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因式分解25x平方减30x加9 我们的首项系数不是1 并且看上去没有公因数 虽然25和30都可以被5整除,但是9不可以被5整除 我们可以分组进行因式分解 但如果我们仔细看的话 这有一些有趣的地方 25是一个完全平方数,25x平方也是完全平方 这是5x的平方 然后这个9也是个完全平方数 这是3的平方,实际上 也可以是-3的平方 这也可以是-5x的平方 或许这个式子是个完全平方 让我们想一下 二项式的完全平方是什么,特别是当 x的系数不是1的时候 假如我们有(ax+b)平方,那这个 展开成三项式后是什么样的? 这就等于ax+b乘以 ax+b,也就等于ax乘ax ax乘ax等于a平方x平方,加上ax乘b 也就是abx,加上b乘ax,又是一个abx 这可以是bax或abx,加上 b乘b,所以是加上b平方 这等于a平方x平方加上—— 这两项相等——2abx加上c平方 这就是二项式的平方 这个形式看着很有用 让我把我们的问题写在正下方 我们有25x平方减30x加9 假如这是一个完全平方 那这表明这边的a平方等于25 然后b平方…… 让我换一个颜色……等于9 这告诉我们a可以是正负5 然后b可以是正负3 现在我们看看这跟中间项是否相符 如果中间项相符的话…… 我想找一个好看的颜色……2ab 这块要等于-30 另一种说法——让我写在这里——2ab 要等于-30 假如我们将两边除以2 ab要等于-15 我们现在知道乘积是负的 这表明一个数是正数,一个是负数 幸运的是,5和3的乘积是15 假如我们使其中一个是正数,另一个是负数 我们得到-15 看来情况有解了 我们可以选择a是正5 然后b等于-3 这样ab就等于-15了 或者我们可以选择a等于-5 然后b等于正3 任意一个都可以 假如我们进行因式分解 这可以是——让我们先做第一种 可以是a等于5,b等于-3 这可以等于(5x-3)平方 a是5,b是-3 可以这样 或者你可以有——将两项的正负号 对调 a可以是-5,b是正3 可以是(-5+3)平方 任意一个都是可以 是这个多项式的分解 你可能要问,等等,为什么呢? 为什么这两个得出的结果是一样的? 注意到这项-5x+3 我们可以提取出一个-1 然后这里就等于-1乘5x-3 整个东西的平方 这就等于-1平方乘 (5x-3)平方 然后-1的平方明显是1 这就是为什么它们的结果是一样的 这个最后等于(5x-3)平方 也就是这边写的这个 任意一个都是正确答案