简化平方根回顾

了解如何重写平方根 (以及包含它们的表达式), 使得在平方根里没有完美的平方. 例如, 重写 √75 作为 5⋅√3。

简化平方根

通过把根号内包含平方数的因数，开方移到根号外的方法，我们可以对

\sqrt{75}

进行简化.

首先我们对

75

进行因数分解，看看因数中是否有平方数：

75 = 5 \times 5 \times 3 = 5^{2} \times 3

找到一个！这样我们就可以对根式进行简化了：

\begin{aligned} \sqrt{75} & = \sqrt{5^{2} \cdot 3} \\ = \sqrt{5^{2}} \cdot \sqrt{3} \\ = 5 \cdot \sqrt{3} \end{aligned}

因此，

\sqrt{75} = 5 \sqrt{3}

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问题1.1

化简。
将下面二次根式化成最简二次根式。

\sqrt{12} =

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通过把根号内包含的所有平方数的因数，开方移到根号外的方法，我们可以对

\sqrt{54 x^{7}}

进行简化.

我们先对

54

进行因数分解：

54 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 = 3^{2} \cdot 6

接下来，我们看

x^{7}

中包含的最大平方数：

x^{7} = {(x^{3})}^{2} \cdot x

现在我们可以化简了：

\begin{aligned} \sqrt{54 x^{7}} & = \sqrt{3^{2} \cdot 6 \cdot {(x^{3})}^{2} \cdot x} \\ = \sqrt{3^{2}} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{{(x^{3})}^{2}} \cdot \sqrt{x} \\ = 3 \cdot \sqrt{6} \cdot x^{3} \cdot \sqrt{x} \\ = 3 x^{3} \sqrt{6 x} \end{aligned}

问题2.1

化简。
将下面二次根式化成最简二次根式。

\sqrt{20 x^{8}} =

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