科学记数法概论

我想这不是什么秘密， 如果一个人研究任何一门科学， 他必须和大量的数字打交道。 无论是生物、化学 还是物理，都涉及到数字。 在很多情况下，这些数字非常大。 是非常，非常大的数字。 非常大的数字。 或者是非常，非常小的数字。 非常小的数字。 你可以想象一些非常大的数字。 如果我问你，人体内 有多少个原子？ 或者，人体内有多少个细胞？ 或者，地球的质量是多少，以公斤为单位？ 这些都是非常大的数字。 如果我问你一个电子的质量是多少， 答案会是一个非常，非常小的数字。 在讨论任何科学学科时，你将会用到这样的数字。 举个例子，让我给你演示 你会遇见的最常用的数字之一， 尤其在化学。 它被称为阿伏伽德罗常数。 阿伏伽德罗常数。 如果我用标准的方式来写 这个数字，它会被写作-- 我用另外一个颜色来写。 它会被写作 6022-- 然后后面还有20个零。 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20。 如果我在其中插入一些逗号， 这也不会使这个数字 更容易读。 让我插入一些逗号。 这还是一个很大的数字。 如果我需要把这个数字写在一张纸上， 或者在一篇论文里用到阿伏伽德罗常数， 我会需要很长时间把它写出来。 甚至很难看出来我是否少写了一个零， 或者多写了几个零。 这确实是一个问题。 有没有更好的方式来表达这个数字？ 有没有更好的方式来写出来这个数字， 而不是这样把它全写出来？ 而不是写成6后边跟着23位数字， 或是6022后边跟着20个零？ 为了回答这个问题--如果你 好奇的话，阿伏伽德罗常数的意思是，如果你 有12克的碳，更具体说是 12克的碳-12，这个数字表示 这其中有多少原子。 顺便说一下，12克大约是一磅的50分之一。 这能给你一个概念，在任何时间点 这儿有多少原子。 这是一个巨大的数字。 今天我并不是来教你化学的。 今天我们的目的是讨论一种更简单的 表达方式。 这个更简单的表达方式，我们称它为科学计数法。 科学计数法。 请相信我，虽然在 这个视频里有可能看起来有点非常规。 这真的是一个更简单的 表达方式。 在我给你演示之前， 让我告诉你科学计数法背后的 基本原理。 如果我问你，10的0次幂是什么？ 我们知道等于1。 10的1次幂是什么？ 等于10。 10的平方是什么？ 这是10乘10。 也就是100。 10的3次幂是什么？ 10的三次幂是10乘10乘10， 等于1,000。 我觉得你有可能看出来一些规律了。 10的0次幂没有0。 没有0。 10的1次幂有一个0。 10的2次幂--我差点说成10的两次幂-- 10的2次幂有两个0。 最后，10的3次幂有三个0。 我不想做无用功， 但是我觉的你领会到了。 三个0。 如果我表示10的100次幂， 那会是什么样呢？ 我不想把它全写出来， 但是它会是1后面跟--你能猜出来-- 100个0。 会有很多个0。 如果我们要数0的个数， 会是100个0。 其实这有可能是个有趣的冷知识。 你不一定知道这个数字叫什么。 这个数字叫古戈尔。 古戈尔。 在90年代初，如果有人说，嘿，这是一个古戈尔， 你不会想到一个搜索引擎。 你会想到数字10的 100次幂，这是一个很大的数字。 这个数字大于 宇宙中估计的原子数量。 在已知的宇宙中。 它让我们思考，除此之外还有什么。 但不久前我读到相关的资料。 如果我没有记错，已知的宇宙中 有10的79次幂到10的81次幂那么多的原子。 这当然只是一个大概的数量。 没有人真的能数过来。 大家其实只是在估算。 甚至是猜测并估算。 但是这是一个很大的数字。 对你来说可能更有意思的 是这个数字是一个非常火的 搜索引擎的名字的灵感来源--谷歌。 谷歌其实是 英文里有O-L的“古戈尔”的错误拼写。 