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主要内容

多项式除法简介

当我们用多项式 p(x) 除以 q(x),其实我们是在问“我们应该用什么乘以 q(x) 才能得到 p(x) ?” 如果这听起来很熟悉的话,是因为这跟数字除法很像!在这个简介中我们会了解一些商是如何变成多项式的,也会有一些时候无法把商完全变成多项式,而是会有余数。这都跟整数除法非常相似!.

视频字幕

对于多项式 我们已经不陌生了, 并且我们也聊过如何 做多项式加减法, 多项式乘法, 以及多项式分解。 而我们在本期视频中 主要是要真正开始了解 如何做多项式除法。 举个例子, 如果我有一个多项式, 一个二次多项式, 假设这个式子是x^2 + 3x+2 然后我想用这个式子 除以x + 1。 我们可以暂停视频 想想结果是什么。 我们需要用多少乘以x + 1 可以得到x^2 + 3x + 2呢? 一种思路是, 我们可以先分解 x^2 + 3x + 2, 并且我们也已经做过很多次分解了。 我们需要找到,哪两个数加在一起等于3, 乘在一起等于2。 马上可以得到的一个数, 我是说两个数, 就是2和1。 所以我们可以将x^2 x^2 + 3x + 2写成 (x + 2) (x + 2)(x + 1),然后用这个式子 比上x + 1。 如果你要用(x + 2) (x + 2)(x + 1)除以 (x + 1)的话,结果是多少呢? 你可以直接得到结果 是x + 2。 结果就是,这里的括号不是必须的, 结果就是x + 2。 如果我们想要在数学上非常严谨的话, 我们可以进一步说, 只要x不等于-1, 我们的解题就没问题, 因为如果x = -1的话, 在这个表达式里, 我们就是在除以0。 我们也知道这就会造成各种 古怪的数学问题。 不过我们可以看到,对于任意x来说, 只要我们这里不是在除以0, 那么这个表达式 就等于x + 2, 因为(x + 2) (x + 2)(x + 1)就等于 我们这边的分子。 现在开始在我们进一步研究多项式的过程中, 我们会接触到 仅凭简单的因式分解 无法解决的问题。 这时候我们就会用到一个 叫多项式长除法的方法。 多项式长除法, 有时也叫做代数长除法。 如果你们觉得耳熟的话, 可能是因为你在四五年级就第一次 接触长除法了, 并且其实我们现在要学的和以前的长除法非常类似, 就是用我们的x + 1 作为除数去除 x^2 + 3x + 2。 你会做一些 非常,我会在这边很快地写个例子, 但我们在之后的视频里 会讲到更多更细节的例子, 但回到这里,我们从 最高次项开始看起。 你可以发现,我们有一个一次项, 这里又有一个二次项。 x乘以多少等于x^2呢? 答案是x。 所以在一次项这一列我们放上x, 然后用x乘以x + 1。 x * x = x^2。 x * 1 = x。 接下来你把这里从那里减去。 到目前你可能已经看到一些 现在的长除法和你很多年前 在学校学的长除法的相似之处了。 当你做这一步时,这里抵消掉了, 3x - x, 我们最后得到2x。 然后你把2移下来, 就得到2x + 2。 x乘以多少 等于2x呢? 答案是2。 所以这里你得到+2。 2 * (x + 1)。 2 * x = 2x 2 * 1 = 2。 你可以把这个式子减掉, 然后就都减没啦。 2 - 2 = 0。 2x - 2x = 0。 所以这个例子是 可以整除的,我们得到商等于x + 2, 确实和我们在这里得到的一样。 其实还有更有趣的情况, 我们在接下来的几个视频里将 可以看到, 就是当式子无法整除的时候会怎么样呢? 举个例子,比如说我们给 x^2 + 3x + 2加上1, 我们会得到x^2 + 3x + 3。 我们如果用这个数除以 x + 1的话,我们就并不能 整除了。 你可以随便用哪种方式验证。 一种快速验证方法是,如果我们知道 我们可以分解x^2 + 3x + 2的情况下, 我们可以说这个式子就等于 x ^2 + 3x + 2 + 1 比上x + 1。 然后你就可以得到 和之前一样的式子 x^2 + 3x + 2 比x + 1, 比x + 1, 再加上 1 / (x + 1)。 加1 / (x + 1)。 然后此时我们已经知道 只要在x不等于-1的情况下, 左边这个式子就等于 x + 2。 所以这里就等于x + 2, 也就意味着 我们只剩下一个不能被x + 1整除的1, 所以这里就只留下1 / (x + 1)。 在之后的视频里,我们会 涉及到更多的细节。 比如说这个余数意味着什么, 以及如果分子 不能被完全分解的话 我们会如何进行运算。 我们会看到做完多项式长除法 还留下 余数的情况。 在之后的视频中我们会接触这样的例子。