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简化有理表达式 (高级)

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你学会了有理表达式的简化吗? 很好! 现在, 深入了解一些高级示例.

在学习本课之前你需要熟悉的概念

有理式就是两个多项式的比值。如果一个有理式的分子和分母没有公因子，那么这个有理式就被化简到了最简形式。

如果这些概念对你来说有些陌生，我们建议您先查看我们的简化有理式的介绍.

本课内容

本课中，我们将练习简化更复杂的有理式。让我们先看两个例子，然后你可以自己尝试解决一些问题。

例题 1: 简化 $\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x}$ ‍

第一步：对分子和分母进行因式分解

这里我们要注意，虽然分子是一个单项式，我们一样可以提取它的因子.

$\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x} = \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot x^{2}}{2 \cdot x \cdot (x - 9)}$ ‍

第二步：列出令有理式无意义的值

根据分解以后的有理式, 我们可以看出 $x \neq 0$ ‍ 和 $x \neq 9$ ‍.

第三步: 约分

$\begin{aligned} \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot x^{2}}{2 \cdot x \cdot (x - 9)} & = \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot x^{2}}{2 \cdot x \cdot (x - 9)} \\ = \frac{5 x^{2}}{x - 9} \end{aligned}$ ‍

第四步：得到答案

我们最终得到的最简式如下:

$\frac{5 x^{2}}{x - 9}$ ‍ 并且 $x \neq 0$ ‍

要点

在这个例子中，我们学习到：有的时候即使是单项式也有必要进行分解来简化有理式。

看看你对知识掌握得如何

1) 简化 $\frac{6 x^{2}}{12 x^{4} - 9 x^{3}}$ ‍.

第一步：对分子和分母进行因式分解

$\frac{6 x^{2}}{12 x^{4} - 9 x^{3}} = \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 x^{3} (4 x - 3)}$ ‍

第二步：列出令有理式无意义的值

根据分解以后的有理式, 我们可以看出 $x \neq 0$ ‍ 和 $x \neq \frac{3}{4}$ ‍.

第三步: 约分

$\begin{aligned} \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 x^{3} (4 x - 3)} & = \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 \cdot x \cdot x^{2} (4 x - 3)} \\ = \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 \cdot x \cdot x^{2} (4 x - 3)} \\ = \frac{2}{x (4 x - 3)} \end{aligned}$ ‍

第四步：得到答案

$\frac{2}{x (4 x - 3)}$ ‍

注意到原有理式需要 $x \neq 0, \frac{3}{4}$ ‍。简化以后的表达式也有同样的定义域。所以我们不需要再多加任何注解了。

例题 2: 简化 $\frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ ‍

第一步：对分子和分母进行因式分解

分子和分母看起来没有公因子，但是

x - 3

和

3 - x

是相关的。我们可以从分子中提取

- 1

，这样就可以得到公因子

x - 3

。

\begin{aligned} \frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (- 3 + x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} 交换律 \end{aligned}

第二步：列出令有理式无意义的值

根据分解以后的有理式, 我们可以看出

x \neq 3

和

x \neq - 1

第三步: 约分

\begin{aligned} \frac{- 1 (x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (x - 1)}{x + 1} \\ = \frac{1 - x}{x + 1} \end{aligned}

最后一步，分子乘以

- 1

不是必须的，但大家通常都会这样做。

第四步：得到答案

我们最终得到的最简式如下:

\frac{1 - x}{x + 1}

并且

x \neq 3

要点

因式

x - 3

和

3 - x

互为相反，因为

- 1 \cdot (x - 3) = 3 - x

.。

在这个例子中，我们看到公因子被约掉，但是添加了一个因子

- 1

。也就是说

x - 3

和

3 - x

被化简为

-1

一般来说，当

a \neq b

时，互为相反的两个因式

a - b

和

b - a

可以被化简为

- 1

。

看看你的知识掌握地如何

2) 化简 $\frac{(x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)}$ ‍.

第一步：对分子和分母进行因式分解

分子和分母已经是因式分解的形式。

$\frac{(x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)}$ ‍

第二步：列出令有理式无意义的值

根据分解以后的有理式, 我们可以看出 $x \neq 2$ ‍ 和 $x \neq - 5$ ‍.

步骤 3: 约掉互为相反的因式

我们可以把

(x - 2)

和

(2 - x)

化简为

- 1

$\begin{aligned} \frac{(x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)} & = \frac{- 1 (x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)} \\ = \frac{- 1 (x - 5)}{x + 5} \\ = \frac{5 - x}{x + 5} \end{aligned}$ ‍

第四步：得到答案

我们最终得到的最简式如下:

$\frac{5 - x}{x + 5}$ ‍ 并且 $x \neq 2$ ‍

3) 化简 $\frac{15 - 10 x}{8 x^{3} - 12 x^{2}}$ ‍.

