主要内容

课程: 八年级 > 单元 4

课程 7: 因式分解：(x+a)(x+b)

分解二次表达式：首项系数 = 1

Google课堂

学习如何将一个二次表达式分解为两个一次二项式的乘积。例如， x²+5x+6=(x+2)(x+3)。

学习本节课之前你需要了解的内容

因式分解一个多项式需要先写成两个或以上多项式乘积的形式.它正好与多项式相乘相反.如需了解更多，请查看我们前一讲关于提取公因数的内容.

本课内容

本节课，你将要学习如何因式分解一个

x^{2} + b x + c

形式的二次多项式

复习: 二项式相乘

让我们以表达式

(x + 2) (x + 4)

为例。

我们可以多次使用分配律来求它的乘积。

有些人用英文简称

F O I L

来帮助他们/她们求两个二项式的乘积.

这种方法确保了第一个二项式里的每一项都分别与第二个二项式里的每一项相乘.更准确地说，这种方法提醒我们先乘以二项式的

首项

, 然后

外项

, 再乘以

内项

, 最后乘

末项

比如，用FOIL来展开

(x + 2) (x + 4)

乘积应该是这样：

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 4) & = x \cdot x + x \cdot 4 + 2 \cdot x + 2 \cdot 4 \\ = x^{2} + 4 x + 2 x + 8 \\ = x^{2} + 6 x + 8 \end{aligned}$ ‍

虽然这个方法是正确的，FOIL听起来还是有些抽象.这样理解也许会更容易：我们使用分配律将第一个二项式里面的每一项分别与第二个二项式里的每一项相乘.

所以我们得到

(x + 2) (x + 4) = x^{2} + 6 x + 8

于是我们看到

x + 2

和

x + 4

是

x^{2} + 6 x + 8

的两个因式，但是如果不这样做我们如何找出多项式的因式呢？

因式分解三项式

我们可以把上述二项式相乘的步骤反过来，来因式分解一个三项式（即只有三项的多项式）.

换句话说，如果看到一个多项式

x^{2} + 6 x + 8

，我们可以先用因式分解把它写成两个二项式乘积的形式：

(x + 2) (x + 4)

我们一起通过几个例子来看一下怎样做.

例题 1: 因式分解 $x^{2} + 5 x + 6$ ‍

为了分解

x^{2} + 5 x + 6

，我们首先需要找出相乘得

6

(常数) 且相加得

5

(

x

的系数) 的两个数.

因为

2 \cdot 3 = 6

且

2 + 3 = 5

，可知这两个数分别为

2

和

3

我们可以列出所有相乘得

6

的数. 然后从中找出相加得

5

的.

乘积: $m \cdot n = 6$ ‍	‍	相加: $m + n$ ‍
$1 \cdot 6 = 6$ ‍		$1 + 6 = 7$ ‍
$2 \cdot 3 = 6$ ‍		$2 + 3 = 5$ ‍
$(- 1) \cdot (- 6) = 6$ ‍		$(- 1) + (- 6) = - 7$ ‍
$(- 2) \cdot (- 3) = 6$ ‍		$(- 2) + (- 3) = - 5$ ‍

然后我们把这两个数分别与

x

相加，写成两个二项式的形式:

(x + 2)

and

(x + 3)

整理一下，该三项式因式分解的结果如下：

$x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ ‍

我们可以通过展开两个二项式乘积来检验因式分解是否正确.

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 3) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (3) \\ = x^{2} + 2 x + 3 x + 6 \\ = x^{2} + 5 x + 6 \end{aligned}$ ‍

x + 2

和

x + 3

的乘积的确是

x^{2} + 5 x + 6

.我们刚才因式分解的结果是正确的！

看看你的知识掌握地如何

1) 因式分解 $x^{2} + 7 x + 10$ ‍.

为了分解

x^{2} + 7 x + 10

, 我们需要找出相加得

7

的两个

10

的因数.

下表列出了所有

10

的因数和它们的和.

乘积: $m \cdot n = 10$ ‍	‍	相加: $m + n$ ‍
$1 \cdot 10 = 10$ ‍		$1 + 10 = 11$ ‍
$2 \cdot 5 = 10$ ‍		$2 + 5 = 7$ ‍
$(- 1) \cdot (- 10) = 10$ ‍		$(- 1) + (- 10) = - 11$ ‍
$(- 2) \cdot (- 5) = 10$ ‍		$(- 2) + (- 5) = - 7$ ‍

只有一对因数满足条件：

2

和

5

我们可以把每个数分别和

x

相加来组成两个二项公因式：

(x + 2)

和

(x + 5)

。多项式的因式分解结果如下。

$x^{2} + 7 x + 10 = (x + 2) (x + 5)$ ‍

2) 因式分解 $x^{2} + 9 x + 20$ ‍.

