重心和中线的证明

我画个任意三角形 并把三条中线也画出来 中线EB 中线FC和中线AD 我们知道这三条中线相交 在G点 我们叫它几何中心 我要在这个视频里证明给你们的是 几何中心在每条中线的二分之三处 或者说我们随便从三个中线里选一个 比如EB 我想做的是证明EG EG等于2倍的GB 所以无论这个长度是多少 另一个就是它的2倍 换句话说就是EG是 EB长度的三分之二 我们用这个逻辑来证明 我们可以用任意一条中线来证明 几何中心在中线的三 分之二处 或者把中线分成1比2的两条线段 我们主要用三角形ABE来证明 三角形ABE就在这儿 我来画条中线 我来用相同的方法给它标色 我们画的宽一点 看起来我们有两个黄边 所以它看起来就像这样 就像这样 然后几何中心就在这儿 点G 这就是几何中心 这条红色的线经过A 然我画得齐整一点 这条线通过A 这里我们还有一条蓝色的线 经过F 这条蓝色的线经过F 让我把所有点标成桔黄色 所以这个是E 这是B 这个是A 这里的就是F 确保我们标记的都一样 这个小标记就是那边个的标记 这边的两个标记就在那儿 然后整个过程要证明的是 EG的长度是GB的两倍 回想一下我们前几个视频得到的结果 中线把三角形等分成 6个面积一样的小三角形 换句话说 每三个在同一层的小三角形 它们都是6个小三角形中的三个 所以它们的面积都相等 让我们考虑这个三角形 三角形AGB 这个三角形AGB是同样的三角形 让我们和三角形对比 让我们和三角形EAG对比 让我们把这个三角形和 那边那个原来图中的三角形对比 它们有完全一样的高 如果我们把EG当成底 或者说共同的底 它们没有完全一样的底 这个小三角形的底是E哦抱歉 小三角形的底是GB 大的蓝色三角形的底是EG 但它们都是有相同的高 或者说顶垂线 当你这样画的时候 所以在两种情况下 它们的高就在这儿 我们知道的另一件事是 我们知道的另一件事 是蓝色三角形EAG 是桔黄色三角形面积的二倍 我们怎么知道的呢 是因为它里面有两个这样的三角形 换句话说 桔黄色三角形面积是X 你想让我叫它A 呃 我已经用过A了 所以我设它为X 那么每个蓝色三角形的面积都是X 或者说这整片蓝色区域 这整片蓝色区域面积是2X 所以你们看这两个蓝色三角形 我们知道面积是二分之一底乘高 所以低的一半就是EG的一半 我用绿色标记下 二分之一EG乘以高 这个黄色的高 就等于2X 就等于2X 我只是应用三角形面积公式 面积等于二分之一底乘高 让我们用同样的方法来算这个桔黄色三角形 一半 我往右移一下啊 二分之一GB乘以这个黄色的高 乘以高 等于X 等于X 如果等于X 我们可以用X代替 我们可以用X来代替整表达式 我们这么做 等到一半 你们可能已经知道怎么回事了 但是我不会跳过这步的 我们得到二分之一EG乘以H 等于2X 但是我不用X来表示 正如你们看到的 2乘以2乘以二分之一GB 乘以这个长度乘以小三角形的底 乘以H 现在我们化简 我们得到2乘以二分之一就是 就是1 两边同时除以H 我们得到二分之一EG等于GB 或者说EG除以2等于 我们做了这么多了 就接着用同样的颜色吧 用同样的颜色 我们可以写成二分之一EG等于GB 等于二分之一GB搞定 这就说明GB是EG的一半 GB是EG的一半 比如说EG是2 GB就是1 如果EG是4 那么GB就是2 所以我们证明了这个结果 现在我们回到最开始 这就是我们要证明的结果 我们把式子两边同时乘以2 把式子左边乘以2我们得到EG 式子右边乘以2 我们得到GB 所以我们证明了EG是GB的2倍 同理可以用在其他中线上 来证明几何中心 正好在中线的三分之二处