指数衰变公式证明（含微积分知识，可跳过）

半衰期的概念很有用 如果涉及到的时间增量 是半衰期的倍数 比如 在时间是0的时候 物质剩余为100% 然后时间等于一个半衰期 物质剩余为50% 如果时间等于两个半衰期 就会剩余25%的物质 以此类推 所以如果已经经过了3个半衰期 比如说碳 就大约是15,000年 我可以大致告诉你 或者是几乎准确地说 我还剩下原来元素的多少 比如碳-14(C14) 我会告诉你 初始的碳14中 没有衰退成氮的百分比 也就是氮14 而且这很好用 但是如果我关心的是 1/2年之后剩余多少碳 或者是在1/2个半衰期之后 或者是30亿年之后 或者在10分钟之后？ 如果我需要一个通用函数怎么办 一个通用函数 时间的函数 它可以告诉我衰减物质的 数目 或者说它的总量 这就是我们这集要做的事 这会有点数学 但我觉得用到的数学非常简单 尤其是如果你上了 大一的微积分 所以实际上这是 它的一个非常简单的应用 我们先来看一下 变化率 或者概率 或者是某一时刻 反应的粒子的数目 那么 在很小一段时间中 粒子数目的差量或变化 或者粒子的多少 由什么因素决定？ 这就是在给定时间段内 粒子的变化量 这就是变化率 所以一方面 我们知道变化率在变小 我们知道这是个负数 我们知道 在放射性衰变中 和物质积累是一样的做法 只是我会说 哦不 这个不是负数 积累取决于我们有多少 而在这个例子中 衰减的数量是成比例的 但是它是 实际化合物的量的负值 我解释一下 所以我说的是 看 衰减的数量和 我们现有的物质的数量 是成比例的 为了让它更加直观一点点 假想一种情况 其中有1×10^9 也就是有10亿个碳原子 假设这里 有1×10^6个碳原子 如果你观察它在 很小的一个时间段之内 比如 如果观察在1秒钟之内 假设是dt dt就是一个极小的时间段 但是也可以说它是时间的变化量 它是Δt 比如说在1秒钟内 观察到这个样品有... 嗯… 比如观察到了1000个碳原子 实际上无法看到这些碳14 而这只是为了表达更直观一些 比如说在1秒钟之内 这里每秒钟发现1000个碳原子 所以在这个样本中能发现 1000比上10亿的它的数量 所以 你在这里观察到的1000个 正在衰减的原子 那么你就会在这里发现 每秒钟1个碳原子 因为这里的总数较小 现在我不知道这个常数到底是多少 但是我们知道 无论讨论何种物质 这个常数都取决于物质本身 碳的和铀的不同 也会不同于 你知道 不同于氡 它们都有 不同的常数 我们会看到的 实际上 下集会讲到 你可以通过半衰期算出这个 但是变化率 总是依赖于 粒子数的总数 对嘛？ 我是说 我们通过半衰期发现的 当粒子数是原来的1/2的时候 就失去了1/2 这里 如果开始有100个粒子 变成50个粒子 再变成25个 如果初始是50个粒子 经过一个半衰期失去25个粒子 如果初始是100个粒子 就失去50个 很明显失去原子的数量 取决于初始原子的数量 对嘛？ 在任何一小段时间中 这而是个非常小的时间段 所以这里我建立的方程十分简单 但是对很多人来说 听起来并非如此 如果你说这是个微分方程的话 实际上我们可以 用很直接的方法解出它 这实际上是个分离变量的问题 所以 我们该怎么做？ 我们两边同时除以 我们想把所有的N放到这边 然后含有t的项放到另一边 所以如果是1除以 dN除以dt等于负的λ 我只是把两边都除以 然后方程两边都乘以dt 就得到dN/N=-λdt 现在这个方程的两侧 同时积分 会得到什么？ 反导数的结果是什么？ 我在用不定积分 或者是反导数 1/N的积分是什么？ 