线性函数应用题：涂漆

（读题）Hiro在油漆他的房间 他以每小时8平方米的进度作业 3小时后 他还剩28平方米就可以完成 所以3小时后 他还差28平方米需要完成 所以题目所说的是 有多少还没有完成的工作 而不是我们已经完成多少 我们用A（t）来表示还剩多少需要油漆 A是时间t的函数，单位为平方米 时间以小时来计算 所以A(t)，再强调一下，这是有多少还需要油漆 而不是我们完成了多少 写出这个函数表达式 我现在要做的 我们来看看这2个点 就让我们更明白一点 我来用不同的颜色来做 我们来想 A(t)在不同时间点的情况 这是时间 这个是A，时间的函数 他们各自给了我们一个数 他们说，“3小时油漆后 他有28 平方米还有待油漆“ 再次说明，A（t)就是我们还剩多少要油漆 不是我们已经完成了多少 我在这里留一点空间 预留给其他一些数值 或许0，1，2， 把3写在这里 3小时后，他还剩28平方米需要油漆 我们假设 单位都将是平方米 时间都是小时数 现在他们告诉我们刷油漆 的速度为每小时8平方米 那我们倒着时间想一下 往时间反方向 比如说2小时后 还剩多少没有漆 A(t)是多少 这个数比28多 还是比28少呢 如果他每小时 可以油漆8平方米 那每过一小时 他可以多漆一些 但是A(t)不是他完成了多少 而是他还需要油漆多少 所以他需要油漆的数量一定减少 随着时间的增加 所以随着时间增加 当时间增加的时候，A(t)要变小。 所以在2小时过去的时候，他会有更多未漆的地方 相比于3小时的时候 因为要记住 A(t)是他还没有完成的部分 那么在2小时的时候没有完成的部分 比3小时的时候多多少呢 那么题目告诉我们多了8平方米需要漆 他每小时漆8平方米 所以在2小时和3小时之间 他油漆了8平方米 所以在2小时的时候 他应该还有8平方米需要完成就到3小时 所以如果您在这里加8 您就有36 所以在2小时的时候 他有36平方米需要完成 那一小时的情况呢 在一小时时候，他会有更多于8平方米 的地方要油漆 所以36加8，等于44 在0小时的时候，他有多少要油漆呢 我用另一个颜色来做。在0小时 他有再多8平方米的地方要油漆 所以44加8等于52 我们来想想这是不是不合乎情理 如果是正确的话，那当他开始的时候 他有52平方米要油漆 一小时过去后 当时间发生变化1小时后 那么需要完成的油漆量变化了多少呢 是减少了8 A的变化是等于负8 这合乎情理 他的变化率应该是负的 因为他需要完成的量变少了 当时间往前推移 这个是很有趣的 现在我们来看看能不能 建立一个公式 或者是建立起这个函数的关系 这个事情是以匀速来变化的 每当时间变化了1小时 我们看到A(t)就减少8 t走了一小时，A(t)就减少8 题目是这么说的，因为 我们每小时油漆的速度为8平方米 所以无论何时当您描述什么事情的时候 这个事情是按照固定的变化进行的话 那么这个事情可以被成为线性函数 而线性函数的模式 可以表达为A(t)等于变化率乘以时间 加上事情开始的时候的值 m和b只是人们喜欢用的符号 m是您的变化率 如果您来作图的话也叫斜率 那么b，就是您开始的起始值 这是您的垂直截距 有时也称为y轴截距 在这个例子里，也是您的A轴截距 如果我们去想真实的情况 就会帮助我们找到A轴截距 如果我们要作图的话 但是我们实际上已经知道了这2个数 我们知道我们的变化率是多少 是负8 我的意思是，我可以说："我们的斜率是多少" 我们的斜率是A的变化除以t的变化 A的变化 我来写在这里 我用不同颜色更有趣一些 所以说 我们的斜率就是我们的变化 我们因变量的变化 除以我们自变量的变化 结果是负8 题目告诉我们的 它等于负8 所以这个就等于负8 b就应该等于A（0） A（0） 就等于当t等于0时 这个项没有了 您就只有b了 A(0)=b 我们知道A(0)等于多少 它等于52 我们知道这个就等于52 我们就完成了 我现在来重写一下，这很有意思 A(t) 这个值就是对应时间上没有完成的油漆量 就等于负8 乘以时间 加52 您可以去验证这个对不对 因为这里是负8 实际上我这次来把单位也写下 因为这个是很重要的地方要大家思考一下 油漆量相对于时间的函数 是表示还有多少他需要完成的 就将等于 负8 平方米/小时 所以-8平方米/小时 乘以t小时 或许我写成"小时数“ 所以您不会觉得是一个变量 t小时数 我把小时数写在这里 t小时数加52平方米 我在这里来做 加上，我有2个不同的颜色 加上52平方米 您可以看到小时数和小时数抵消 您就只剩下平方数 您就有负8平方米乘以t平方米 加上52平方米 所以A(t)的结果 会是平方米的单位 还有另一个办法 您可以去考虑来解决问题 您可能马上会说 "来看，我的变化率 是每小时8平方米“ 但是您一定要非常小心 您可能会说,"喔，我的变化率 可能是正的 每小时8平方米“ 但是您必须很清楚 A不是他完成的油漆量 而是他还需要去完成的油漆量 所以他的变化率是每小时 减少8平方米的变化量 您可能又说，"那行，我马上 就可以把公式写成： A(t)就等于 负8乘以时间t加b 然后您就可以用这个信息 直接算出b是多少 您可以说，“嘿，当t等于3 A等于28 您可以就用这个信息 来替代进公式 所以当t等于3，当t等于3 A(t)等于28 您就可以说28等于负8 乘以3 也就是负24，加b 然后您可以在等式2边加24 喔 您就在等式2边加24 您就得到 28加24等于52 等式右边就只剩下b 那么b就等于52 和我们之前的结果完全一样 我喜欢以这个方法来做 就是想确保我们可以把概念弄清楚 我们真的搞清楚了