等边三角形的面积（进阶）

假设有一个等边三角形的 每个边长都是 14。 这就是一个等边三角形。 其所有的边长都是 14。 里面另有一个等边 三角形，其边长为 4 。 我现在想求的是这个区域的 面积 － 用不同的颜色来标识 － 就是我刚涂了阴影的这部分面积。 要计算面积的区域就是在大等边三角形之内， 但同时又在小等边三角形之外。 想想看如何计算这个面积。 建议你先暂停本视频自己试着算一遍。 阴影部分的面积等于 大等边三角形的面积 减去小等边三角形的面积。 因此我们必须先算出 每个等边三角形的面积。 要做这个计算，我们记得三角形的面积 等于 1／2 乘以底再乘以高。 可是我们怎么计算 等边三角形的高呢？ 比如有一个等边三角形 － 我把它画大一些便于 进行分析 － 这个等边 三角形是这样的。 它的边长等于 s。 这个计算方法我经常自己推导一遍。 因为我没有把它记住。 等边三角形的每个角 都是 60 度。 它们的大小都一样。 为了计算它的面积， 先要算出高。 我把这个高画在这里， 它把底边一分为二。 我没有把它 画得很精确。 该三角形的高把底边分成两段。 这个高与底边垂直。 这样原来的等边三角形被分成两个 直角三角形，它们的三个角分别为 30 度，60 度及 90 度。 我知道这样的特殊角直角 三角形的边长的比例。 如果整条边为 s，分为两半后 这个桔色的线段长度就是 s／2。 左边这段也是 s／2。 这样加起来整个边长就是 s。 而我们知道这个特殊角直角三角形里， 对着 60 度角的边长是 3 的平方根乘以最短边的长度。 因此这个高等于 根号3 除以 2 乘以 s。 现在我们就可以推导出计算 等边三角形面积的通式。 三角形面积等于 1／2 乘以底再乘以高。 这个底边 长度为 s。 而高等于 3 的平方根除以 2 乘以 s。 这个式子化简一下， 分子部分是 3 的平方根乘以 s 平方， 分母等于 4。 现在我们可以用这个公式 来计算这些三角形的面积。 大的等边三角形，面积等于 3 的平方根除以 4 乘以 14 的平方。 而小的等边三角形，面积等于 3 的平方根除以 4 乘以 4 的平方。 我们看到，可以把公因式 3 的平方根除以 4 提取出来。 所以这就等于 3 的平方根除以 4 乘以 14 的平方减去 4 的平方。 4 平方当然就等于 16。 现在我们来把 这些数字算出来。 可以笔算出结果。 我们先把 算式简化一点。 如果你不记得 14 的平方是多少， 我们先把它算出来。 这里列出 14 乘以 14 的算式。 4 乘以 4 得 16。 这个 1 得进位。 4 乘以 1 得 4，再加上 1 得 5，所以 4 乘以 14 得 56。 第二行先补 0，因为现在是乘以 10 了。 10 乘以 14 得 140。 因此结果一共是 196。 整个式子等于 3 的平方根除以 4 乘以 196 减去 16， 196 减去 16 得 180。 这个括号里面等于 180。 180 是 4 的 整数倍，这个式子 等于 3 的平方根乘以一个数， 这个数是 180 除以 4 等于 45。 这就等于 45 倍根号 3。 我来验算一下。 4 乘以 45 等于 160 加上 20， 就是 180。 所以答案是 45 倍根号 3。 如果要一个近似的答案 就得用小数。 我来取计算器。 45 乘以 3 的平方根，得到整数部分是 77。 如果近似到百分之一位， 答案是 77.94。 因此所求的面积大约等于 77.94。 就是阴影部分的面积。