为了分解

x^{2} + 9 x + 20

, 我们需要找出相加得

9

的两个

20

的因数.

下表列出了所有

20

的因数和它们的和.

乘积: $m \cdot n = 20$ ‍	‍	相加: $m + n$ ‍
$1 \cdot 20 = 20$ ‍		$1 + 20 = 21$ ‍
$2 \cdot 10 = 20$ ‍		$2 + 10 = 12$ ‍
$4 \cdot 5 = 20$ ‍		$4 + 5 = 9$ ‍
$(- 1) \cdot (- 20) = 20$ ‍		$(- 1) + (- 20) = - 21$ ‍
$(- 2) \cdot (- 10) = 20$ ‍		$(- 2) + (- 10) = - 12$ ‍
$(- 4) \cdot (- 5) = 20$ ‍		$(- 4) + (- 5) = - 9$ ‍

只有一对因数满足条件：

4

和

5

我们可以把每个数分别和

x

相加来组成两个二项公因式：

(x + 4)

和

(x + 5)

。多项式的因式分解结果如下。

$x^{2} + 9 x + 20 = (x + 4) (x + 5)$ ‍

下面通过更多例题来看我们可以从中学到什么.

例题 2: 因式分解 $x^{2} - 5 x + 6$ ‍

为了分解

x^{2} - 5 x + 6

，我们首先找出两个相乘得

6

且相加得

- 5

的数.

因为

(- 2) \cdot (- 3) = 6

且

(- 2) + (- 3) = - 5

，可知这两个数分别为

- 2

和

- 3

我们可以列出所有相乘得

6

的数. 然后从中找出相加得

- 5

的.

乘积: $m \cdot n = 6$ ‍	‍	相加: $m + n$ ‍
$1 \cdot 6 = 6$ ‍		$1 + 6 = 7$ ‍
$2 \cdot 3 = 6$ ‍		$2 + 3 = 5$ ‍
$(- 1) \cdot (- 6) = 6$ ‍		$(- 1) + (- 6) = - 7$ ‍
$(- 2) \cdot (- 3) = 6$ ‍		$(- 2) + (- 3) = - 5$ ‍

然后我们把这两个数分别与

x

相加，写成两个二项式的形式:

(x + (- 2))

和

(x + (- 3))

分解因式如下：

$\begin{aligned} x^{2} - 5 x + 6 & = (x + (- 2)) (x + (- 3)) \\ = (x - 2) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

因式分解思路: 注意需要分解

x^{2} - 5 x + 6

的两个数

(- 2

和

- 3)

都是负的.这是因为它们的乘积需要是正数.这是因为它们的乘积需要等于

(6)

且和需要是负数

(- 5)

一般来说，因式分解

x^{2} + b x + c

的时候，如果

c

是正数且

b

是负数，那么两个因数一定都是负的.

例题 3: 因式分解 $x^{2} - x - 6$ ‍

我们可以把

x^{2} - x - 6

写成

x^{2} - 1 x - 6

为了分解

x^{2} - 1 x - 6

，我们首先找出两个相乘得

- 6

且相加得

- 1

的数.

由于

(2) \cdot (- 3) = - 6

且

2 + (- 3) = - 1

，这两个数分别是是

2

和

- 3

我们可以列出所有相乘得

- 6

的数. 然后从中找出相加得

- 1

的.

乘积: $m \cdot n = - 6$ ‍	‍	和: $m + n$ ‍
$(- 1) \cdot 6 = - 6$ ‍		$(- 1) + 6 = 5$ ‍
$1 \cdot (- 6) = - 6$ ‍		$1 + (- 6) = - 5$ ‍
$(- 2) \cdot 3 = - 6$ ‍		$(- 2) + 3 = 1$ ‍
$(2) \cdot (- 3) = - 6$ ‍		$(2) + (- 3) = - 1$ ‍

然后我们把这两个数分别与

x

相加，写成两个二项式的形式:

(x + 2)

and

(x + (- 3))

分解因式如下：

$\begin{aligned} x^{2} - x - 6 & = (x + 2) (x + (- 3)) \\ = (x + 2) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

因式分解思路: 注意因式分解

x^{2} - x - 6

时，我们需要一个正数

(2)

和一个负数

(- 3)

. 因为它们的乘积需要等于负数

(- 6)

一般来说，因式分解

x^{2} + b x + c

的时候，如果

c

是负数，那么一个因数是正数另一个因数是负数.