它等于N的自然对数ln 加上某个常数―― 我用蓝色表示 加上某个常数 然后它等于 这个常数的积分是什么？ 它就是这个常数 乘以微分 也就是乘以 求导的对象 所以就是 -λ×t 再加上某常数 这两个是不同的常数 但是它们是任意的 所以如果我们想 我们也可以让它们相减 把它们放到同一侧 然后就得到另一个常数 所以这就得到了我们的 微分方程的解 也就是ln N 等于 -λt 加上另一个常数 就说是C3吧 反正不重要 现在 如果我们想要把它变成 N关于t的函数 我们把两边 或者说等式两边都作e的指数 你可以把它看做是 自然对数的逆运算 那么e^(lnN) lnN就等于 e的多少次方等于N？ 所以e的lnN次方 就得到 所以这个方程两边都作e的指数 方程两边都作e的幂 e的lnN就等于 就等于e^(-λt+C3) 现在这可以化简成 N等于e的-λt次方 乘以e的C3次方 这又是个任意常数 所以我们可以把它改成 嗯… 就改成C4吧 所以微分方程的解是 N对t的函数 就等于常数C4… 等于C4×e^(-λt) 现在假设 甚至可以再化简 假设t取0 那么N(0) 我们有N0这么多样品 这就是初始量 看看我们能不能把它代入 方程来解出C4 所以我们说N0等于 这里代入0 看看 就等于N0 它等于C4乘以e的 -λ… 乘以0 负的任何数的乘以0等于0 所以这就是e^0 那么就等于1 所以C4等于N0 也就是样本初始的量 那么我们就得到了一个表达式 得到粒子的数目 或者t时刻的粒子数 等于初始的量 也就是时间为0的量 乘以e^(-λt) 我们需要注意的是 在我们解不同系数的时候 一直都在用时间常量 所以这看上去很抽象 这和半衰期有什么关系？ 我们试试算出 碳的方程 这对所有放射性衰变 都适用 如果这里有一个加号 它也会是指数形式的 我们知道 碳 C14 它的半衰期是5,700年 所以可以这样想 如果开始时时间等于0… 所以时间等于0 t等于… 我写下来 如果N0等于… 如果想我们可以设成100 何不？ 如果N0 初始值是100 那么在N的5,700年 所以我们设t的单位是年 就需要统一下单位 我们还剩多少？ 还剩下50个 我们也可以在这两个地方写上X 然后再解出来 所以 我们把它代入方程 然后尝试解出λ 所以我们知道N0等于100 所以我们马上就知道 我们可以把这个方程写成 N(t)等于100e 的-λt次方 至少是在这个例子中是这样的 我们也知道N(5,700) 所以就是说 N(5,700)―― 就等于 我们说过 这经过了一个半衰期 所以剩下的1/2的物质 也就等于50 也就是5,700λ次方 也就等于100乘以e的 -λ×5,700次方 现在我们来解λ 然后我们就会得到 一个在任一时刻 剩下多少碳的一般方程 所以等式两边都除以100 得到什么？ 得到0.5 也就是1/2 等于e的―― 就是-5,700λ次方 然后我们 两边同时取自然对数 然后就得到 往下拉一点 ln(1/2)等于 它的自然对数就是-5,700λ 为了解出λ 你得到λ等于 这ln(1/2) 除以-5,700 我来算算看 等于什么 所以ln0.5是它 除以-5,700 除-5,700 等于1.2×10^(-4) 等于1.2×10^(-4) 好啦 算出了λ的值 所以关于在t时刻 有多少碳14的一般方程 其中t的单位是年 N(t)就等于 初始碳的数量 乘以e^(-λt) -λ等于-1.2×10^(-4) 乘以t年 所以如果在1/2年之后 你只需代入数据 你还需要告诉我初始数量是多少 然后我就可以告诉你 在1/2年之后还剩下多少 或者是在10亿年之后 或者是很多很多年之后 下集 我们会遇到 更多类似的问题