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主要内容

网格电流法

网格电流法通过对电路回路中电流的基尔霍夫电压定律进行求解。

介绍

网孔电流法是也是一个完备的解电路的方法。 (还有一个是节点电流法。) 和其它的电路分析一样,我们需要解一个包含 2E 个独立方程的方程组,其中 E 是电路元件的数量。网孔电流法能更有效地处理电路分析的任务,相对减少需要解的方程数量。
网孔电流法是基于 基尔霍夫电压定律 (KVL)。
回路电流法 是网格电流法的一个小变种。

回路和网孔

网孔电流法里包括两个术语:回路网孔
回路 是在电路里面任意一个闭合路线。若想画出一个回路,可以在任何一个部件的端点开始,然后沿着连接的元件一直描回到起点。一个回路只能经过一个元件一次(避免 8 字形的回路)。在上面的电路中,总共有三个回路,回路 III 由实线标出, 最外圈的回路 III 由虚线标出。
假如我们以顺时针方向来画回路,那么电路中的这三个回路经过
回路 I:V1 - R1 - R3回路 II:R3 - R2 - V2回路 III: (虚线)V1 - R1 - R2 - V2
网孔 是一种特殊的回路:网孔是一个不包含其它回路的回路。在上面的电路中,回路 III网孔,因为它们里面没有更小的回路。虚线的回路不是网孔,因为它内含了两个其它的回路。
在网孔电流法中,我们使用电路的网孔来得到 KVL 式子。

回路电流

现在我们定义一个新的术语:回路电流。(也可称为 网孔电流。)一直到现在,我们所讨论的电流都是 元件电流 (通过一个元件的电流)。 当我们讨论 回路电流 时,我们假设一个经过整个回路的电流。虽然这个概念有些奇怪,但请继续看下去。在下面的电路中,我们来定义通过网孔 III 回路电流 iIiII,用箭头方向表示正向。
很明显,iI 是经过电源 V1 和电阻 R1 的电流。同理,iII 是经过电阻 R2 和电源 V2 的电流。但是 R3 内的电流时什么情况?
我们再仔细看看位于中间支路的 R3。经过 R3 的元件电流是什么?
根据绘制的回路电流来看,两个电流都经过 R3,但是方向相反。有这种可能吗?答案是可以的,因为我们可以使用一个非常重要的概念:叠加定理

叠加定理

叠加 指的就是 普通加法。对于 R3,我们使用叠加定理可以得知 iIiII 之和便是通过电阻 iR3 的电流。
+iR3=+iIiII
两个回路电流 叠加 起来得到 R3 中的电流。 回路电流 iI 的方向和支路电流 iR3 的方向相同,所以在叠加式子中是 + 号。回路电流 iII 指向相反的方向,所以在式子中是 号。

线性

我们可以使用叠加定理的原因是一个理想的电阻是 线性 的。对于一个理想电阻,线性的意思是:假如我们将电压乘以一个常数 a,那么电流将同样被乘以相同的常数 a
v=iR
av=aiR
对于一个现实生活中的电阻,a 的大小会有一定限制以防电阻着火。但对于一个理想电阻来说,任何 a 都有效,所以一个理想电阻是线性的。
线性意味着我们使用叠加定理。叠加定理意味着可以在一个电路元件中里通过多个回路电流。有多个回路电流意味着我们可以使用回路电流作为我们的独立变量。这意味着我们可以使用回路电流法来解电路!
如果想了解更多关于线性的概念,看看 这篇线性文章.

回路电流练习

问题1
求元件的电流 iRx.
iRx=
mA

题二
求元件的电流 iRy.
iRy=
mA

我们即将介绍的网孔电流法只在 平面 电路中(可以在不交叉电线的情况下在平面里画出)有效。你将遇到的大部分电路都是平面的。假如电路 不是平面的 (只能通过交叉电线来画出),那么这个方法需要一些改动,并且被称为回路电流法。两种方法的大部分步骤都相同,所以我们先来学习用于平面电路的网孔电流法。我们将在 回路电流法的文章 里更多地讨论回路电流法。

网孔电流法

网孔电流法是基于通过网孔的回路电流。我们通过以下步骤来分析:
  • 找到网孔(电路中的窗户)
  • 给每一个网孔分配一个电流变量,电流方向要统一(顺时针或逆时针)。
  • 根据每个网孔来写 KVL 式子。
  • 解方程组来求得所有网孔电流。
  • 使用欧姆定律来求得其它的元件电流和电压。
下面是我们用来展示网孔电流法的电路。

找到网孔

电路中有两个网孔。我们将回路电流命名为 iIiII。这将是我们的独立变量。注意:回路电流的方向相同,都是顺时针方向。
给每一个网孔都定义一个回路电流,那么你将会有足够的式子来解电路。

根据每个网孔写基尔霍夫电压定律(KVL)。

网孔电流法的重要技巧 - 多作草稿!

