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课程: 电器工程 > 单元 2

课程 3: 直流电路分析

线性

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当电阻上的电压增加一倍时，电流也会增加一倍。我们说电阻是线性器件。电容和电感也是线性的。

介绍

线性是一个对电子设计具有深远影响的数学概念。这个概念本身很简单，但其影响对我们的领域具有极大意义。首先，我们将谈论线性的数学含义，然后我们将把这一意义应用于电子电路。

我们要做的是什么

如果某个函数在数学意义上是线性，那么一定具有这些属性：

同质性（缩放性）：

f (a x) = a f (x)

可加性：

f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})

如果输入和输出都是单个数字，那么一个方程肯定同时具有缩放性和可加性。电阻，电容，电感器都是线性的 因为他们都具有缩放性。

线性

线性一词是指比例。假设你有两个相关的物理性质，比如跑的速度和跑过的距离。如果你加快一倍的速度，那么相对应的路程也会增加一倍。如果你把速度变成原先的三倍，你跑过的距离也会变成一开始的三倍。这就是线性关系。一般来讲，某物品的价格是线性的。如果一个笔记本要一块钱，那么十本就会需要十块钱。

在电学里，一个理想电阻会给电压和电流一个线性关系。如果你把电压增强一倍，那么电流将会增加一倍，反之亦然。所以，我们说理想电阻是线性元素

两种数量可能具有非线性关系。如果你出去跑步，速度加快一倍，跑的总时间就会减至一半。所以速度与总时间之间的关系不是线性的。速度翻了一番，但时间缩短了一半。（但是，速度和

1 / t

是线性关系）

另一个自然的非线性方程的例子是库仑定律 Coulomb's Law。它是一个反比平方定律，并不是线性的关系。如果有两个异极的电荷，那么他们之间必然会有吸引力。如果把它们之间的距离增加一倍，那么吸引力将会以

2^{2}

倍下降而不是

2

倍。所以在吸引力和距离之间，缩放性并不适用。（但是，库仑定律指出：如果将电荷增加一倍，那么吸引力将会增加一倍，也就是说电荷和力之间的关系是线性的）

缩放性（同质性）

我们想要用数学术语来描述缩放性。成双倍的联系可以被记为

f (2 x) = 2 f (x)

。相似的，成三倍的关系可以被写作

f (3 x) = 3 f (x)

。通常来讲，缩放性就是：

f (a x) = a f (x)

一个更高大上的数学术语是同质性。

一个穿过原点的方程有缩放性。让

y = f (x) = 2 x

如果

x = 2

，那么

y = 2 \cdot 2 = 4

如果我们将

x

从

2

到

4

增加一倍，那么

y = 2 \cdot 4 = 8

因此，将

x

翻一番，

y

也会翻一番。

重要的是，因为

f (x)

是一条直线，比例因数

a

并不取决于

x

的值。

如果方程是其他的形状，如

y = x^{2}

或者

y = 1 / x

或者

y = e^{x}

，每一个

x

的比例因数都不一样，取决于

x

的值。

举个例子，如果

y = x^{2} / 16

，

在

x = 4

，

y = 4^{2} / 16 = 1

，所以其从

x

到

y

的比例因数为

1 / 4

。

在

x = 8

，

y = 8^{2} / 16 = 4

，所以其比例因数为

1 / 2

。

对于任何非直线的函数，缩放（同质）并不是常数，而是根据

x

的变化所变化的值。

这是我们想使用线性的放大器使小信号增幅的主要原因。每个信号都一致地按同一大小缩放，因此输出就是缩放过的输入信号的复制。

添加 (可加性)

当一个关系是线性（有缩放性）的时候，我们可以给出一个添加的性质。所有线性函数都有一种含有比例因数的线（斜率），也就是

a

：

f (x) = a x

如果我们输入两个不同的输入

(x_{1} + x_{2})

。然后：

f (x_{1} + x_{2}) = a (x_{1} + x_{2}),

再用乘法分配率：

f (x_{1} + x_{2}) = a x_{1} + a x_{2} .

等式右边就会等于：

a x_{1} = f (x_{1}) a x_{2} = f (x_{2})

然后我们现在就有了一个可以相加的属性（数学称其为可加性）：

f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})

我们可以进一步利用这个性质。

假设我们有两个输入，

x_{1}

和

x_{2}

，然后都输入线性函数

f (x)

。预料之中，输出是

f (x_{1})

和

f (x_{2})

如果我们将两个输入合并，即

x_{1} + x_{2}

，然后将其和放到

f (x)

里。理论上讲，输出应该是

f (x_{1} + x_{2})

。

如果

f (x)

是线性函数，那么当输入为

x_{1} + x_{2}

时，必定有另一种方法可以得出输出。总输出还可以用两个独立输出的和来计算：

f (x_{1}) + f (x_{2})

。

线性方程的可加性被称作叠加。它是有相同名字的电路分析技术的基础。叠加在网孔电流法和其他很多的工程区域都有成熟广泛的运用。

如果方程

f (x)

不是线性的，输入

x_{1} + x_{2}

后的输出并不是

f (x_{1}) + f (x_{2})

