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内径、周长和面积

演示(三角形的)面积等于内径乘以半周长. Sal Khan 创建

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视频字幕

我们已经知道三角形ABC的周长为p 内径为r 利用p和r我们需要求出ABC的面积 我们知道周长就是三角形各边之和 或者说是沿着三角形转一圈的长度 我们来回顾一下内径是什么 我们取这些顶点的角平分线 取这些角 那是角平分线 那也是角平分线 这个角与那个角相等 这个角与那个角相等 这个角也与那个角相等 这些角平分线相交的点 就是内切圆心 它到三边的距离相等 这个距离就是内径 我来画一下内径 当你想知道这个点与这条线的距离时 就画一条垂线 那么这个长度就是内径 这个长度也是内径 这个长度还是内径 还可以画一个内切圆 它的圆心就在内切圆心上 半径为r 画起来就像是这样 解题时 我们不一定要把它画出来 画出来就像是这样 我们叫它内切圆 我们来想想怎么求出面积 特别是在给定了内径大小的情况下 内径其实还挺有意思的 它看起来像是一条高 这个就像是这个三角形的高 三角形A 我们取内切圆心为I 所以说这个r是三角形AIC的高 这个r是三角形AIC的高 这个我们还没有标上去的r 就是三角形AIC的高 我们就可以根据r和相应的底边来求出每一个三角形的面积 也许当我们把所有三角形的面积相加 根据周长和内径 就可以得到一些东西 我们来试试看 所以整个三角形ABC的面积等于 我用颜色标记一下 面积等于AIC的面积 也就是我涂了紫红色阴影的部分 面积等于AIC的面积 加上BIC的面积 就是这个三角形 我用另外一个颜色好了 已经用了蓝色 那么我用橙色好了 加上BIC的面积 就是这部分面积 加上BIC的面积之后 还要加上一块面积 我用粉色好了 加上AIB的面积 这是AIB的面积 把这三个三角形的面积相加 就得到大三角形的面积了 现在我们看AIC的面积 它等于二分之一的底乘以高 也就是二分之一乘以底的长度 就是AC 也就是二分之一的AC 再乘以这条高 也就是r 就是再乘以r 这就是AIC的面积 BIC的面积是二分之一的底 也就是BC 乘以高 也就是r 再加上AIB的面积 也就是二分之一的底 就是AB边的长度 AB乘以高 同样也是r 这里我们可以提出二分之一的r 就得到二分之一的AC BC与AB之和 接下来应该很明白了 加上AB 我们用不同的粉色标记 现在我们看 AC加BC加AB得到什么呢 得到的是三角形的周长 求出所有的边长总和 得到的就是周长p 到此为止 问题基本上是解决了 三角形ABC的面积等于二分之一的r乘以周长 答案看起来很简单吧 二分之一乘以内径乘以三角形的周长 有时候也写成这样 面积等于r乘以p除以s 不好意思 应该是p除以2 p除以2的部分 也叫半周长 通常用s表示 所以有时候面积也等于r乘以s 此时s表示半周长 就是周长除以2 我比较偏向于这种表达式 因为p是周长的首字母 就代表周长 这很有用 显然 已知内径和周长的大小 你就可以求出三角形的面积 或者 有人告诉你三角形的面积以及周长大小 你就可以求出内径的大小 在这些变量中任取两个就可以得出第三个量 举个例子好了 如果有人 假设这里有个三角形 是最著名的直角三角形 假设长度是3 4 5 我们知道这是一个直角三角形 这可以用勾股定理来验证 如果想要求这个三角形的内径 首先面积倒是很好求的 我们知道这是一个直角三角形 3的平方加上4的平方等于5的平方 所以面积就是3乘以4乘以二分之一 3乘以4乘以二分之一等于6 周长为3加4 等于7 再加上5 等于12 那现在我们知道了面积 写下来 面积等于二分之一乘以内径乘以周长 也就是12等于二分之一乘以内径乘以周长 也就是 噢不好意思 这是6 改一下 面积为6 6等于二分之一乘以内径乘以12 此时我们看 二分之一乘以12等于6 6等于6r 两边同时除以6 得出r等于1 接下来画出内径 这倒是很简单的 画一些角平分线 这个3-4-5型直角三角形的内径为1 那么这段距离与这段距离相等 也与这段距离相等 都等于1 答案很简单吧