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主要内容

八年级

课程: 八年级 > 单元 4

课程 8: 因式分解：分组法
数学
八年级
整式的乘法与因式分解
因式分解：分组法
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分组法因式分解

Google课堂
学习一种叫做"分组"法的因式分解方法。例如，我们可以通过分组把 2x²+8x+3x+12写成(2x+3)(x+4)。

学习本节课之前你需要了解的内容

因式分解多项式需要我们将式子写成两个或多个多项式的乘积.这是多项式乘法的相反过程.
我们已经学习了一些因式分解的例子.在学习本章前，你应该已经熟悉掌握了提取公因式 .比如：6, x, squared, plus, 4, x, equals, 2, x, left parenthesis, 3, x, plus, 2, right parenthesis .

本课内容

在本章我们将会一起学习分解公因式的方法之一：分组分解法

例子 1: 因式分解 2, x, squared, plus, 8, x, plus, 3, x, plus, 12

首先我们注意到 2, x, squared, plus, 8, x, plus, 3, x, plus, 12没有公因式可以提出.但是如果我们把前两项组合（第1，2项），后两项组合（第3，4项），则每组都有最大公因式.
在这个例子里，第一组的最大公因式为2, x，第二组的最大公因式为3.我们可以把这两个公因数分别提出，并得到以下式子：
2, x, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, plus, 3, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis
注意到把两组的最大公因数提出以后，我们发现了另一个最大公因数start color #e07d10, x, plus, 4, end color #e07d10.我们可以运用分配律把这个最大公因式提出来.
最后我们得到答案的形式为两项式的乘积，所以我们成功的分解公因式了.我们可以倒推（用整式的乘法）来验证我们的答案，把乘除来的答案和题目中的多项式进行比较.

例子 2: 因式分解 3, x, squared, plus, 6, x, plus, 4, x, plus, 8

让我们用另一个例子来总结分组分解的方法.
=3x2+6x+4x+8=(3x2+6x)+(4x+8)把单项式分成组=3x(x+2)+4(x+2)提取每组最大的公因式=3x(x+2)+4(x+2)找出公因式=(x+2)(3x+4)提取公因式x+2\begin{aligned}&\phantom{=}3x^2+6x+4x+8\\\\ &=(3x^2+6x)+(4x+8)&&\small{\gray{\text{把单项式分成组}}}\\ \\ &=3x({x+2})+4({x+2})&&\small{\gray{\text{提取每组最大的公因式}}}\\ \\ &=3x(\goldD{x+2})+4(\goldD{x+2})&&\small{\gray{\text{找出公因式}}}\\\\ &=(\goldD{x+2})(3x+4)&&\small{\gray{\text{提取公因式} x+2}} \end{aligned}
因式分解后的形式为 left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, plus, 4, right parenthesis.

看看你的知识掌握地如何

1) 因式分解 9, x, squared, plus, 6, x, plus, 12, x, plus, 8.
选出正确答案：

2) 因式分解 5, x, squared, plus, 10, x, plus, 2, x, plus, 4.

3) 因式分解 8, x, squared, plus, 6, x, plus, 4, x, plus, 3.

