100以内的平方根的近似值

题目要求我们近似计算 45的主（算术）平方根或正平 方根，并精确到百分位 我想他们也不会让我们使用计算器 那样就太简单了 那么，我们来看看能不能 只用纸和笔来完成这个近似计算。 要算的是45的平方根，或者说是45的主（算术）平方根 45不是一个完全平方数， 它肯定不是完全平方数。 那我们看看，在它附近有哪些完全平方数呢？ 我们知道这个结果要小于 比45大的下一个完全平方数 就是49，因为49是7×7的积。 所以，本题计算结果要小于49的平方根 且大于36的平方根。 36的平方根，或者叫主（算术）平方根 是6， 而49的主（算术）平方根是7。 那么，这个值就在6到7之间。 如果我们看这个数本身，它和49只差了4 和36却差了9。 而36和49之间的差值为13 也就是说，在6的平方和7的平方之间存在13个差值 这个数字就在这段差值上的9/13处 这只是一种近似计算 它不能准确计算平方根，因为乘方运算 并不是线性关系—— 但和6之间的差值相比，它和7的值更接近 至少它在两端差值的9/13处 我们可以试着 9/13也差不多就是2/3的位置 那我们就试试用6.7作为估算的结果，因为2/3约等于0.7 看起来差不多 实际上，如果我们想算一下的话，在这儿就可以计算了 就当是为了娱乐，我们来算一下 9/13如果用小数来表示，应该等于多少？ 用9÷13 这里我们要把小数点向右移动 9不能被13除，但是90可以被13除 用它来除90——我们来看，商能不能是7？ ——商应该是6 6×3等于18 6×1=6，6+1=7 再继续除，这一位上的商是12 所以，90÷13的结果与7非常接近 这个值也就与0.7非常近似了 那么120÷13的结果 会不会跟9非常接近呢？ 是的，商的整数部分是9 9×3 把这个擦掉 9×3等于27 9×1=9，9+2=11 余数是3 结果约等于0.69 因此，6.7是个非常好的估计值 它在36到49之间的差值上位于0.69左右的位置 我们就在6到7之间找到0.69左右的位置 这里又是近似计算了 得出来的不一定是准确结果 我们要用它来做尽可能准确的初步估计 然后再来看估算的效果如何 我们试试6.7 检验的方法就是计算6.7的平方 6.7×——我或许应该在这儿写乘号 6.7×6.7 7×7=49 7×6=42，42+4=46 这里写上0，因为我们要往左挪一位了 6×7=42 把需要进位加的4记在这上面 6×6=36，36+4=40 9+0=9 6+2=8 4+0=4 这里还有一个4 在小数点后面我们总共有两个数字 第一个，第二个 加上小数点后就得到了44.89 所以，可以看出6.7已经非常近似了 但是我们可能还没达到精确到小数点后两位的要求 我们肯定还没有精确到百分位 因为这里 我们只精确到了十分位 那么，如果要尽可能接近45，6.7的平方还是比45小 或者说6.7还是要比45的平方根要小 那么我们试试6.71 让我换一种颜色 我用粉色来做6.71的计算 我们来算一算6.71 只在刚才估计的数值基础上增加了一点点 看看能不能更接近45 因为这其实已经很接近了 我们只管试一下 6.71 这里，我们还是要进行笔算 我们认为出题人并不想 让我们使用计算器 1×1=1 1×7=7， 1×6=6 这里记一个0 7×1=7 7×7=49 7×6=42，42+4=46 这里我们要记两个0 6×1=6 6×7=42 这里还有一个进位的4 6×6=36，36+4=40 加上40 想想我们通过在百分位上加了1来一点点增加这个近似值 是很有意思的过程 这里，我们要把它们全部加起来 这一位是1 7+7=14 1+6+9=16，16+6=22 2+6+2=10 1+4=5 把这个4写下来 在小数点后面，我们总共有 4位数字 1，2，3，4 因此，如果我们计算6.71的平方 结果就等于45.0241 所以，6.71要稍微大了一点 这里要解释一下 我们知道，6.7要小于45的平方根 我们又知道，45的平方根要小于6.71 因为当我们计算它的平方时，得到的结果要 略大于45 但这里的要点是，当我们进行平方运算时，6.7的平方 等于44.89，比45小了0.11 而当我们计算6.71的平方时 得到的结果只比45大了0.024 因此，这一个要更接近45的平方根 所以，如果我们要近似计算到小数点后两位的话 我们肯定要选6.71了