三角形的中线和重心

我想快速的介绍一下三角形的中位线 同时探求他们有趣的的性质 想想 这些性质会帮助 我们解决未来的问题 让我在这里画一个 画一个随意的三角形 现在看起来很好了 一个三角形的中位线 我们可以看到这个中位线 一个三角形有三条中位线 中位线仅仅是一条线连接 三角形的一个顶点和对面的边的中点 对面边的中点就在这里 这个长度等于这个长度 所以这就是中位线 足够准确了 当然我们有三个顶点 我们会有三条中位线 我们从这个顶点开始 我们要连到对面边 的中点 看起来就在这里 所以这条蓝色的线是另外一条中位线 这不是一条非常直的线 但是大家明白就好 我们也可以从这个点开始 就在这里 画一条线连接这个中点和对面边的中点 对面边的中点就在这里 我们画一条线 每一条线 我都可以画一条比那更直的线 我们画 只要了解这些概念就好了 这些是这个三角形的中位线 接下来关于中位线的 是三条中位线相交于一点 这是一个确定的性质 三条中位线相交的点叫做重心 这个点被叫做重心 这个点被叫做重心 如果这里有一个实体的三角形 假设是用铁做的 如果你想投掷它 或者在你投掷它之前 重心实际上会是重量的中心 假设这是一个铁三角形 就在这儿有一个铁三角型 它的重心就在这里 然后这个铁三角型重量的中心就会在重心这里 假设密度是均匀的 如果你真的投掷了 它会旋转 它会绕着这个点旋转 假设它有旋转运动 围绕着重心 围绕着重量的重心 但是这个视频的目的不是为了集中在物理上 投掷这个铁三角型 这里的目地 是我想要告诉你们中位线的性质 这个性质是那个距离 你随便挑一条中位线 从重心到对面边重心的距离 这个距离将会是这个距离的一半 如果这个距离这里是A 那么这个距离就是2A 或者用另外一种方式去表达这个 这个距离是这条中位线长度的三分之二 这个距离是整条中位线长度的三分之一 让我们来证明一下吧 这样你们就心悦诚服了 为了证明这个 让我随便画一个三角形 我会做一个2维的三角形 我还会做3维的 至少在我的大脑里 这样会使计算 会使计算变的更简单些 一般来说 无论你什么时候有 无论什么时候你有一个N维的 你插入一个N+1的维中 会使数学变的简单些 那就是我们所做的四面体问题 你实际上可以插入一个4维 那样会是数学变的更简单一些 这样会更难视图化出来 所以我就不那样做 所以让我们画一个随意的三角形 假设这里有一个顶点 这里一个顶点 这里一个顶点 我没有对三角形做任何的假定 我没有说这是等腰三角形 等边三角形 或者其它的 这仅仅是一个随意的三角形 让我们假设它的坐标 假设这个坐标是 我把这条轴看成X轴 这是X轴 这是Y轴 这是Z轴 我知道有些人习惯于调换这两个坐标轴 但是这没关系 让我们标出这些点的坐标 A在X轴上 A 0 0 这个点 0 B 0 这个C点0 0 0 如果你连接这些点 你会得到一个三角形 你有一个这样的三角形 现在这个三角形的重心 尤其在三维空间中 这个重心的坐标是 三个顶点坐标的平均值 这个重心的坐标 是三个顶点坐标的平均值 所以这里这个坐标是 X方向的坐标是 0 0 0+A 三个坐标加起来是A 被三除 得到A除以三 Y方向的坐标是B+0+0 等于B 但我们也要除三 我们对Z做同样的事情 平均值是C除以3 我不想再多证明什么了 你们可以自己去确认 但是它是平均值 找出这条线 这条线 这条线是什么 是这个三角形的重心或者质量的中心 如果它有一点重量 是这些坐标的平均值 现在我们要做的就是利用这些信息 用这个坐标 和距离公式来比较 让我们来比较距离 从橙色的点一直下到这里 一直到黄点 记住这里这个点 这就是那个点 这个的中位 会是这两个点的平均值 所以X坐标是0+A B+0除以2等于B除以2 这个点没有Z坐标 所以Z坐标为0 0+0除以2等于0 现在我们知道这个点 那个点 那个点的坐标 所以我们可以计算出黄色线的距离 我们可以计算出橙色线的距离 让我们来计算橙色距离 是等于根号下的 那个橙色距离等于根号下的 我们要计算出每个点差距的平方 这是A除以3减去0 然后平方 得到的是A的平方除以9 B除以3减去0 然后平方 除以九 C除以三 减去C 得到负2分之三 我们要平方那个 得到一个正数 4分之9的C平方 我做对了吗 C除以三 1/3 减1是负2/3 得到2/3C 把它平方 得到4/9 C的平方 这就是黄色线的距离 让我们来计算 其实我们可以 我们把这些表达的更简单一些 这个和根号下A平方+B平方+4C平方除以9的平方根 是一样的 9的平方根 就等于 就等于3 让我们对黄色距离用同样的方法计算 我们有A除以2减去A除以3 1/2减去1/3和 3/6减去2/6是一样的 得到1/6 A平方分之36 B/2减去B/3等于B/6 再平方一下 得到B平方除以36 最后得到0-C除以3 平方 得到C平方除以9 我们得到了一个公分母 C平方除以9和4C平方除以36是一样的 所以我们可以改写为根号下的 A+B平方+ 4C平方除以9 所以可以得到这里的这个距离 如果让橙色的距离乘以1/2 我将会得到 如果乘以1/2 或者除以2 如果乘以1/2 会得到黄色的距离 所以这个是那个距离的两倍 我们在最普通的情况下证明了这个 我们没有对三角形做任何假设 记住重心的那个性质 中线的交点 那个交点会在每个中位线的2/3处 远离顶点2/3中位线长度 或者远离 对面边中点1/3中位线长度 我们可以使用这个性质 我们可以在很多问题上使用这个性质 总之 我希望你们觉得这个有趣