我也不知道为什么最后决定了叫它谷歌。 有可能是注册到了这个域名。 有可能是他们想装下这么多信息。 这么多字节的信息。 或者，就是一个很酷的单词。 无论原因是社么--有可能就是创始人最喜欢的数字。 但是这是一件很酷的事儿。 但是我脱离主题了。 这是一个古戈尔。 就是1后面跟了100个0。 但是我也可以等效地把它写成10的100次幂， 这显然是一个更简单的方式。 这是一个更简单的表达方式。 这更简单。 其实，这个数字这么难写，我都没有 花时间把它写出来。 我永远都写不完。 这里只有20个0。 要写100个0的话会把整个屏幕占满， 你也会觉得无聊。 所以我就没写。 所以很明显这更容易写。 这只适用于10的幂。 但是我们怎么表示一个 不直接是10的幂的数字呢？ 我们怎么简化呢？ 我们怎么简化呢？ 你只需要意识到， 这个数字，我们可以把它写成-- 这有几位数？ 有1，2，3然后20个0。 6后面有23位数。 6后面有23位数。 如果我用10的幂的表达方式 去接近它，会发生什么？ 如果我说10的23次幂呢？ 我用紫红色来写。 10的23次幂。 等于什么？ 等于1后面跟23个0。 所以1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23。 你领会到了，这是10的23次幂。 那我们能不能把这个数 写成这个数的倍数？ 我们可以。 如果我们把这个数与6相乘， 如果我们将6与10的23次幂相乘，会得到什么？ 我们会得到一个6后面跟23个0。 我们会得到一个6 ，后面跟 23个0。 让我把它写出来。 你会有23个0，就像这样。 因为我所做的就是把这个乘以6。 你知道怎么做乘法。 你会将6乘这个1。 你会得到一个6。 然后6乘所有的0就都是0。 所以你会得到6后面跟23个0。 这挺有用的。 但是我们还没达到这个数字。 我的意思是，这个数里面有几个2。 我们怎么能做的更好呢？ 如果我把它写成一个小数呢？ 这个数字会跟这个数字完全一样的， 如果这几个2都是0。 但是如果我们想表达这几个2，我们能做什么呢？ 我们可以写一个小数。 我们可以说这跟6.022乘10的 23次幂是一样的。 所以呢，这个数字跟这个数字是相同的， 但是是一个更简单的表达方式。 如果你想的话，可以验证一下。 会花很长时间。 有可能我们可以先用一个小一点的数字。 但是如果你将6.022与10的23次幂相乘， 然后你把结果全部写出来，你会得到 这个数字。 你会得到阿伏伽德罗常数。 阿伏伽德罗常数。 虽然这看起来有点复杂，或者对你来说 有点非常规，这只是一个被完全写出来的 数字。 这包括乘法和10的幂。 你可能觉得，嘿，这一点儿也不简单。 但是它真的很简单。 因为你一下子就能知道有几个0。 这显然是一个更短的 表达方式。 我们再做几道例题。 我从阿伏伽德罗常数开始因为它真的 告诉你科学计数法的重要性。 所以你不用一遍又一遍的把这样的东西 写出来。 我们再试几个数字。 我们用科学计数法把它们写出来。 比如说，我有这个数字，7,345。 我想用科学计数法来表示它。 我觉得最好的思考它的方式是，这是7,345。 我如何表示一个千？ 我在这边写过了，10的3次幂是1,000。 所以我们知道10的3次幂等于1,000。 所以这是我能用到的最大的 10的幂。 这是7个1,000。 如果这是7个1,000，然后是0.3个1,000，然后 是0.04个1,000--我不知道这对你有没有帮助， 我们可以把这个写成7.345乘10的3次幂， 因为这等于7个1,000加0.3个1,000。 0.3乘1,000是什么？ 0.3乘1,000是300。 0.04乘1,000是什么？ 是40。 0.005乘1,000是什么？ 