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八年级

课程: 八年级 > 单元 4

课程 7: 因式分解：(x+a)(x+b)

分解二次表达式：首项系数 = 1

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学习如何将一个二次表达式分解为两个一次二项式的乘积。例如， x²+5x+6=(x+2)(x+3)。

学习本节课之前你需要了解的内容

因式分解一个多项式需要先写成两个或以上多项式乘积的形式.它正好与多项式相乘相反.如需了解更多，请查看我们前一讲关于提取公因数的内容.

本课内容

本节课，你将要学习如何因式分解一个

x^{2} + b x + c

形式的二次多项式

复习: 二项式相乘

让我们以表达式

(x + 2) (x + 4)

为例。

我们可以多次使用分配律来求它的乘积。

[这里有如何求两个二项式乘积的另一种解释.]

所以我们得到

(x + 2) (x + 4) = x^{2} + 6 x + 8

于是我们看到

x + 2

和

x + 4

是

x^{2} + 6 x + 8

的两个因式，但是如果不这样做我们如何找出多项式的因式呢？

因式分解三项式

我们可以把上述二项式相乘的步骤反过来，来因式分解一个三项式（即只有三项的多项式）.

换句话说，如果看到一个多项式

x^{2} + 6 x + 8

，我们可以先用因式分解把它写成两个二项式乘积的形式：

(x + 2) (x + 4)

我们一起通过几个例子来看一下怎样做.

例题 1: 因式分解 $x^{2} + 5 x + 6$ ‍

为了分解

x^{2} + 5 x + 6

，我们首先需要找出相乘得

6

(常数) 且相加得

5

(

x

的系数) 的两个数.

因为

2 \cdot 3 = 6

且

2 + 3 = 5

，可知这两个数分别为

2

和

3

[如何找出这些数]

然后我们把这两个数分别与

x

相加，写成两个二项式的形式:

(x + 2)

and

(x + 3)

整理一下，该三项式因式分解的结果如下：

$x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ ‍

我们可以通过展开两个二项式乘积来检验因式分解是否正确.

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 3) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (3) \\ = x^{2} + 2 x + 3 x + 6 \\ = x^{2} + 5 x + 6 \end{aligned}$ ‍

x + 2

和

x + 3

的乘积的确是

x^{2} + 5 x + 6

.我们刚才因式分解的结果是正确的！

看看你的知识掌握地如何

1) 因式分解 $x^{2} + 7 x + 10$ ‍.

[我需要帮助！]

2) 因式分解 $x^{2} + 9 x + 20$ ‍.

[我需要帮助！]

下面通过更多例题来看我们可以从中学到什么.

例题 2: 因式分解 $x^{2} - 5 x + 6$ ‍

为了分解

x^{2} - 5 x + 6

，我们首先找出两个相乘得

6

且相加得

- 5

的数.

因为

(- 2) \cdot (- 3) = 6

且

(- 2) + (- 3) = - 5

，可知这两个数分别为

- 2

和

- 3

[如何找出这些数]

然后我们把这两个数分别与

x

相加，写成两个二项式的形式:

(x + (- 2))

和

(x + (- 3))

分解因式如下：

$\begin{aligned} x^{2} - 5 x + 6 & = (x + (- 2)) (x + (- 3)) \\ = (x - 2) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

[我需要检查结果]

因式分解思路: 注意需要分解

x^{2} - 5 x + 6

的两个数

(- 2

和

- 3)

都是负的.这是因为它们的乘积需要是正数.这是因为它们的乘积需要等于

(6)

且和需要是负数

(- 5)

一般来说，因式分解

x^{2} + b x + c

的时候，如果

c

是正数且

b

是负数，那么两个因数一定都是负的.

例题 3: 因式分解 $x^{2} - x - 6$ ‍

我们可以把

x^{2} - x - 6

写成

x^{2} - 1 x - 6

为了分解

x^{2} - 1 x - 6

，我们首先找出两个相乘得

- 6

且相加得

- 1

的数.

