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这是一张勒内·笛卡尔的画像 在数学和哲学的 一位伟人 我估计你可能发现了一个规律 那些伟大的哲学家也是 伟大的数学家,反之亦然 他可以算个当代的伽利略了 年轻32岁,但是在伽利略去世后 不久他也去世了 算是英年早逝了 伽利略一直活到了70多岁 笛卡尔54岁就去世了 然后估计他在流行文化里最有名的 就是这句充满哲学的话了 “我思故我在” 但我还想加一个,虽然没有 跟代数有关系,但我觉得是一个很好的名言 估计没有那么有名的一句 我喜欢这句因为这很实际 并且这让你意识到这些伟人 这些哲学和数学的支柱 其实最后也都只是普通人类 他说:“你只要继续努力 你只要继续努力 我犯了所有可能的错误 但我还在继续努力“ 我觉得这是个很好的人生指导 那他在哲学和数学上有很多贡献 但现在我们在建立代数的基础时 我想介绍他是因为 他是对建立代数和几何之间 的强烈联系的最重要的个人 所以左边这里是代数 然后我们已经讨论过了 这是带有符号的等式 然后这些符号能 有一些值 所以你可以有y等于2x减1 这给了我们一个x和 y之间的关联 然后我们还可以建立一个表格,选一些x值 看看y的值是多少 我还可以随便选一个x的值 然后求得y的值 但我会选一些比较简单直接的值 这样不会太复杂 所以,比如x等于负2 那y等于2乘负2 减1,等于负4减1,也就是负5 假如x等于负1,那y等于 2乘负1减1,等于 负2减1,等于负3 假如x等于0,那y等于2乘0减1 2乘0得0,减1就是负1 再来几个 我可以选任何的数值 我可以说 x等于负根号2 或者x等于负5/2,或者正6/7? 但我选这些数字 因为这样我更容易 求得y等于多少 当x等于1时,y等于2乘1减1 2乘1等于2,减1是1 再来一个 让我用一个还没用过的颜色 这种紫色吧 假如x等于2,那y等于2乘2 减1 所以是4减1等于3 好 我大概给这个关系取了个样 ok,这描述了 变量y和变量x之间的关系 然后我让其变得更具体了 我说,那对于每一个x值 对应的y值是多少呢? 笛卡尔发现了 你可以将这关系可视化 首先,你可以看这每一个点 但你还可以看到 整个关系 所以他所做的是 他将这个非常抽象的 代数世界和跟形状、大小和角度 相关的几何世界联系起来了 所以这边是几何世界 当然,在历史上还有很多人 涉猎了这方便,但被历史遗忘了 但在笛卡尔之前,几何 基本上是欧几里得几何 那大概就是你在传统的八年级 九年级,或者十年级 的几何课上所学的知识 那是学习三角形和 它的角的关系的几何 还有圆形和半径的关系 然后还有圆内接三角形 等等 我们还继续深入探讨了别的几何话题 但笛卡尔说,我觉得 我可以将这个用你表达三角形和 圆形的方法给表示出来 他说,假如我们我们讨论一个二维平面 你可以将一张纸 看作某种 二维平面的一部分 我们称其为二维因为总共 有两个方向可以走 向上或者向下 这是一个方向 让我画出来 这里我打算用蓝色了。因为我们要可视化一些东西了 所以我会用几何颜色 那我们有上/下方向 然后还有左/右方向 这就是为什么我们称其为二维平面 假如我们说是三维的话 就还有一个里/外方向 在屏幕上很好做二维的 因为屏幕本身是二维的 然后他说,你看,这有两个变量 它们有这个关系 那我是不是可以将每一个变量 和其中一个维度联系起来呢? 然后根据惯例,我们将变量y 也就是因变量 它取决于x,让我们将其放在纵轴上 然后将我们的自变量 也就是我随便选择数值然后 看y的值是多少的这个 我们将其放在横轴上 实际上是笛卡尔 发明的x和y,以及后面的z 来作为未知变量 或者你正在运算 的变量的惯例 他说,假如我们这么想 我们给这些维度标号 这个是x方向,然后让这里 是负3 这个是负2 这个是负1 这是0 现在我在给x方向标号 左/右方向 这是正1 这是正2 这是正3 然后我们在y方向可以坐同样的事 这个是负5 负4,负3…… 让我再写好一些 把这里清理一下 擦掉这块然后往下延伸一点 这样我在不会太乱的情况下 走到负5 那我们一直下到这里 然后我们可以标号 这是1 这是2 这是3 然后这是负1,负2 这些都只是惯例 其实也可以换个方法来 我们可以说这是x然后这是y 把这边变成正方向 这边换成负方向 但这是人们从笛卡尔开始 的惯例 负2,负3,负4,和负5 然后他说,我觉得我可以 将这些数值组和二维里的点联系起来 我可以将这里的x坐标 这是负2 它会在左/右方向的这里 我要往左走因为这是负数 然后这和垂直方向的 负5关联 所以y的值是负5 所以假如我向左走2,向下5 我就到了这个点 然后他说,这两个值,负2和负5 我可以将它们和平面里的这个点相关联 在这个二维平面里 然后我说这个点的坐标是 负2,负5,可以帮我们找到这个点 然后这些坐标被称为笛卡尔坐标 以他命名因为是他 发明的这个 他将这些关系和 平面里的点联系起来了 然后他说,我们再来一个 这还有一个关系 当x等于负1时 y等于负3 所以x是负1,y是负3 这是这边这个点 然后根据惯例 当你写坐标的时候 你先写x坐标,再写y坐标 人们就决定这么做了 负1,负3 这是这里这个点 然后你有点x等于0,y等于负1 当x是0的时候是在这里 也就是说我不用向左或者向右走,y是负1 所以我要往下走1 所以是这个点 0,负1,在这里 然后我可以继续下去 当x等于1时,y等于1 当x等于2时,y等于3 让我都用同一个颜色 当x等于2时,y等于3,(2,3) 然后这个橙色的是(1,1) 这已经很棒了 我取了一些可能的x值 但他发现 你不仅是取了这些可能的x值 假如你继续取各种x值,各种 位于之间的x值,你最后会画一条线出来 所以假如你用每一个可能的x 你会得到一条看着是这样的线 像这样 然后任何的关系,假如你选任意x,得到y 它会是这条线上的一个点 或者另一种想法是,任何这条线上的点 表示了一个这个函数的解 比如你有这个点 看着像是x等于1又1/2,y是2 让我写下来(1.5,2) 这是这个函数的解 当x等于1.5时,2乘1.5是3,减1等于2 就在这里 所以一瞬间,他可以将 代数和几何架桥联系起来了 我们可以将所有满足这个等式的 x和y组表示出来了 然后因为他建立了这个联系 所以我们称描述这些点 的坐标为笛卡尔坐标 然后我们还会看见,我们将学的第一种函数 是这边这个形式的 在传统的代数课纲里 这类叫线性函数 然后你可能想说,这是个函数 我可以看出这个等于那个 但为什么是线性的呢? 是什么导致它们看着像一条线呢? 要意识到它们是线性的 你需要做笛卡尔所做的事 因为当你用笛卡尔坐标将其画出来的时候 在一个欧几里得平面上,你得到了一条直线 在之后,我们会看见还有 其它类型的函数,它们不会是一条直线 你会得到曲线或者一些疯狂的东西