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主要内容

八年级

课程: 八年级 > 单元 4

课程 11: 因式分解的技巧
数学
八年级
整式的乘法与因式分解
因式分解的技巧
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因式分解任何形式的二次表达式

Google课堂
综合运用你学到的所有关于二次多项式因式分解的知识，对任何形式的二次表达式式进行因式分解。

学习本节课之前你需要了解的内容

这节课将使用以下方法：

本课内容

在本文中, 您将练习将这些方法组合在一起，来分解任何形式的二次式.

引言：因式分解方法复习

方法例子什么时候用这种方法？
分解最大公因数= 6x2+3x=3x(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~6x^2+3x\\\\&=3x(2x+1)\\\\\end{aligned}如果多项式中的每一项都有一个共同的因子.
和-积形式= x2+7x+12=(x+3)(x+4)\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+7x+12\\\\&=(x+3)(x+4)\end{aligned}如果多项式的形式为 x, squared, plus, b, x, plus, c 并且 c 有两个因子的和为 b.
分组方法= 2x2+7x+3=2x2+6x+1x+3=2x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~2x^2+7x+3\\\\&=2x^2+6x+1x+3\\\\&=2x(x+3)+1(x+3)\\\\&=(x+3)(2x+1)\\\\\\\end{aligned}如果多项式的形式为 a, x, squared, plus, b, x, plus, c 并且 a, c 有两个因子的和为 b.
完全平方= x2+10x+25=(x+5)2\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+10x+25\\\\&=(x+5)^2\end{aligned}如果第一项和最后一项都是完全平方，并且中间相是他们的平方根的乘积的两倍.
平方差=  x2−9=(x−3)(x+3)\begin{aligned}&\phantom{=}~~x^2-9\\\\&=(x-3)(x+3)\end{aligned}如果表达式是两个平方的差.

把所有方法放在一起

在实践中，很少有人告诉你在遇到问题的时候用哪一种因式分解的办法.因此，为了简化分解过程，你要自己撰写一个检查表.
下面是这种检查表的一个例子，它提出了一系列问题，以确定如何对二次多项式进行因式分解.

因式分解二次表达式式

在开始因式分解之前，我们先将表达式写成标准形式.
一旦发生这种情况，你可以继续执行下列问题：
问题1：是否有公因式？
如果没有，前往问题2.如果有，提取最大公因式，然后前往问题2.
提取最大公因式是因式分解中非常重要的一个步骤，它会让数字变小.这样会更容易识别表达式的形式.
问题2：是否有平方差（即x, squared, minus, 16 或者 25, x, squared, minus, 9）？
如果有平方差的形式，用a, squared, minus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, right parenthesis公式对其进行分解.如果没有平方差的形式，前往问题3.
问题3：是否有三项式完全平方（即x, squared, minus, 10, x, plus, 25 或者 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9）？
如果有三项式完全平方，用公式a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus minus, b, right parenthesis, squared进行因式分解.如果没有，前往问题4.
问题4：
a.) 是否有形式为 x, squared, plus, b, x, plus, c的表达式？
如果没有，前往问题5.如果有，前往 b).
b.) 是否存在 c 的因子相加等于 b？
如果有，使用和-积形式进行因式分解.如果没有，则该二次表达式不能进一步被因式分解.
问题5： 是否存在 a, c 的因子相加等于 b？
如果你已经做到了这一步，二次表达式的形式应为 a, x, squared, plus, b, x, plus, c ，a, does not equal, 1.如果存在 a, c 的因子相加等于 b，用分组法进行因式分解.如果没有，该二次表达式不能进一步被因式分解.
遵循这个清单有助于确保你已经将二次表达式完全分解！
现在让我们尝试几个例子.

例 1: 因式分解 5, x, squared, minus, 80

请注意：该表达式已经是标准形式，我们可以开始核对清单.
问题 1: 是否有公因式？
是的. 5, x, squared 和 80 的最大公因式为 5. 我们可以用以下方式来进行因式分解：
5, x, squared, minus, 80, equals, 5, left parenthesis, x, squared, minus, 16, right parenthesis
问题 2: 是否有平方差？
是的. x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared.我们可以运用平方差的形式来继续进行因式分解，步骤如下.
5x2−80=5((x)2−(4)2)=5(x+4)(x−4)\begin{aligned}\phantom{5x^2-80}&=5\left((\blueD {x})^2-(\greenD 4)^2\right)\\ \\ &=5(\blueD x+\greenD 4)(\blueD x-\greenD 4)\end{aligned}
表达式中没有二次式.我们已经完全分解了多项式.
因此，5, x, squared, minus, 80, equals, 5, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis.

