面积模型: 带有负项的多项式相乘

-[指导老师] 在上一个视频中 我们已经学习了使用面积模型 来思考表达式乘法 比如x加上7再乘以x加上3 在这些视频中，我们看到 问题可以等同于求长方形的面积 而长方形的长可以被分解为 一部分长度为x, 另外的部分是7 所以，7在这里，这个边的总长度 是x加上7 然后这条边的长度是x加上 这里有3个单位 面积模型可以帮助我们视觉化地解释 为什么我们要乘不同的项 或者说我们如何乘不同的项 因为如果我们看这整个图形的面积 整个的面积会等于x乘以加上7 x加上7，然后乘以， x加上3 乘以，x加上3 然后，我们可以将它拆开 拆成这些小的矩形 这个矩形，它实际上是个正方形 它的面积是x的平方 这里的这个长方形面积是 7乘以x 这里的这个长方形面积是3乘x 这里的这个面积是 3乘以7，或者说是21 所以，我们可以算出最终的乘积是 x平方加上7x 加上3x再加上21 这就是整个长方形的面积 当然，我们可以将7x和3x 相加得到10x 你们中的一些人可能会问 这个模型很好 当我要加上7，加上3的时候 我们可以想到正的长度 我们能看到正的面积 但是如果不是这样 如果我们要处理负值的话该如何？ 例如，如果我们要计算 比如 上面这里的长度 要是x减去7 我们继续这样的步骤 我们称上面这里的这部分长度为负7 它的长度为-7 我们想到长度时，它一般不会是负值 我们先接受这个数值 这里高度这里 是x减去3 我们这里写下一个x，表示高的这个部分 对于高的这个部分 我们写一个-3 好，如果我们按照上次的做法 这里的面积是x的平方 这里的这块的面积是-7乘以x 也就是-7x 绿色区域面积是-3x 橙色区域面积是-3 乘以-7，也就是正21 然后我们可以说，整个区域的面积是 x的平方减去7x，减去3x，加上21 我们当然可以 把这两个加起来，得到-10x 这样做可以吗？ 一种思考这个问题的方式是一个负的面积 是你要从总的面积中拿掉的部分 所以如果这里的x是正值 那么这个粉红区域的面积就是负的 我们会将它从总面积中拿掉 这就是这个表达式里所出现的情况 值得一提的是 即使是在它不是-7的时候 当它是正7 这里是正7x 仍然有可能x是负值 从而你仍然得到一个负值的面积 我们要认识到这种做法仍然是成立的 即使是对于负值 我举个例子，如果x等于10 它可以帮助我们理解 如果x是10 我们的面积模型会是这个样子 这里我们是10减去7 我在这里写个-7 乘以10减去3 现在你可以心算出来 答案是多少 10减去7得到3 10减去3得到7 得到的结果是正21 我们来验算一下 这个蓝色区域的面积是10乘以10得到100 粉红区域面积是10乘以-7 得到-70 我们把它从总面积中拿掉 绿色区域的面积是-3乘以10 得到-30 然后这里是-3乘以-7 这个橙色区域面积是正21 合理吧 让我们再看看，如果我们把这个正值的面积，100减去70 减去30 再加上21 100减70得到30 再减30得到0 再加上剩下的21 得到就是我们需要的 你可以把粉红区域挪一下 将它从蓝色区域中剪掉 然后拿掉绿色区域 然后把它变竖直 然后剪掉剩下的蓝色区域 这样你剩下的就是这个橙色的区域 希望这样能够帮助你理解 表达式乘法的面积模型在 某些项是负数的时候仍然成立 同时，提醒一下，当我们这里只有x 它可以是负值