并且

x \neq

第一步：对分子和分母进行因式分解

$\frac{15 - 10 x}{8 x^{3} - 12 x^{2}} = \frac{5 (3 - 2 x)}{4 x^{2} (2 x - 3)}$ ‍

第二步：列出令有理式无意义的值

根据分解以后的有理式, 我们可以看出 $x \neq 0$ ‍ 和 $x \neq \frac{3}{2}$ ‍.

步骤 3: 约掉互为相反的因式

我们可以把

(3 - 2 x)

和

(2 x - 3)

化简为

- 1

$\begin{aligned} \frac{5 (3 - 2 x)}{4 x^{2} (2 x - 3)} & = \frac{5 \cdot (- 1) (3 - 2 x)}{4 x^{2} (2 x - 3)} \\ = \frac{- 5}{4 x^{2}} \end{aligned}$ ‍

第四步：得到答案

我们最终得到的最简式如下:

$\frac{- 5}{4 x^{2}}$ ‍ 并且 $x \neq \frac{3}{2}$ ‍

让我们再多做一些练习。

4) 简化 $\frac{3 x}{15 x^{2} - 6 x}$ ‍.

5) 化简 $\frac{3 x^{3} - 15 x^{2} + 12 x}{3 x - 3}$ ‍.

并且

x \neq

第一步：对分子和分母进行因式分解

我们注意到分子中的公因子

3 x

，可以被约掉，剩下的三项式可以继续做因式分解。

$\begin{aligned} \frac{3 x^{3} - 15 x^{2} + 12 x}{3 x - 3} & = \frac{3 x (x^{2} - 5 x + 4)}{3 (x - 1)} \\ = \frac{3 x (x - 4) (x - 1)}{3 (x - 1)} \end{aligned}$ ‍

第二步：列出令有理式无意义的值

根据分解以后的有理式, 我们可以看出 $x \neq 1$ ‍.

第三步: 约分

$\begin{aligned} \frac{3 \cdot x (x - 4) (x - 1)}{3 \cdot (x - 1)} & = \frac{3 \cdot x (x - 4) (x - 1)}{3 \cdot (x - 1)} \\ = x (x - 4) \end{aligned}$ ‍

第四步：得到答案

我们最终得到的最简式如下:

$x (x - 4)$ ‍ 并且 $x \neq 1$ ‍

6) 化简 $\frac{6 x^{2} - 12 x}{6 x - 3 x^{2}}$ ‍.

第一步：对分子和分母进行因式分解

我们注意到分子分解出的公因子是

6 x

，分母中的公因子是

3 x

。

$\begin{aligned} \frac{6 x^{2} - 12 x}{6 x - 3 x^{2}} & = \frac{6 x (x - 2)}{3 x (2 - x)} \end{aligned}$ ‍

第二步：列出令有理式无意义的值

根据分解以后的有理式, 我们可以看出 $x \neq 0$ ‍ 和 $x \neq 2$ ‍.

步骤 3: 约掉公因子和互为相反因式

我们注意到

6 x

可以写成

2 \cdot 3 x

。然后我们可以从分子和分母中同时约掉

3 x

。

$\begin{aligned} \frac{6 x (x - 2)}{3 x (2 - x)} & = \frac{2 \cdot 3 x \cdot (x - 2)}{3 x \cdot (2 - x)} \\ = \frac{2 \cdot 3 x \cdot (x - 2)}{3 x \cdot (2 - x)} \\ = \frac{2 \cdot (x - 2)}{(2 - x)} \end{aligned}$ ‍

接下来我们可以把互为相反数的

(x - 2)

和

(2 - x)

化简为

- 1

$\begin{aligned} = \frac{2 \cdot (x - 2)}{(2 - x)} \\ = \frac{2 \cdot (- 1) (x - 2)}{(2 - x)} \\ = - 2 \end{aligned}$ ‍

第四步：得到答案

我们最终得到的最简式如下:

$- 2$ ‍ 并且 $x \neq 0, 2$ ‍

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八年级

课程: 八年级 > 单元 5

在学习本课之前你需要熟悉的概念

本课内容

例题 1: 简化 10x32x2−18x‍

要点

看看你对知识掌握得如何

例题 2: 简化 (3−x)(x−1)(x−3)(x+1)‍

要点

看看你的知识掌握地如何

让我们再多做一些练习。

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例题 1: 简化 $\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x}$ ‍

例题 2: 简化 $\frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ ‍