是5。 所以7.345乘1,000等于7,345。 让我相乘得到结果，使它更明晰一点。 所以如果我将7.345与1,000相乘。 我的方法就是忽略那几个0。 我先将1与上面的数字相乘， 得到7345。 我这里有3个0，所以我在后面把它们加上。 然后有3个小数位。 1，2，3。 所以1，2，3。 把小数点放这儿。 就是这样，7.345乘1,000的确是7,345。 我们再做几道例题。 假设我们想用 科学计数法表示数字6。 显然，没有必要用科学计数法表示它。 但是你会怎么样做呢？ 那么小于6的最大的10的幂是什么？ 小于6的最大的10的幂就是1。 所以我们可以把它写成什么乘以10的0次幂。 这就是1，对吧？ 这就是1。 所以6是什么乘1？ 就是6。 6等于6乘10的0次幂。 你其实不用这样写。 这个更简单，但是它向你展示 你真的能用科学计数法表达任何数字。 那么，如果我想表示一个这样的数字呢？ 我在视频的开端说过，科学领域 涉及到很大的数字和很小的数字。 所以假设有这个数字--用这个颜色写， 有1，2，3，4。 然后5个0。 后面跟一个7。 这也不是一个容易处理的数字。 但是我们怎么能用10的幂来处理它？ 用10的幂？ 所以小于这个数字的最大的10的幂是什么， 这个10的幂可除？ 我们思考一下。 我们之前讨论的几个10的幂都是正数， 正的10的幂。 10的幂也可以是负的。 我们知道10的0次幂是1。 我们从这儿开始。 10的负1次幂等于1/10，也等于0.1。 我换一个颜色。 我用粉色。 10的负2次幂等于1除以10的平方，等于 1/100，等于0.01。 我觉得你领会到了--其实， 让我再做一个使你能领会到。 10的负3次幂。 10的负3次幂等于1除以10的3次幂， 等于1/1,000，等于0.001。 所以规律就是10的负数次幂 就是小数点之后 有几位数。 这里不是0的个数。 这里，10的负3次幂，你只有 两个0，但是小数点后 有三位数。 所以小于这个的最大的10的幂是什么？ 那，小数点之后有几位数？ 有1，2，3，4，5，6。 10的负6次幂等于0.-- 小数点后有 6位数。 最后一位是一个1。 所以这里有5个0和一个1。 那就是10的负6次幂。 这个数字是这个数字乘以7。 如果我们将这个乘以7，我们得到7乘以1。 然后在小数点后有 1，2，3，4，5，6个数字。 所以1，2，3，4，5，6。 所以这个数字乘以7明显等于我们 一开始的数字。 我们可以重新写这个数字。 我们可以把它写成等于这个数， 而不是每次写出来这个数。 或，我们可以把它写成7。 这等于7乘以这个数字。 但是这个数字不比这个数字简单多少。 但是这个数字跟10的负6次幂是相等的。 7乘10的负6次幂。 所以你可以想象-- 像这样的数字--如果我们有个7-- 比如说这样。 比如说这里有个7和3。 那我们怎么办？ 我们应该先看这位数， 因为这是小于这个数的 最大的10的幂。 如果我像表示这个数， 让我再写一个相似的小数。 比如说，我想用科学计数法表示 0.0000516。 我会看第一个非0的小数位， 第一个非0的小数位。 所以我会想，小于这个数的 最大的10的幂是什么？ 所以我会数1，2，3，4，5。 等于5.16。 我保留5，其他的 都在小数点后面。 乘10。 这个是小于第一个非0的小数位 的最大的10的幂。 是1，2，3，4，5。 所以是10的负5次幂。 我再做一道例题。 所以我想告诉你的是，先看第一个-- 从左数，第一个非0的小数位。 这就是你得到幂的数值的地方。 这是我得到10的负5次方的地方， 因为我数了1，2，3，4，5。 你需要数有几位数，像我们在这边做的一样。 后面的数字全部都在小数点之后。 我再做一道例题。 比如说0.