在开始写 KVL 式子之前,我们先根据电流和电压方向的惯例标明元件的电压(用橙色的 +)以及元件的电流(绿色箭头)。我们还用额外的蓝色箭头来标明回路方向。
  • 先(在标明电压之前)标明元件的电流。最好能让这些电流的方向和最近的回路电流的方向一致。当然这不是一定能完成的;很明显,在这个例子中, iII 的方向与 1kΩ 电阻的电流方向正相反。 但你不用在意,最终答案会解决这些。
  • 然后,在电流进入元件处标明 + 号(根据电流和电压方向的惯例)。
现在我们可以根据 KVL 给每个网孔写一个式子(设每个网孔的电压的和为零)。我们通过以下方法在式子里添加电压:
  • 当你经过一个电源时,直接在式子中加上电压的数值。
  • 当你经过一个电阻时,用电阻 × 回路电流来得到电压。这就是运用欧姆定律。
  • 假如两个回路电流经过同一个部件,则在欧姆定律中使用两者之差。

写出网孔 I 的式子的详细步骤

我们从图的左下角开始,然后以顺时针方向走过整个网孔 I
  • 我们经过的第一个元件是一个 5V 电源。我们先经过电源的橙色 号。这表明在经过电源后我们会得到一个电压的 提升。因为是提升,所以在式子里是 + 号,也就是 +5V
网孔 I :+5V
  • 我们经过的第二个元件是一个 2kΩ 电阻。电阻两段的电压是 2kΩiI(利用欧姆定律)。这个电阻的电流方向和回路电流 iI 的方向相同。橙色的 + 号表示我们在经过该部件后会得到一个电压的 下降 ,所以该项在式子里是 号,也就是 2000iI
网孔 I :+5V2000iI
  • 下一个部件是一个 1kΩ 电阻。有两个回路电流通过它: iIiII。通过电阻的净电流时 (iIiII)。因此,电压是 1kΩ(iIiII)。 我们在经过该部件之前的橙色 + 表示我们在经过该部件后会得到一个电压的 下降,所以该项在式子里是 号,也就是 1kΩ(iIiII)
网孔 I :+5V2000iI1000(iIiII)
  • 我们已经走完整个网孔 I,最后我们只要设所有电压之和为零就可以了。
网孔 I :+5V2000iI1000(iIiII)=0
网孔 I 的 KVL 项的总结:

写出网孔 II 的式子的详细步骤

我们从 1kΩ 电阻的下面开始,以顺时针方向走过整个网孔。
  • 第一个元件是 1kΩ 电阻,有两个回路电流通过。通过电阻的净电流是 (iIiII)。由于我们从下面的橙色 号开始经过电阻,在经过该电阻之后会得到一个电压的 提升 ,所以式子里的项是 +1000(iIiII)
网孔 II :+1000(iIiII)
  • 下一个部件是右上角的 2kΩ 电阻,通过的电流只有 iII 。这是一个电压的下降,所以在式子里的项应是 2000iII
网孔 II :+1000(iIiII)2000iII
  • 最后我们经过的是 2V 的电源。我们只需用其电压值就行了。在经过该电源后,我们会得到一个电压的 下降,所以式子里的项应是 2V
网孔 II :+1000(iIiII)2000iII2V
  • 最后我们将网孔的电压和设为零,
网孔 II :+1000(iIiII)2000iII2V=0
网孔 II 的 KVL 项的总结:

解网孔方程组来得到电流

我们从上得到的网孔式子:
网孔 I :+5V2000iI1000(iIiII)=0
网孔 II :+1000(iIiII)2000iII2V=0
现在开始解方程。先将括号展开,然后将常数项移到右边,
网孔 I :2000iI1000iI+1000iII=5
网孔 II :+1000iI1000iII2000iII=+2
合并同类项,
网孔 I :3000iI+1000iII=5
网孔 II :+1000iI3000iII=+2
我们将第二个式子乘以 3 然后加到第一个式子里来消除 iI 项。网孔 II 的式子在做乘法之后,
网孔 II :3×[+1000iI3000iII=+2]=[+3000iI9000iII=+6]
现在将两式相加,iI 会被消除掉,我们就只有 iII 项了,
网孔 I :+[3000iI+1000iII=5]网孔 II :+[+3000iI9000iII=+6]和 : 8000iII=+1iII=+18000iII=0.125mA
回路电流 iII 是负的,表明电流的方向和蓝色箭头的方向相反。
我们知道了一个回路电流。现在我们可以将此值代入任意一个式子来得到另一个电流。我们来用回路 I 的式子,
3000iI+1000iII=5
3000iI+1000(0.125mA)=5
3000iI=5+0.125
iI=4.8753000
iI=+1.625mA
我们已经解得了两个回路电流。现在我们可以求得元件的电流和电压了。

求其它的元件电流和电压

对于只有一个回路电流通过的元件,我们可以立即知道其元件电流和回路电流相等。
i2kΩ 左=+iI=+1.625mA
i2kΩ 右=+iII=0.125mA
1kΩ 电阻有两个回路电流通过,所以我们使用叠加定理来得到其元件电流,
i1kΩ=iIiII=+1.625mA(0.125mA)=+1.75mA
最后我们可以通过对 1kΩ 电阻使用欧姆定律来得到三个电阻之间的节点的电压,
v1kΩ=1kΩ1.75mA=1.75V
完成了!我们使用网孔电流法分析了一个电路。

方法选择

现在我们有两种有效的方法来分析电路:节点法和网孔电流法。那么在什么情况下哪种方法更好用呢?在两种方法中做选择前,先数电路中的网孔数,然后和节点数比哪个更少。通常来说,最好选择能产生更少式子的方法。加入网孔和节点的数量一样,或者差不多一样,那么你可以选择你最了解的方法。

总结

网孔电流法是在解电路时替代节点电压法的。
网孔电流法的步骤是,
  • 找到所有网孔。
  • 以统一的方向(顺时针或逆时针)给每一个网孔都分配一个电流变量。
  • 给每一个网孔写 KVL 式子。
    • 电源在式子里为其电压值。
    • 电阻的电压为 R×i
    • 假如两个回路电流在一个电阻内相向而行,则电压是 R×(i1i2)。(若两个电流方向相同,则应使用加号。)
    • 将电压和设为零。(若对这方面还有疑问,请阅读这篇 KVL 文章。)
  • 通过解方程组来求得所有回路电流。
  • 使用欧姆定律来求得所需的元件电流或电压。
如果电路不是平面的,或者在两个网孔中有共用电流源,那么最好使用 回路电流法

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