例子 3: 因式分解3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8

在运用分组分解的方法分解带负数系数的多项式时，我们要格外谨慎.
例子：我们可以用以下步骤来因式分解 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8.
0=3x2−6x−4x+8(1)=(3x2−6x)+(−4x+8)把单项式分组(2)=3x(x−2)+(−4)(x−2)提取每组最大公因式(3)=3x(x−2)−4(x−2)化简(4)=3x(x−2)−4(x−2)找出公因式(5)=(x−2)(3x−4)提取公因式 x−2\begin{aligned}\phantom{0}&&&\phantom{=}3x^2-6x-4x+8\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=(3x^2-6x)+(-4x+8)&&\small{\gray{\text{把单项式分组}}}\\\\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x(x-2)+(-4)(x-2)&&\small{\gray{\text{提取每组最大公因式}}}\\\\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x(x-2)-4(x-2)&&\small{\gray{\text{化简}}}\\\\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\goldD{x-2})-4(\goldD{x-2})&&\small{\gray{\text{找出公因式}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\goldD{x-2})(3x-4)&&\small{\gray{\text{提取公因式 $x-2$}}}\\\\ \end{aligned}
最后，我们求出多项式的分解形式为left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 4, right parenthesis.我们可以用整式的乘法来验证我们的答案.
上面的几个步骤可能和你在第一个示例中看到的不同，所以你可能会心生疑问.
这个在分组之间的 "+" 号是从哪里来的?
在第 start color #11accd, left parenthesis, 1, right parenthesis, end color #11accd步里， "+" 号被加在了left parenthesis, 3, x, squared, minus, 6, x, right parenthesis 和 left parenthesis, minus, 4, x, plus, 8, right parenthesis之间. 这是因为 left parenthesis, minus, 4, x, right parenthesis 是负数，而这项的符号必须包括在分组中.
把负号从第二组中剔除是很容易出错的一步.比如，很多同学会把 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8 错写成 left parenthesis, 3, x, squared, minus, 6, x, right parenthesis, minus, left parenthesis, 4, x, plus, 8, right parenthesis.这个错误的分组可以被化简为 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, start color #ca337c, minus, 8, end color #ca337c，这样就和题目中给出的多项式不符了.
为什么提出minus, 4 而不是 4?
在第 start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd步, 我们提取 minus, 4 从而找出组与组之间的最大公因式left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis.假设我们提取了 正值的 4, 我们就没有办法找到以上最大公因式:
(3x2−6x)+(−4x+8)=3x(x−2)+4(−x+2)\begin{aligned}(3x^2-6x)+(-4x+8)&=3x(\goldD{x-2})+4(\purpleC{-x+2})\\ \end{aligned}
当多项式的第一项为负数时，我们常常需要提取一个负值的公因式.

看看你的知识掌握地如何

4) 因式分解 2, x, squared, minus, 3, x, minus, 4, x, plus, 6.
选出正确答案：

5) 因式分解3, x, squared, plus, 3, x, minus, 10, x, minus, 10.

6) 因式分解 3, x, squared, plus, 6, x, minus, x, minus, 2.

挑战问题

7*) 因式分解 2, x, cubed, plus, 10, x, squared, plus, 3, x, plus, 15.

我们什么时候可以用分组分解法？

当分组之间存在公因式时, 我们可以用分组分解的方法对多项式进行因式分解.
比如，我们可以用分组分解的方法来因式分解 3, x, squared, plus, 9, x, plus, 2, x, plus, 6，因为它可以被写成：
(3x2+9x)+(2x+6)=3x(x+3)+2(x+3)\begin{aligned}(3x^2+9x)+(2x+6)&=3x(\goldD{x+3})+2(\goldD{x+3})\\ \end{aligned}
但是我们不可以用分组分解的方法来因式分解 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 4, x, plus, 12 因为提取每组的最大公因式以后我们找不到分组之间的公因式.
(2x2+3x)+(4x+12)=x(2x+3)+4(x+3)\begin{aligned}(2x^2+3x)+(4x+12)&=x(\goldD{2x+3})+4(\purpleC{x+3})\\ \end{aligned}

用分组分解来因式分解三项式

我们也可以用分组分解来因式分解三项式，比如 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3.我们可以把这个三项式重新写成以下形式：
2, x, squared, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, x, plus, 3, equals, 2, x, squared, plus, start color #11accd, 1, end color #11accd, x, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x, plus, 3
然后我们可以用分组分解把 2, x, squared, plus, start color #11accd, 1, end color #11accd, x, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x, plus, 3 分解为 left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis.
如果你想学习更多这种运用分组来因式分解三项式的方法，可以进行下一个课时的学习. 下一个课时.

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