主要内容
二级反应(与微积分)
使用微积分推导出二级反应的综合速率方程。如何给二级反应速率绘图以体现线性关系。
视频字幕
- 假设这个反应对于 A 物质是二级的。 因此 A物质转化成为化学反应产物。 当时间为零时,我们有了 A 物质的初始浓度。 经过一段时间 t 以后,又有了 在 t 时刻的A 物质的浓度。 所以要表示反应速率, 我们有几种方法。 可以说反应速率等于 负的 A 物质浓度的 变化除以时间的变化。 这在以前的视频里我们说过。 我们也可以用通式 来求反应速率。 这个通式就是反应速率等于常数 k 乘以 A 物质的浓度的乘方。 开头说对于 A 物质是 二级反应,所以在公式里 A 物质的浓度有二次乘方。 现在我们把这两个计算 反应速率的式子设为相等。 负的 A 物质浓度的变化 除以时间的变化, 等于反应速率的常数 k 乘以 A 物质浓度的平方。 下面就要用微积分。 原来是个平均反应速率, A 物质浓度的变化除以时间的变化, 我们可以改成瞬时速率。 这样就成为 A 物质浓度 对时间变量求导数。 因此就可以写成 -d[A] 除以 dt, 就是 A物质的浓度 随时间的变化率。 而这就等于常数 k 乘以 A 物质的浓度的平方。 这样就设立了微分方程。 这个微分方程的解 就是一个函数,解这个 微分方程的第一步 就是分离变量。 A 物质的浓度变量应当移到一边, 时间变量 t 和 dt 都 应当移到另一边。 具体就是在方程两边除以 A 物质 的浓度的平方,同时乘以dt, 左边就是负 d[A] 除以 A 物质的浓度的平方。 右边就是 kdt 。 下一步就是积分。 为了进行积分,我们先把 左边的式子改写一下。 这前面有个负号。 这里改写为 A 物质的浓度的 负二次方 乘以d[A], 这样套用 积分公式比较方便。 右边还是 kdt 。 现在一切就绪, 我们要在两边 都进行积分。 k 是常数,可以移出积分号。 然后回来看看,我们的 积分区间是在哪里。 对于时间变量,先看看这里。 时间变量的积分 区间是从零到 t。 对于反应物的浓度, 积分区间是从初始浓度 到 t 时刻的浓度。 现在我们把积分区间标 注在积分号上,所以对于 时间变量是从零到 t。 而对于反应物的浓度, 积分区间是从初始浓度 到 t 时刻的浓度。 在左边,怎么 积分呢? 积分结果是什么? 这相当于对 x 的负二次方乘以 d x 进行积分。 就是对一个乘方函数 x 的负二次方 乘以 d x 进行积分。 这样积分出的函 数就是 A 的负一次方 除以负一。 很明显你学这部分内容之前 必须先学过基本的不定积分。 上个式子前面有负号。 我把积分结果放在括号里。 这个负号仍然在前面。 把这个式子整合一下, 这就等于, 我要把它们化简一下。 因此原方程的左边就可以化简为 1 除以 A 物质的浓度。 原来有两个负号, 相乘之后就变成正号。 结果是 1 除以 A 物质的浓度, 原因是 A 物质的浓度的负一次方就等于 1 除以 A 物质的浓度。 我们现在代入以初始浓度为下限及 t 时刻浓度为上限进行计算。 而在右边,dt 的积分 就等于 t。 这样我们就得到 kt,下限为 0 且上限为 t。 现在我们运用微积分第二基本定理。 因此我们把上、下限代入计算。 先代入这个数。 所以我们得到 1 除以A 物质在 t 时刻 的浓度 减去 1 除以 A 物质的初始浓度, 而在右边 当然等于 kt。 因此我们得到积分得出的 二级反应速率通式。 这就是反应速率通式。 有人称之为积分反应速率方程。 名称不是那么重要。 这个公式很有用,因为 我们可以改变它的形式。 我们可以把 1 除以 A 物质的初始浓度这一项 移到右边,这样 1 除以 A 物质在 t 时刻的浓度等于 kt 加上 1 除以 A 物质的初始浓度 。 现在这个公式看起来挺熟悉的。 这是个直线方程。 这个方程形式就是 Y 等于 MX 加上 B。 所以如果你用时间为 X 坐标, 1 除以 A 物质在 t 时刻 的浓度为 Y 轴, 就得到直线。 而这条直线的斜率 是 M,应该是 k,你的反应速率常数。 而该直线的 Y 截距 B,应该是 1 除以 A 物质的初始浓度。 我们来画一下这条直线的草图。 先画坐标轴。 在横坐标 X 轴, 代表时间变量, 而在纵坐标 Y 轴代表的是 1 除以 A 物质在 t 时刻的浓度。 因此 Y 轴变量就是 1 除以 A 物质的浓度。 对于二级反应,表示这个 方程的图是直线。 我要把这条直线 大概画一下。 只是个示意图。 这条直线的斜率, 应该等于 k。 就是说它等于反应速率常数。 我们在这里可以看到,斜率 等于反应速率常数。 而 Y 轴截距在这一点, 等于 1 除以 A 物质的初始浓度。 这一点的 Y 坐标等于 1 除以 A 物质的初始浓度。 这就是积分反应速率的公式, 具体说就是二级反应的积分 反应速率方程。