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点和线之间的距离

思考点和线之间的距离。 证明:在角度平分线上的一个点与角的两边等距;对两边等距的点处在角度平分线上。 Sal Khan 创建

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视频字幕

本次视频要讲的是 角平分线上的点 在讲之前我想确认一下 大家是否明白点到直线距离的含义 假设有一个点 点A 这是一条直线 我们叫它BC 当我们说两点之间的距离时 这很明显 在两点之间画一条线即可 已经用过B了 只需要在这两点间画一条直线 找出它的长度即可 两点间的距离看起来是很简单的 但点与直线的距离呢? 因为直线上有很多点 我们可以找这个距离 还可以找这个距离 或者是找这个距离 这些距离的长度都是不相等的 那怎么寻找唯一的距离呢? 咱们是这样思考这个问题的 在之后的数学课中 尤其是在向量和线性代数 我们会更深入地讲 点到直线的距离是最短的距离 这个最短距离就像是 你从点画一条垂线到直线 就是这条线 这条线就是我们之称之为 点到直线的距离 它们是垂直的 这个距离是最短的距离 你可以与这个点 到直线上其它点的距离相比 在这条直线上再选一点 我们称之为点E 咱们来想一想 E是个任意的点 我可以把E画在这儿 可以把点E画在这儿 可以把它画在任何地方 但不管点E在哪 你在点A 点E画线段后 点A 点E 以及垂直的点 就构成了一个直角三角形 我们设这个点为F 但只有点E和点F不重合时 才能够组成一个直角三角形 如果这样做了 你立马就可以看出d比橙色的线段短 因为橙色的线段是直角三角形的斜边 斜边是直角三角形中最长的边 d的平方加这条边的平方 等于斜边长的平方 希望这至少能让大家明白 为什么点到直线做垂线 是点到直线的最短距离 这个唯一的最短距离 我们称之为点到直线的距离 讲了这个之后 咱们来想下角的平分线 我先画一个角 我们设这个点 我换个颜色 我们设这个点是点A 设这个点为点B 再设这个点为点C 角的平分线实际上就是一条把角平分的 直线 线段或射线 这个之前我们有讲过 比如 如果我们想等分∠ABC 就是这个角 我们想把它等分为两部分 我们想把它分成 我可以画得更好一点儿 我们想把它等分为两部分 我想画直一点儿 我画得不好 这看起来不错了 咱们设这个点为点D 我们可以说这是一条 射线或线段之类的 我们可以这样想 如果∠DBC和∠DBA是相等的 如果∠DBC和∠DBA相等 我们就可以说DB平分∠ABC 我现在说的是线段DB 我们也可以一直向右画成一条射线 或一条直线 DB平分∠ABC 非常好 我之所以做 点到直线距离这个视频 是为了向大家证明 角平分线上的任意一点 到角两边的距离是相等的 然后再反过来证明 一个点到角两边的距离相等 这个点就在角的平分线上 咱们在角平分线上任意取一点 就选这个点 我们设这个点为F 其实我也可以用E 因为我还没用E呢 点E就是角平分线上的任意一点 我们现在来看一下点E到BC的距离 以及点E到BA的距离 我们已经讲过点到直线的距离就是 从点画直线的垂线 这一直成立 咱们就在这儿画一条垂线 这是一个距离 这是另一个距离 这个距离就是 点E到BC的距离 这个橙色的线段是点E到BA的距离 我想证明的就是这两个距离是相等的 首先 要注意的是 这两个是直角三角形 它们的角都是相等的 不是共用 ∠ABE=∠CBE 因为DB平分这个角 所以这两个角是相等的 这两个三角形都是直角三角形 所以它们有两个角是相等的 也就意味着它们三个角都是相等的 因为两个角已经决定了第三个角的大小 它们还共用一条边 这两个三角形有三个角是相等的 不一定是相同的 而且还共用一条边 BE是这两个直角三角形的斜边 因此你可以用这个角 这个角和这条斜边 这个角 这个角和这条斜边 来证明这两个三角形是全等的 我们可以说 我来标几个点 设这个点为点F 设这个点为点G 我们可以说△EBF和△EBG全等 我们可以用角角边来证明 或者你可以说 如果两个同位角相等了 第三个角也相等 这个角也是相等的 就可以用角边角来证明 但不管用哪种方法 这两个三角形都是全等的 如果这两个三角形全等 它们对应的边也是相等的 因此线段EF的长 线段EF与线段EG的长度相等 这其实就是 EF的长等于EG的长 这两种说法是相同的 EF的长 等于EG的长 这两个长度是 点到角两边的距离 我们已经证明了第一个命题 角平分线上的点 到角两边的距离相等 咱们再反过来证 假设有 我先画一个角 设这三个点为A B C 再取一个任意点 点E 咱们取个任意点 点E 假设我们已经知道 点E到BC和BA的距离相等 我们要证明的是 点E在∠ABC的平分线上 这边证明的是 角平分线上的点到角两边的距离相等 这里我们要证明的是 如果到角两边的距离相等 那么这个点在角平分线上 如果点E到BC和BA的距离相等 那么这里的垂直距离 这里的垂直距离 是和那边的垂直距离 是相等的 我来标下这些点 设这个点为点D 设这个点为点F 咱们画线段BE 画出线段BE 现在又有两个直角三角形了 我们已经知道有两条边是相等的了 它们又共用一条斜边 斜边自己肯定相等 根据勾股定理 如果知道直角三角形中的两条边 那么第三条边也就固定了 我们知道有两条边相等了 所以第三条边也是相等的 所以这两条边是相等的 大家可以用边边边定理 来证明这两个三角形全等 你其实可以不用边边边 如果两个三角形是直角三角形 你可以用HL来证明 如果有两个直角三角形 它们有一条直角边相等 斜边也是相等的 就能证明这两个直角三角形全等 你也可以用HL来证明两直角三角形全等 不管怎么样 你都可以证明 △EBD与△EBF全等 与三角形EBF全等 我们这里用的是边边边 你也可以用HL来证明 我写下来RSH 角边边对任意三角形都是用 但是 其实RSH对于直角三角形来说就是角边边 如果直角三角形的两条边相同 如果直角三角形的两条边相等 那么这两个三角形肯定全等 这就是这个RSH要表达的 如果知道两个三角形全等 那么它们对应的角也是相等的 ∠EBD和∠EBF相对应 所以∠EBD肯定和∠EBF相等 所以∠EBD肯定和∠EBF相等 如果∠EBD等于∠EBF 这就说明线段EB等分∠CBF 等分∠CBF 我也可以说∠CBA 它可以被叫做∠CBF 大功告成 这边我们证明了 角平分线上的点到角两边的距离相等 这边我们证明了 如果某点到角两边距离相等 那么这个点在角平分线上 也可能是角平分线的末端 但很明显 它是在角平分线上的