总结

总的来说，因式分解一个三项式

x^{2} + b x + c

，我们需要找出

c

的因数，且这两个因数的和等于

b

假设这两个数是

m

和

n

，满足

c = m n

且

b = m + n

，那么

x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)

看看你的知识掌握地如何

3) 因式分解 $x^{2} - 8 x - 9$ ‍.

为了分解

x^{2} - 8 x - 9

, 我们需要找出相加得

- 8

的两个

- 9

的因数.

由于两个数乘积必须是

- 9

，一个一定是正数，一个是负数

- 9

的因数如下表所列.

乘积: $m \cdot n = - 9$ ‍	‍	求和: $m + n$ ‍
$1 \cdot (- 9) = - 9$ ‍		$1 + (- 9) = - 8$ ‍
$(- 1) \cdot 9 = - 9$ ‍		$- 1 + 9 = 8$ ‍
$(- 3) \cdot 3 = - 9$ ‍		$- 3 + 3 = 0$ ‍

可以看到这里

1

和

- 9

满足这些条件.我们可以把这两个数分别添加到

x

中来组成两个二项公因式：

(x + 1)

和

(x + (- 9))

. 多项式的因式分解结果如下.

$\begin{aligned} x^{2} - 8 x - 9 & = (x + 1) (x + (- 9)) \\ = (x + 1) (x - 9) \end{aligned}$ ‍

4) 因式分解 $x^{2} - 10 x + 24$ ‍.

为了分解

x^{2} - 10 x + 24

, 我们需要找出相加得

- 10

的两个

24

的因数.

由于两个数乘积必须是

24

，且相加得

- 10

，两个数必须都是负数.

下表列出了

24

的因数(两者都是负值) .

乘积: $m \cdot n = 24$ ‍	‍	相加: $m + n$ ‍
$(- 1) \cdot (- 24) = 24$ ‍		$- 1 + (- 24) = - 25$ ‍
$(- 2) \cdot (- 12) = 24$ ‍		$- 2 + (- 12) = - 14$ ‍
$(- 3) \cdot (- 8) = 24$ ‍		$- 3 + (- 8) = - 11$ ‍
$(- 4) \cdot (- 6) = 24$ ‍		$- 4 + (- 6) = - 10$ ‍

可以看到这里

- 4

和

- 6

满足这些条件.我们可以把这两个数分别添加到

x

中来组成两个二项公因式：

(x + (- 4))

和

(x + (- 6))

. 多项式的因式分解结果如下.

$\begin{aligned} x^{2} - 10 x + 24 & = (x + (- 4)) (x + (- 6)) \\ = (x - 4) (x - 6) \end{aligned}$ ‍

5) 因式分解 $x^{2} + 7 x - 30$ ‍.

为了分解

x^{2} + 7 x - 30

, 我们需要找出相加得

7

的两个

- 30

的因数.

由于两个数乘积必须是

- 30

，一个一定是正数，一个是负数

- 30

的因数如下表所列.

乘积: $m \cdot n = - 30$ ‍	‍	相加: $m + n$ ‍
$1 \cdot (- 30) = - 30$ ‍		$1 + (- 30) = - 29$ ‍
$(- 1) \cdot 30 = - 30$ ‍		$- 1 + 30 = 29$ ‍
$2 \cdot (- 15) = - 30$ ‍		$2 + (- 15) = - 13$ ‍
$(- 2) \cdot 15 = - 30$ ‍		$- 2 + 15 = 13$ ‍
$3 \cdot (- 10) = - 30$ ‍		$3 + (- 10) = - 7$ ‍
$(- 3) \cdot 10 = - 30$ ‍		$- 3 + 10 = 7$ ‍
$5 \cdot (- 6) = - 30$ ‍		$5 + (- 6) = - 1$ ‍
$(- 5) \cdot 6 = - 30$ ‍		$- 5 + 6 = 1$ ‍

可以看到这里

- 3

和

10

满足这些条件.我们可以把这两个数分别和

x

相加来组成两个二项公因式：

(x + - 3)

和

(x + (10))

. 多项式的因式分解结果如下.

