用中线分割三角形

但是我现在想的是 如果有些三角形 三角形ABC 三角形的中线是什么 它们之间的关系是怎样的 他们有什么有趣的特性 你们可能会猜出这些东西 中线就是 从一个顶点出发 我们就从这里开始 然后我们二等分对边 这条线就是中线 中线从那里开始 二等分对边 从B到 比如说D 的线段长度 等于D到C的线段长度 现在我们对每个边都这么做 就像这样 我可以在这儿画条中线 我们把这点设为E 从A到E的长度 就会和E到C的长度相等 尽管这个有点偏了 但他们还是很接近的 我们等下要画另一条中线 在这个视频里我不会证明这一点 但所有的中线 这又是个奇妙的事 三条线总是交于一点 所有的中线都会相交在那一点 他们都是共点的 他们都会相交于中间的一个共同点 让我们这样画 我不会在这个视频里证明长度的问题 我们把那边的那个点设成F 这个就是它的长度 这边的长度等于那边的长度 这些中线相交的那个点 我们叫它几何中心 当我们开始学物理的时候 如果你真的学 这是个均匀三角形 你需要画这个 它会绕着这里的几何中心旋转 但现在我们只是从几何的角度学习 我们设这个几何中心 哦 我们不能再用F了 我们设这个几何中心为G 现在我要讲的是 它自己很齐整 有个几何中心 你要是把它画出来 它是个匀质体 它会绕着几何中心旋转 但更奇妙的是 我们可以看到我们分割的三角形 6个小三角形 这很酷 尽管它们不一定是全等三角形 但它们面积一样 这正是我们要在这个视频里证明的 这6个三角形都有着相等的面积 为了便于理解 我们先看2个 我们会讨论不同的成对的三角形 我们先看这里这两个三角形 我们来看这里的两个三角形 要证明这两个面积相等 我们要用到一个简单的定理 想象这两个三角形在旋转 只是那边的两个三角形旋转 就会像这样 就会像这样 让我尽最大努力画啊 这就是G 我甚至把它跟那个G 涂成一样的颜色 这就是那里的那个边 这是C点 这是B 就是那里的那个B 然后这里的边 就是这条中线的第二部分 这里的点是D 现在 我们知道 呃 这里我画的不太好哈 我们知道这个长度等于这个长度 这两个三角形 如果我们开始讨论面积 他们底一样 关于面积 我们知道 面积等于二分之一底乘高 我们确定两个底相等 那它们的高呢 其实它们的高也相等 它们的高 都是这么高 它们有着同一个高 它们底相等 高相等 对于这里的钝角三角形来说 顶垂线在它外面 这里有点难懂 如果你有一个像这样的钝角三角形 钝角就是说大于90度 你的顶垂线 你的高 在三角形的外面 这没什么问题 这两个三角形有相等的底 相等的高 它们必须面积相等 如果这个面积是X 那么这个的面积也是X 你可以用同样的方法 比如说 这个三角形和这个三角形 它们底相等 高也相等 这个的面积是Y 那么那边的面积也是Y 它们的面积都相等 最后 我们可以用这两个特性做同样的事 它们都有相等的底 比如说BF等于FA 而且它们高也相等 我们这么画顶垂线 如果我们设这个面积为Z 你也可以叫它面积Z 到目前位置 我们已经证明 我们可以 把它分成三对面积相等的三角形 但是我们想证明它们的面积都相等 这里 我们要用到同样的定理 但是我们用来自不同组合的三角形来证明 现在 让我们来看下这个三角形 三角形BAE 看三角形BAE 三角形BAE的面积 BAE的面积等于Z+Z+Y Z+Z+Y 我们再来看下三角形BEC的面积 BEC就在这儿 它就是 这里的三角形面积就是X+X+Y 同理可证 三角形BEC的面积就是X+X+Y 它们都有相等的底 相等的高 我们可以这样画顶垂线 这是个钝角三角形 顶垂线在它外面 但它们都有相同的高 这两个面积相等 你知道Z 嗯 我们就直接加起来 现在你知道2Z+Y和 2X+Y相等 2X+Y 两边都减掉Y 你得到2Z等于2X 两边同时除以2 你得到Z等于X 我们可以 把这里写成X 那里写成X 我们知道这些都有相同的面积 但是我们还是要担心这里的Y 要知道Y 我们只需要转变思路 现在看三角形ADC 我们用一个不同的颜色 这边我加亮的是三角形ADC 三角形ADC的面积就是2Y+X 就等于2Y+X 看那个三角形 让我看看啊 还有那些颜色我还没用过 用绿色吧 三角形ADB 三角形ADB的面积就是 嗯 你可以说它是2Z+X 但是我们知道Z等于X 它其实是X+X+X 它其实就等于 ADB就等于3X 我们用相同的想法 ADB的底是这个 跟ADC的底是一样的 而且它们的高也一样 我们可以这样画顶垂线 我们也可以这么画顶垂线 它们的高都是一样的 我们又一次用到同样的定理 这些三角形都等于另一些三角形 我们得到2Y+X等于3X 两边减掉X 你得到2Y等于2X 或者说Y等于X 所以又是这个奇妙的结果 当你从三角形的每个顶点到对边时 二等分对边 你这么做三次 你得到三条中线 这些线段叫中线 相交点叫几何中心 你知道真的酷的是 它把三角形分成6个面积相等的小三角形