-- 我的妻子总是说， 我应该在小数点之前写一个0， 因为她是一名医生。 如果有谁没看到小数点的话， 他有可能服用过大剂量的药。 所以我用她的方式写，0.0000000008192。 这明显不是一个很容易写出来的数字。 你也有可能忘记了一个0或者 多写了几个0，这有可能使你在做科学研究时 付出了一些代价。 或者，其实你也不会开 这么小剂量的药。 或者，我也不想多讨论那个。 但是我怎么能用科学计数法表示这个数字？ 我先从第一个非0的小数位， 从左开始数的话。 所以是8.192。 我写一个小数点然后写8.192乘--乘10的几次幂？ 我就数一数吧。 乘10的1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。 我需要包含这个数字，10的负10次幂。 我觉得你也觉得 这个数字比这个数字 更容易写。 然后，这也是科学计数法 很有用的一处。 比如说我想 将两个数字相乘。 比如说我想将数字0.005与 0.0008相乘。 其实这道题比较直接， 但是有的时候会比较难。 尤其是如果小数点前后 有二三十个10的话。 在这里写个0，为了让我的妻子开心。 但是你用科学计数法表示的话 会更简单些。 这个数字可以重写乘5乘10的几次幂？ 小数点后有1，2，3位数。 10的三次幂。 这个是8，所以这是8乘 10的--对不起，这是5乘10的负3次幂。 这很重要。 5乘10的三次幂会是5,000。 你需要尤其注意这一点。 那么，这个数等于什么？ 小数点后有1，2，3，4位数。 所以是8乘10的负4次幂。 如果我们想将这两个数字相乘， 这跟5乘10的负3次幂 乘以8乘10的负4次幂是一样的。 科学计数法不意味着什么特别的。 它表示出来的就是它的意思。 所以做乘法的话，你可以这样写出来。 做乘法时，顺序不要紧。 所以我可以把这个重写乘5乘8乘 10的负3次幂乘以10的负4次幂。 然后，5乘8是什么？ 我们知道5乘8等于40。 所以就是40乘以10的负3次幂乘10的负4次幂。 如果你熟悉指数运算法则， 你应该知道当你将两个 同底数的幂相乘，你就将指数相加。 所以你将负3和负4相加。 所以等于40乘10的负7次幂。 我们再做一个例子。 假设我们要将阿伏伽德罗常数与另外一个数相乘。 我们知道等于6.022乘10的23次幂。 假设我们要将它和一个特别小的数相乘。 比如说，乘以7.23乘10的负22次幂。 这是一个非常小的数字。 这里是小数点，后面会有 21个0。 然后会有一个7，一个2和一个3。 这是一个非常小的数字。 但是当你使用科学计数法进行乘法运算时， 这其实挺直接的。 这等于6.0--让我好好写一下。 6.022乘10的23次幂乘7.23乘10的负22次幂。 我们可以将顺序调整，等于6.022乘7.23。 这是这个部分。 所以你可以把它看作为科学计数法 的第一部分乘以10的23次幂乘以10的 负22次幂。 然后，这是-- 你需要进行小数乘法的运算。 结果会是--一个数字--好像差不多是40。 我不能在脑子里做出来这个。 但是这个部分很容易计算。 我就把它放在这儿。 但是这个部分就是，乘 10的23次幂乘以10的负22次幂。 你只需要将指数相加。 你会得到10乘1次幂。 然后这个数字，它等于什么， 我就把它放在这儿， 因为我没有计算器。 0.23。 让我看看，就是7.2。 让我看看，0.2乘--像是五分之一。 结果是41左右。 这个大约是41乘10的1次幂。 另外一种表达方式是 结果大约是410左右。 为了得到准确的答案， 你需要进行这部分的乘法运算。 所以我希望你了解到了科学计数法是，第一， 对表示很大或者很小的数字来说很有用。 它不仅让理解和写 这些数字更容易， 也简化了数字的运算。