三角形的内心和内接圆

有一个三角形ABC 上次我们开始探索了 角平分线上点的一些性质 现在我要做的 是要看一下 当我们把这些思想用到 三角形或三角形中的角上时会怎样 让我们把这个角平分 角BAC 画一条角平方分线 角平分线看起来像这样 我要保证平分这个角 很接近 看起来很接近 这就是角平分线 让我们把这个点叫做 嗯 把这个点叫做D 让我再画一个角平分线 平分角ABC 让我画出这个 它看起来像这样 把这个点叫做E AD平分角BAC BE平分角ABC 这条绿线AD 平分这个角 这告诉我们这个角 一定和这个角相等 它们的角度一定相同 这条平分角ABC 告诉我们ABE的角度 一定等于EBC的角度 EBC 我们清楚地看到它们相交在 三角形内部的一个点 把它叫做 就把它叫做I 我跳过了几个字母 但它是一个很有用的字母 根据一会儿我们叫它的名字 我们知道I一些有趣的性质 I在这两条角平分线上 我们在之前的录像中看到过 角平分上的点 到角的两边距离相等 例如 I在AD上 所以它到角BAC的两边距离相等 这是一边 这是一边 这是另一边 因为I在AD上 我们知道这两个距离相等 这是I和边的最短距离 我们在之前的视频中已经讲过 当我们谈到点与线之间的距离时 我们指的是最短距离 是你画直角符号时的距离 所以我在这儿画一个直角符号 让我们做个标记 这个是点F 这个是点G 因为I在AD上 在这条角分线上 我们知道IF 和IG相等 足够均匀 I也在这条角分线上 它也在BE上 它一定是等距的 I到AB和BC等距 I到AB的距离 我们已经说过是这儿 是IG 我们也知道 那个距离一定和I到BC的距离相等 如果我再在这儿画一个直角 把这个点叫做 还没用过H 这个距离一定等于这个距离 因为I在这条角分线上 所以IG一定等于IH IG一定等于IH IF也等于IG 所以我们也可以说 如果IF等于IG等于IH IF也等于IH 很简单 如果这个等于那个 那个等于那个 那么这两个一定相等 如果I到一个角的两边距离相等 这是我们是上一节视频中证明的第二部分 如果一个点到角的两边距离相等 那么这个点一定在角分线上 所以 I一定在角分线上 I在角ACB的角分线上 因为它到角ACB的两边距离相等 我们刚刚证明的是 三角形中有唯一一点 同时在三条角分线上 三条线时不是很明显 通常三条线 不会交于一点 两条直线时很合理 但是三条直线不总相交于一点 让我们看一下外心 我们取边的垂直平分线 很整洁 它们相交一点 现在我们证明 角分线也相交于一点 I在角ACB的角分线上 角ACB的角分线看起来像这样 像这样 这个角 等于这个角 我们刚刚证明了 三角形的三条角分线 相交于唯一一点 同时在三条上 我们应该取个特别的名字 实际上我们有 这是我为什么把它叫做I 我们把I叫做内心 三角形ABC的内心 你们将看到第二个原因它为什么叫做内心 当我们谈到外心 它是一个圆的圆心 三角形外接圆的圆心 I 我们将在五秒钟之内看到 是一个圆的圆心 是一个圆 可以放在三角形内部 与三条边相切 我们怎么构造它呢 我们刚刚证明了 I和三边距离相等 这个距离和那个和那个相等 如果我们以I为圆心 以I到任意一边的距离 为半径 以IF或IG或IH为半径 你将得到 这样一个圆 将得到这样一个圆 你将 让我画得好看些 我没有 你可以想象 这是我画得最好的了 这个圆的半径 等于I到各边的距离 我们已经证明它们相等了 它们都在圆内 我们把它叫做内切圆 所以圆I 记住用圆心表示圆 圆I是三角形ABC的内切圆 圆I的半径 我们可以叫这个距离R R等于IF等于IH 等于IG 我们把这个长度叫做内径 很有道理 因为它在里面 我们有 当我们谈到 垂直平分线的交点时 我们有外心 因为它是三角形的 外接圆的圆心 现在我们谈的是角分线的交点 用它我们可以定义一个圆 它在一个三角形中 与各边相切 因为它在三角形中 我们叫它内切圆 我们把角分线交点叫做内心 我们把这个距离叫做内径