由于

(2) \cdot (- 3) = - 6

且

2 + (- 3) = - 1

，这两个数分别是是

2

和

- 3

[如何找出这些数]

然后我们把这两个数分别与

x

相加，写成两个二项式的形式:

(x + 2)

and

(x + (- 3))

分解因式如下：

$\begin{aligned} x^{2} - x - 6 & = (x + 2) (x + (- 3)) \\ = (x + 2) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

[我需要检查结果]

因式分解思路: 注意因式分解

x^{2} - x - 6

时，我们需要一个正数

(2)

和一个负数

(- 3)

. 因为它们的乘积需要等于负数

(- 6)

一般来说，因式分解

x^{2} + b x + c

的时候，如果

c

是负数，那么一个因数是正数另一个因数是负数.

总结

总的来说，因式分解一个三项式

x^{2} + b x + c

，我们需要找出

c

的因数，且这两个因数的和等于

b

假设这两个数是

m

和

n

，满足

c = m n

且

b = m + n

，那么

x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)

看看你的知识掌握地如何

3) 因式分解 $x^{2} - 8 x - 9$ ‍.

[我需要帮助！]

4) 因式分解 $x^{2} - 10 x + 24$ ‍.

[我需要帮助！]

5) 因式分解 $x^{2} + 7 x - 30$ ‍.

[我需要帮助！]

为什么这个方法可以因式分解多项式？

为了理解因式分解方法成立的原因，我们回到最开始的例子：将

x^{2} + 5 x + 6

因式分解为

(x + 2) (x + 3)

如果我们返回去再把两个二项式因式相乘，就会发现

2

和

3

在展开得到

x^{2} + 5 x + 6

起到的作用.

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 3) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (3) \\ = x^{2} + 2 x + 3 x + 2 \cdot 3 \\ = x^{2} + (2 + 3) x + 2 \cdot 3 \end{aligned}$ ‍

我们可以看出

x

项的系数是

2

和

3

和，且常数项是

2

和

3

的积.

和积式

我们再来用刚刚展开

(x + 2) (x + 3)

的方法来求

(x + m) (x + n)

$\begin{aligned} (x + m) (x + n) & = (x + m) (x) + (x + m) (n) \\ = x^{2} + m x + n x + m \cdot n \\ = x^{2} + (m + n) x + m \cdot n \end{aligned}$ ‍

概括这一步骤，我们得出以下公式：

$(x + m) (x + n) = x^{2} + (m + n) x + m \cdot n$ ‍

也称为和积法.

这也就解释了为什么我们一旦把一个三项式

x^{2} + b x + c

表达为

x^{2} + (m + n) x + m \cdot n

（通过找到

m

和

n

两个数，满足

b = m + n

且

c = m \cdot n

），就能把三项式分解为

(x + m) (x + n)

形式.

反思题

6) 可以使用这个因式分解方法来分解 $2 x^{2} + 3 x + 1$ ‍ 吗?

[我需要帮助！]

何时使用这个方法来因式分解？

一般来说，和积法仅用于写成

(x + m) (x + n)

形式的三项式，且

m

和

n

是整数.

也就是说只有三项式的首项必须是

x^{2}

(不能是其他，比如，

2 x^{2}

) 的时候才能使用这个方法. 这是因为

(x + m)

和

(x + n)

的乘积永远是首项为

x^{2}

的多项式.

然而，不是所有首项为

x^{2}

的三项式都可以被因式分解。例如，

x^{2} + 2 x + 2

就不能被因式分解，因为找不到两个相加等于

2

，且相乘等于

2

的整数.

在之后的课程里，我们会学习更多方法来分解其他形式的多项式.

挑战题

7*) 因式分解 $x^{2} + 5 x y + 6 y^{2}$ ‍.

[我需要帮助！]

8*) 因式分解 $x^{4} - 5 x^{2} + 6$ ‍.

[我需要帮助！]

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八年级

课程: 八年级 > 单元 4

学习本节课之前你需要了解的内容

本课内容

复习: 二项式相乘

因式分解三项式

例题 1: 因式分解 x2+5x+6‍

看看你的知识掌握地如何

例题 2: 因式分解 x2−5x+6‍

例题 3: 因式分解 x2−x−6‍

总结

看看你的知识掌握地如何

为什么这个方法可以因式分解多项式？

和积式

反思题

何时使用这个方法来因式分解？

挑战题

想加入讨论吗？

例题 1: 因式分解 $x^{2} + 5 x + 6$ ‍

例题 2: 因式分解 $x^{2} - 5 x + 6$ ‍

例题 3: 因式分解 $x^{2} - x - 6$ ‍