中线，重心例题

我们已知边AE等于12 边EC等于18 所有的中线都已画出 我们看得出来是中线 它们与对边相交的交点 把对边平分 这边ED和CB分别与DC和BA相等 AF等于EF 所以F B D是中点 G就是质心 质心就是中线的交点 有关质心的第一个问题就是 这个三角形BGC的面积是多少 要算出三角形的面积 我们来回想一下质心的定义 质心是三角形三条中线的交点 它把三角形分成六个面积相等的小三角形 所以我们只要知道整个三角形的面积 就能算出小三角形的面积 我们来看看这个直角三角形 AE等于12 我们要用它乘以另一个直角边 EC等于18 所以三角形AEC的面积就是 1/2乘以底18和高12 得出结果是108 这就是整个大直角三角形AEC的面积 要得出小三角形BGC的面积 或者是任意一个小三角形的 或者更准确地说 由中线分割出来的任意一个小三角形 我们只要把整个三角形的面积除以6 因为我们之前已经证明过这六个三角形面积相等 所以三角形BGC的面积等于三角形AEC的1/6 就是108除以6 十位为1还余48 最终结果是18 验证一下18乘以6确实是108 所以我们知道这一部分面积是18 我们也可以知道 所有以中线为边的小三角形 都有同样的面积18 例如三角形FGE面积即是18 我们完成了三角形面积的计算 现在让我们看看下个问题 这条中线上较长的一边AG的长度是多少 我们先来回顾一下定义 三角形的质心是三条中线的交点 它是中线的一个三等分点 它把中线分为两条线段 这两条线段的比例是2:1 要求出AG的长度 我们只需要求出整条中线的长度 然后乘以2/3就行了 这里我们已经知道这是一个直角三角形 F和D是中点 我们已经知道AE等于12 这边调整了颜色的线段ED 长度就是18乘以1/2等于9 我们将要用这个ED来求中线的长度 根据勾股定理 AD是直角三角形的斜边 我们现在来看三角形AED 让我用笔来计算 我们知道 AD的平方等于 9的平方加上12的平方 12的平方144加上9的平方81 等于225 等于AD的平方 AD的平方为225 所以我们知道 AD等于15 因为我们要求的是边的长度 我们不考虑负数 所以我们只取正的平方根 AD只能等于15 这条边是15 我们之前已经证明过 三角形的质心是三条中线的交点 它把三条中线三等分 这里AG是中线上较长的一段 AG的长度就是AD的2/3 AG等于15乘以2/3 最后结果是10 AG的长度就是10 第二个问题就这样解决了 现在来看第三个问题 我们要求出这个加深颜色的三角FGH的面积 要求出三角形FGH的面积 我们只需要知道HG和FH的长度 这里我们可以用很多种方法 来求出HG和FH的长度 我们首先来回顾一下 HG是三角形FGE的高 HG也是三角形AFG的高 这两个三角形的底都是6 两个三角形底都是6 这条边和这条边是6 他们都有高GH 我们早已经知道三角形的面积 这个三角形的面积为18 我们就用这边这个三角形AFG为例 我们知道三角形的面积 等于底边和高相乘除以2 这边这个三角形AFG的面积 我们就可以用GH乘以AF 再除以2 最后得出的面积一定是18 通过计算得出 3乘以GH等于18 等式两边同除以3 得出GH等于6 这是一种方法来求边GH 我们也可以用同样的方法 只不过换一个三角形 我们来看这个大一点的三角形 这条边是斜边 它的长度是整条线段的2/3 这条边的长度就是9乘以2/3等于6 这是另外一种方法求GH 无论什么方法我们都得出GH等于6 我们现在来求FH的长度 我们只需知道AH的长度就可以得出FH的长度 我们已经知道AF等于6 FH就等于AH减去AF 所以我们要先求出AH长度 我们可以用与上面相同的方法来求AH 我们用严谨的方式来求AH 这个大的三角形和这个小的三角形 都有个直角 他们也有一个同样的非直角 他们有两个相同的角 所以他们是相似三角形 我们要求这两个三角形的相似比 AH比上AE等于AG比上AD AE等于12 AG等于10 AD等于15 直接可以看出AH等于12的2/3 我们通过计算来演示一遍 运用相似三角形的性质 等号右边是2/3 两边同时乘以12 右边等于4 AH等于8 AF等于6 所以这里的FH等于2 现在我们有了足够的信息 用这些信息我们就可以求出三角形FGH的面积 让我写下来算 三角形FGH的面积等于 1/2乘以底FH再乘以高 我也可以用别的边做底 1/2乘以2乘以6 最后结果是6 运用这些方法 我们可以通过计算 算出几乎所有线段的长度 也可以用不同的方法 算出每一个区域的面积