主要内容
八年级
分解二次表达式:首项系数 = 1
学习如何将一个二次表达式分解为两个一次二项式的乘积。例如, x²+5x+6=(x+2)(x+3)。
学习本节课之前你需要了解的内容
因式分解一个多项式需要先写成两个或以上多项式乘积的形式.它正好与多项式相乘相反.如需了解更多,请查看我们前一讲关于提取公因数的内容.
本课内容
本节课,你将要学习如何因式分解一个 形式的二次多项式
复习: 二项式相乘
让我们以表达式 为例。
我们可以多次使用分配律来求它的乘积。
所以我们得到 .
于是我们看到 和 是 的两个因式,但是如果不这样做我们如何找出多项式的因式呢?
因式分解三项式
我们可以把上述二项式相乘的步骤反过来,来因式分解一个三项式(即只有三项的多项式).
换句话说,如果看到一个多项式 ,我们可以先用因式分解把它写成两个二项式乘积的形式: .
我们一起通过几个例子来看一下怎样做.
例题 1: 因式分解
为了分解 ,我们首先需要找出相乘得 (常数) 且相加得 ( 的系数) 的两个数.
因为 且 ,可知这两个数分别为 和 .
然后我们把这两个数分别与 相加,写成两个二项式的形式: and .
整理一下,该三项式因式分解的结果如下:
我们可以通过展开两个二项式乘积来检验因式分解是否正确.
看看你的知识掌握地如何
下面通过更多例题来看我们可以从中学到什么.
例题 2: 因式分解
为了分解 ,我们首先找出两个相乘得 且相加得 的数.
因为 且 ,可知这两个数分别为 和 .
然后我们把这两个数分别与 相加,写成两个二项式的形式: 和 .
分解因式如下:
因式分解思路: 注意需要分解 的两个数 和 都是负的.这是因为它们的乘积需要是正数.这是因为它们的乘积需要等于 且和需要是负数 .
一般来说,因式分解 的时候,如果 是正数且 是负数,那么两个因数一定都是负的.
例题 3: 因式分解
我们可以把 写成 .
为了分解 ,我们首先找出两个相乘得 且相加得 的数.
由于 且 ,这两个数分别是是 和 .
然后我们把这两个数分别与 相加,写成两个二项式的形式: and .
分解因式如下:
因式分解思路: 注意因式分解 时,我们需要一个正数 和一个负数 . 因为它们的乘积需要等于负数 .
一般来说,因式分解 的时候,如果 是负数,那么一个因数是正数另一个因数是负数.
总结
总的来说,因式分解一个三项式 ,我们需要找出 的因数,且这两个因数的和等于 .
假设这两个数是 和 ,满足 且 ,那么 .
看看你的知识掌握地如何
为什么这个方法可以因式分解多项式?
为了理解因式分解方法成立的原因,我们回到最开始的例子 :将 因式分解为 .
如果我们返回去再把两个二项式因式相乘,就会发现 和 在展开得到 起到的作用.
我们可以看出 项的系数是 和 和 ,且常数项是 和 的积.
和积式
我们再来用刚刚展开 的方法来求 :
概括这一步骤,我们得出以下公式:
也称为和积法.
这也就解释了为什么我们一旦把一个三项式 表达为 (通过找到 和 两个数,满足 且 ),就能把三项式分解为 形式.
反思题
何时使用这个方法来因式分解?
一般来说,和积法仅用于写成 形式的三项式,且 和 是整数.
也就是说只有三项式的首项必须是 (不能是其他,比如, ) 的时候才能使用这个方法. 这是因为 和 的乘积永远是首项为 的多项式.
然而,不是所有首项为 的三项式都可以被因式分解。例如, 就不能被因式分解,因为找不到两个相加等于 ,且相乘等于 的整数.
在之后的课程里,我们会学习更多方法来分解其他形式的多项式.