主要内容

有理表达式简介

了解什么是有理表达式以及它们未定义的值.

本课内容

本课介绍的内容是有理式。您将学习一个有理式在什么情况下无意义，以及如何找到让有理式有意义的域。

有理式是什么?

多项式是由一到多个含有

x

的整数次幂的项相加而成的代数表达式, 比如

3 x^{2} - 6 x - 1

有理式是由两个多项式组成的分式。也就是说，有理式是一个分数，其分子和分母的值都是多项式。

举例来说，下面这些式子都是有理式：

$\frac{1}{x}$ ‍, $\frac{x + 5}{x^{2} - 4 x + 4}$ ‍, $\frac{x (x + 1) (2 x - 3)}{x - 6}$ ‍

我们注意到，分子可以是常数，多项式的次数和形式可以各种各样。

有理式何时无意义？

我们来看这个有理式：

\frac{2 x + 3}{x - 2}

。

我们可以将特定的

x

的值代入，得到有理式的值。比如在

x = 1

时，有理式的值为：

$\begin{aligned} \frac{2 (1) + 3}{1 - 2} & = \frac{5}{- 1} \\ = - 5 \end{aligned}$ ‍

我们可以看到，当

x = 1

，有理式的值为

- 5

。

现在我们来计算这个有理式在

x = 2

时的值。

$\begin{aligned} \frac{2 (2) + 3}{2 - 2} & = \frac{7}{0} \\ = 无意义! \end{aligned}$ ‍

x

为

2

时，分母的值会变成

0

。除数为

0

是没有意义的，所以这个有理式在

x = 2

时是无意义的！

有理式的域

有理式的域是所有令这个有理式有意义的

x

的值的集合。

对于有理式来说，只要分母不为

0

就可以（因为除数为

0

是无意义的)。

换句话说，有理数的域包括所有令分母不为零的实数。

例题: 求有理式的域： $\frac{x + 1}{(x - 3) (x + 4)}$ ‍

找到所有令分母为零的值：

$\begin{aligned} (x - 3) (x + 4) = 0 \\ x - 3 = 0 or x + 4 = 0 & 乘数为零的特性 \\ x = 3 or x = - 4 & 求 x 的值 \end{aligned}$ ‍

所以这个有理式的域是除了 $3$ ‍和 $-4$ ‍的所有实数，简写为

x \neq 3, - 4

。

练习

1) 有理式 $\frac{x + 1}{x - 7}$ ‍的域是什么?

2) 有理式 $\frac{3 x - 7}{2 x + 1}$ ‍的域是什么?

3) 有理式 $\frac{2 x - 3}{x (x + 1)}$ ‍的域是什么?

挑战题

4*) 有理数 $\frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 8}$ ‍的域是什么？

有理式的域是所有令分母不为零的实数。

在这道题中，分母不是多个因式的乘积。要找到令分母为零的值，我们必须对分母进行因式分解，或者用其他方法找到令这个多项式为零的值。

对

x^{2} - 2 x - 8 = 0

进行因式分解是很容易的。我们得到：

$\begin{aligned} x^{2} - 2 x - 8 = 0 \\ (x - 4) (x + 2) = 0 \\ x - 4 = 0 or x + 2 = 0 & 乘法为零的特征 \\ x = 4 or x = - 2 & 求 x 的值 \end{aligned}$ ‍

因为

- 2

和

4

会让分母为零，必须把这些值从有理式的域中除去。

这个有理式的域是除了 $- 2$ ‍和 $4$ ‍之外的所有实数，简写为

x \neq - 2, 4

5*) 有理式 $\frac{x + 2}{x^{2} + 4}$ ‍的域是什么?

有理式的域是所有令分母不为零的实数。

不过，这种情况下分母不可能为零。因为

x

的所有实数值都会令

x^{2} + 4 > 0

。

另一种思路是令分母为零，然后求解

x

的值。

$\begin{aligned} x^{2} + 4 & = 0 \\ x^{2} & = - 4 & 实数的平方是非负数! \end{aligned}$ ‍

这里我们看到，让分母为零是不可能的，因为实数的平方不可能是负数！

既然分母不可能为

0

，这个有理式的域就没有限制，是所有实数的集合。

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