$\begin{aligned} x^{2} + 7 x - 30 & = (x + (- 3)) (x + (10)) \\ = (x - 3) (x + 10) \end{aligned}$ ‍

为什么这个方法可以因式分解多项式？

为了理解因式分解方法成立的原因，我们回到最开始的例子：将

x^{2} + 5 x + 6

因式分解为

(x + 2) (x + 3)

如果我们返回去再把两个二项式因式相乘，就会发现

2

和

3

在展开得到

x^{2} + 5 x + 6

起到的作用.

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 3) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (3) \\ = x^{2} + 2 x + 3 x + 2 \cdot 3 \\ = x^{2} + (2 + 3) x + 2 \cdot 3 \end{aligned}$ ‍

我们可以看出

x

项的系数是

2

和

3

和，且常数项是

2

和

3

的积.

和积式

我们再来用刚刚展开

(x + 2) (x + 3)

的方法来求

(x + m) (x + n)

$\begin{aligned} (x + m) (x + n) & = (x + m) (x) + (x + m) (n) \\ = x^{2} + m x + n x + m \cdot n \\ = x^{2} + (m + n) x + m \cdot n \end{aligned}$ ‍

概括这一步骤，我们得出以下公式：

$(x + m) (x + n) = x^{2} + (m + n) x + m \cdot n$ ‍

也称为和积法.

这也就解释了为什么我们一旦把一个三项式

x^{2} + b x + c

表达为

x^{2} + (m + n) x + m \cdot n

（通过找到

m

和

n

两个数，满足

b = m + n

且

c = m \cdot n

），就能把三项式分解为

(x + m) (x + n)

形式.

反思题

6) 可以使用这个因式分解方法来分解 $2 x^{2} + 3 x + 1$ ‍ 吗?

何时使用这个方法来因式分解？

一般来说，和积法仅用于写成

(x + m) (x + n)

形式的三项式，且

m

和

n

是整数.

也就是说只有三项式的首项必须是

x^{2}

(不能是其他，比如，

2 x^{2}

) 的时候才能使用这个方法. 这是因为

(x + m)

和

(x + n)

的乘积永远是首项为

x^{2}

的多项式.

然而，不是所有首项为

x^{2}

的三项式都可以被因式分解。例如，

x^{2} + 2 x + 2

就不能被因式分解，因为找不到两个相加等于

2

，且相乘等于

2

的整数.

在之后的课程里，我们会学习更多方法来分解其他形式的多项式.

挑战题

7*) 因式分解 $x^{2} + 5 x y + 6 y^{2}$ ‍.

8*) 因式分解 $x^{4} - 5 x^{2} + 6$ ‍.

该多项式的形式是

x^{2} + b x + c

，尽管用代入替换法可以使它更易于看出来。

让

Y = x^{2}

. 我们现在可以把该多项式写成如下形式：

$\begin{aligned} x^{4} - 5 x^{2} + 6 & = (x^{2})^{2} - 5 x^{2} + 6 \\ = Y^{2} - 5 Y + 6 \end{aligned}$ ‍

由于

(- 2) \cdot (- 3) = 6

且

(- 2) + (- 3) = - 5

，多项式因式如下：

$= (Y - 2) (Y - 3)$ ‍

现在，由于

Y = x^{2}

，我们可以再置换回去来找出原多项式的因式.

$\begin{aligned} = (x^{2} - 2) (x^{2} - 3) \end{aligned}$ ‍

因式分解为

(x^{2} - 2) (x^{2} - 3)

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八年级

课程: 八年级 > 单元 4

学习本节课之前你需要了解的内容

本课内容

复习: 二项式相乘

因式分解三项式

例题 1: 因式分解 x2+5x+6‍

看看你的知识掌握地如何

例题 2: 因式分解 x2−5x+6‍

例题 3: 因式分解 x2−x−6‍

总结

看看你的知识掌握地如何

为什么这个方法可以因式分解多项式？

和积式

反思题

何时使用这个方法来因式分解？

挑战题

想加入讨论吗？

例题 1: 因式分解 $x^{2} + 5 x + 6$ ‍

例题 2: 因式分解 $x^{2} - 5 x + 6$ ‍

例题 3: 因式分解 $x^{2} - x - 6$ ‍