例 2: 因式分解 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9

该二次表达式依然是标准形式.现在让我们开始核对清单吧！
问题 1: 是否有公因式？
不.4, x, squared， 12, x 和 9 没有公因式.下一个问题.
问题 2: 是否有平方差？
不. 有一个 x，所以这个不可能是平方差. 下一个问题.
问题 3: 是否有完全平方？
是的.第一项是一个完全平方，因为 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared，最后一项也是一个完全平方，因为 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. 并且中间项是这两个数的乘积的两倍，因为 12, x, equals, 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.
我们可以用完全平方的形式来分解二次式.
=4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}&\phantom{=}4x^2+12x+9\\\\&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD{2x})(\greenD{3})+(\greenD{3})^2\\\\&=(\blueD{2x}+\greenD 3)^2\end{aligned}
因此， 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9, equals, left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared.

例 3: 因式分解 12, x, minus, 63, plus, 3, x, squared

这个二次表达式不是一般形式，我们可以将它整理为 3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63，然后核对清单.
问题 1：是否有公因式？
是的. 3, x, squared， 12, x 和 63 的最大公因式是 3.我们可以通过一下步骤进行因式分解：
3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63, equals, 3, left parenthesis, x, squared, plus, 4, x, minus, 21, right parenthesis
问题 2: 是否有平方差？
不.下一个问题.
问题 3: 是否有完全平方？
不.我们可以注意到 21 不是一个完全平方，因此这个式子也不可能是完全平方.下一个问题.
问题 4a: 是否有一个形式为 x, squared, plus, b, x, plus, c的表达式？
是的.生成的二次多项式， x, squared, plus, 4, x, minus, 21，就是这种形式.
问题 4b: 是否存在 c 的因子相加等于b？
是的.minus, 21 有两个因子相加等于 4.
由于 7, dot, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 21 并且 7, plus, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, 4，我们可以继续因式分解.过程如下：
3(x2+4x−21)=3(x2+4x−21)=3(x+7)(x−3)\begin{aligned}\phantom{3(x^2+4x-21)}&=3(x^2+4x-21)\\ \\ &=3(x+7)(x-3)\\ \end{aligned}
因此，3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63, equals, 3, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis.

例 4: 因式分解 4, x, squared, plus, 18, x, minus, 10

注意到这个二次表达式已经是标准形式.
问题 1：是否有公因式？
是的. 4, x, squared， 18, x 和 10 的最大公因式是 2.我们可以通过一下步骤进行因式分解：
4, x, squared, plus, 18, x, minus, 10, equals, 2, left parenthesis, 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5, right parenthesis
问题 2: 是否有平方差？
不.下一个问题.
问题 3: 是否有完全平方？
不.下一个问题.
问题 4a: 是否有形式为 x, squared, plus, b, x, plus, c的表达式？
不.二次表达式的第一项的系数为 2.下一个问题.
问题 5: 是否存在 a, c 的因子相加等于 b？
所产生的二次表达式为 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5，所以我们想要找到 2, dot, left parenthesis, minus, 5, right parenthesis, equals, minus, 10 的因子相加等于9.
因为 left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, dot, 10, equals, minus, 10 并且 left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, 10, equals, 9，答案是肯定的.
我们现在可以将中间项写为minus, 1, x, plus, 10, x并且通过分组法进行因式分解.
= 2(2x2+9x−5)=2(2x2−1x+10x−5)拆分中间项=2((2x2−1x)+(10x−5))分组=2(x(2x−1)+5(2x−1))提出最大公因式=2(2x−1)(x+5)提出 2x−1\begin{aligned}&\phantom{=}~2(2x^2+9x-5)\\\\ &=2(2x^2-1x+10x-5)&&\small{\gray{\text{拆分中间项}}}\\ \\ &=2\left((2x^2-1x)+(10x-5)\right)&&\small{\gray{\text{分组}}}\\\\ &=2\left(x(2x-1)+5(2x-1)\right)&&\small{\gray{\text{提出最大公因式}}}\\\\ &=2(2x-1)(x+5)&&\small{\gray{\text{提出 $2x-1$}}} \end{aligned}

检查你对内容的理解

1) 完全分解 2, x, squared, plus, 4, x, minus, 16 .
选出正确答案：

2) 完全分解 3, x, squared, minus, 60, x, plus, 300 .

3) 完全分解 72, x, squared, minus, 2 .

4) 完全分解 5, x, squared, plus, 5, x, plus, 15 .
选出正确答案：

5) 完全分解 8, x, squared, minus, 12, x, minus, 8 .

6) 完全分解 56, minus, 18, x, plus, x, squared .

7) 完全分解 3, x, squared, plus, 27 .
选出正确答案：

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