的和，而会更复杂。

我们现在来创造一个可以将输入平方的非线性方程——”平方“。

f (x) = x^{2}

如果

x = 3

，那么

f (3) = 9

。
如果

x = 0.5

，那么

f (0.5) = 0.25

。

现在想象我们有两个区分开来的输入，

a

和

b

，然后我们把它们加起来输入”平方“。输出是什么？

f (a + b) = (a + b)^{2}

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

第一和最后一项，

a^{2}

和

b^{2}

，是将输入分别计算来的。但是中间的一项，

2 a b

，表示两个输入信号的混合。为了测试输出，你需要知道方程本身——

f (x) = x^{2}

；和两个输入之间的即时关系。

线性的电子元件

让我们先看一下电阻。从数学角度看，你可能会认为电阻是一个将电压作为输入、电流作为输出的函数。

我们可以通过测试一个电阻的缩放性来判断其是否是线性的。我们可以将欧姆定律看做一个方程：

i = f (v) = \frac{1}{R} v

电阻的缩放

如果我们把给电阻施加的电压提高一倍，那么其电流也将提升一倍。
如果我们将电流调整至原先的

4

倍，那么电压将提升至原先的

4

倍。

电阻的可加性

如果我们给电阻施加

1 V + 3 V

，那么总电流要么是：

\frac{1 V + 3 V}{R} = \frac{4 V}{R}

或

\frac{1 V}{R} + \frac{3 V}{R} = \frac{4 V}{R}

电阻有缩放性（因此它也有可加性）。
电阻是一个线性元素。

对于一个现实的电阻，电压和电流是被限制的。如果功率

(i \cdot v)

超过了电阻的量程，它可能会过热导致变阻甚至燃烧。所以，真实世界的电阻只有在量程范围内是线性的。但是，一个理想电阻可以取任意

i

和

v

的值，因此理想电阻是线性的。

电容和电感是线性的吗？

电容和电感元件定律是：

i = C \frac{d v}{d t}

和

v = L \frac{d i}{d t}

一开始，也许这些等式看起来并不像是直线的表达式，但他们确实是。如果我们不只是看到

v

和

i

，而是把

d v / d t

和

d i / d t

都看做自变量，那么这就是一条直线。

i = f (\frac{d v}{d t}) = C \frac{d v}{d t}

和

v = f (\frac{d i}{d t}) = L \frac{d i}{d t}

当

i

为横轴，

i

为纵轴时，电容定律可以被画作一条直线。此时，电容线的斜率为

C

。

同样，如果用

d i / d t

表示横轴，

v

表示纵轴，电感定律也可以被看作为一条直线。电感线斜率为

L

。

理想电容和理想电感是线性的元素。

现在我们有三个，分别是：

R L C

。

用这些线性元件，我们可以创建许多有趣的电子功能。

二极管是非线性的装置

出于对比，我们现在稍微讲一下非线性装置。一个二极管是非线性的半导体装置。

我们以后会更多了解二极管。现在，我们来看一下一个非线性设备的例子 ——

i

v

曲线：

这个

i

v

曲线是二极管的微元。它显然不是一条直线，因此这根本就不是一个线性装置。它的非线性行为非常接近于其他的半导体，比如晶体管。

如果一个低于大约

0.6 V

的微电压被施加于二极管，那么此二极管不会产生。当电压刚刚大于

0.6 V

时，电流将会显著上升到一个相对大的数字。正常情况下，被检测到的最高的电压差不多在

0.75 V

左右（如果施加更多的电压，相对过大的电流将会使二极管过热）。

当你对二极管施加一个负电压的时候，电流将会非常接近于零。当这个电压达到一定的负值时，

V_{br}

——也就是击穿电压，此时电流在反向上将会变得很高。

- 50 V

的

V_{br}

是非常典型的。

为什么我们要重点学习线性？

答案：运算更简单！

由线性元素组成的电路可以被精确地求解。事实上，线性方程在数学领域有一整个独立的分支，叫做线性代数。

一些非常经典的例子：线性让科考夫定律成功运作，同时也让节点电压法和网孔电流法有一席之地。

非线性方程和非线性元素

一般来说，具有非线性行为的函数没有这些性质。我们还没有提出一个通用的方法来精确地解非线性方程/电路。

每种新型电路都需要特定于新电路的数学技术。计算非线性电路的通常方法是后退一步，使其至少在一个小范围内是线性的。这就是当你看到“分段线性逼近”或“小信号模型”这样的术语时所发生的情况。

其实我稍微有点夸张，有可能留下了“非线性元素真的好烂啊”的印象。其实它也不是一无是处。每一个半导体都是非线性的（二极管和晶体管）并且他们都在为我们做着重大贡献。工程师们对于非线性装置已经有了一个较好的理解并将他们投入了实际运营中；如果你能加把劲努力学习，那么你也可以。

总结

如果函数是线性的，那么该函数必须具有这些属性：

同质性（缩放性）：

f (a x) = a f (x)

可加性：

f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})

如果

x

和

a

都是实数（相对于向量或数列），这两个属性都是一回事，所以你只需要测试其中一个就好了。

由于电阻，电容，电感都有缩放性，他们都是线性元素。

对于线性的描述

如果输入被缩放了 $a$ ‍ 倍，那么其输出就将缩放 $a$ ‍ 倍。
分别求出两个输入的输出并求其和与求和两个输入后共同产生的输出都将产生相同的效果。

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