 4 替换 x}} \\\\ -12 + y &= -9 &\gray{\text{}} \\\\ \greenD y &\greenD= \greenD3 &\gray{\text{两边同时加12}} \end{aligned}$