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课程 8: 因式分解：分组法

分组法因式分解

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学习一种叫做"分组"法的因式分解方法。例如，我们可以通过分组把 2x²+8x+3x+12写成(2x+3)(x+4)。

学习本节课之前你需要了解的内容

因式分解多项式需要我们将式子写成两个或多个多项式的乘积.这是多项式乘法的相反过程.

我们已经学习了一些因式分解的例子.在学习本章前，你应该已经熟悉掌握了提取公因式 .比如：

6 x^{2} + 4 x = 2 x (3 x + 2)

本课内容

在本章我们将会一起学习分解公因式的方法之一：分组分解法

例子 1: 因式分解 $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍

首先我们注意到

2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12

没有公因式可以提出.但是如果我们把前两项组合（第1，2项），后两项组合（第3，4项），则每组都有最大公因式.

在这个例子里，第一组的最大公因式为

2 x

，第二组的最大公因式为

3

.我们可以把这两个公因数分别提出，并得到以下式子：

$2 x (x + 4) + 3 (x + 4)$ ‍

[请问是怎么得到这个答案的？]

注意到把两组的最大公因数提出以后，我们发现了另一个最大公因数

x + 4

.我们可以运用分配律把这个最大公因式提出来.

最后我们得到答案的形式为两项式的乘积，所以我们成功的分解公因式了.我们可以倒推（用整式的乘法）来验证我们的答案，把乘除来的答案和题目中的多项式进行比较.

[请给我看一下验算过程]

例子 2: 因式分解 $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍

让我们用另一个例子来总结分组分解的方法.

\begin{aligned} 3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8 \\ = (3 x^{2} + 6 x) + (4 x + 8) & 把单项式分成组 \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & 提取每组最大的公因式 \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & 找出公因式 \\ = (x + 2) (3 x + 4) & 提取公因式 x + 2 \end{aligned}

因式分解后的形式为

(x + 2) (3 x + 4)

看看你的知识掌握地如何

1) 因式分解 $9 x^{2} + 6 x + 12 x + 8$ ‍.

[我需要帮助！]

2) 因式分解 $5 x^{2} + 10 x + 2 x + 4$ ‍.

[我需要帮助！]

3) 因式分解 $8 x^{2} + 6 x + 4 x + 3$ ‍.

[我需要帮助！]

例子 3: 因式分解 $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍

在运用分组分解的方法分解带负数系数的多项式时，我们要格外谨慎.

例子：我们可以用以下步骤来因式分解

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

\begin{aligned} 3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8 \\ (1) & = (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & 把单项式分组 \\ (2) & = 3 x (x - 2) + (- 4) (x - 2) & 提取每组最大公因式 \\ (3) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & 化简 \\ (4) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & 找出公因式 \\ (5) & = (x - 2) (3 x - 4) & 提取公因式 x - 2 \end{aligned}

最后，我们求出多项式的分解形式为

(x - 2) (3 x - 4)

.我们可以用整式的乘法来验证我们的答案.

[请给我看一下验算过程]

上面的几个步骤可能和你在第一个示例中看到的不同，所以你可能会心生疑问.

这个在分组之间的 "+" 号是从哪里来的?

在第

(1)

步里， "+" 号被加在了

(3 x^{2} - 6 x)

和

(- 4 x + 8)

之间. 这是因为

(- 4 x)

是负数，而这项的符号必须包括在分组中.

把负号从第二组中剔除是很容易出错的一步.比如，很多同学会把

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

错写成

(3 x^{2} - 6 x) - (4 x + 8)

.这个错误的分组可以被化简为

3 x^{2} - 6 x - 4 x - 8

，这样就和题目中给出的多项式不符了.

[我想看详细解释]

为什么提出 $- 4$ ‍ 而不是 $4$ ‍?

在第

(2)

步, 我们提取

- 4

从而找出组与组之间的最大公因式

(x - 2)

.假设我们提取了 正值的

4

, 我们就没有办法找到以上最大公因式:

$\begin{aligned} (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & = 3 x (x - 2) + 4 (- x + 2) \end{aligned}$ ‍

当多项式的第一项为负数时，我们常常需要提取一个负值的公因式.

看看你的知识掌握地如何

4) 因式分解 $2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6$ ‍.

[我需要帮助！]

5) 因式分解 $3 x^{2} + 3 x - 10 x - 10$ ‍.

[我需要帮助！]

6) 因式分解 $3 x^{2} + 6 x - x - 2$ ‍.

[我需要帮助！]

挑战问题

7*) 因式分解 $2 x^{3} + 10 x^{2} + 3 x + 15$ ‍.

[我需要帮助！]

我们什么时候可以用分组分解法？

当分组之间存在公因式时, 我们可以用分组分解的方法对多项式进行因式分解.

比如，我们可以用分组分解的方法来因式分解

3 x^{2} + 9 x + 2 x + 6

，因为它可以被写成：

$\begin{aligned} (3 x^{2} + 9 x) + (2 x + 6) & = 3 x (x + 3) + 2 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

但是我们不可以用分组分解的方法来因式分解

2 x^{2} + 3 x + 4 x + 12

因为提取每组的最大公因式以后我们找不到分组之间的公因式.

$\begin{aligned} (2 x^{2} + 3 x) + (4 x + 12) & = x (2 x + 3) + 4 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

用分组分解来因式分解三项式

我们也可以用分组分解来因式分解三项式，比如

2 x^{2} + 7 x + 3

.我们可以把这个三项式重新写成以下形式：

$2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3$ ‍

然后我们可以用分组分解把

2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

分解为

(x + 3) (2 x + 1)

如果你想学习更多这种运用分组来因式分解三项式的方法，可以进行下一个课时的学习. 下一个课时.

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本课内容

例子 1: 因式分解 2x2+8x+3x+12‍

例子 2: 因式分解 3x2+6x+4x+8‍

看看你的知识掌握地如何

例子 3: 因式分解3x2−6x−4x+8‍

看看你的知识掌握地如何

挑战问题

我们什么时候可以用分组分解法？

用分组分解来因式分解三项式

想加入讨论吗？

例子 1: 因式分解 $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍

例子 2: 因式分解 $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍

例子 3: 因式分解 $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