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主要内容

要求方程数

我们回答问题,“需要多少方程来解一个电路,它们从何而来?”

介绍

“解决电路问题”意味着解决联立方程组。
  • 我们要怎么知道解决电路问题所需要的方程数量呢?
  • 我们要怎么创建它们?
你学习电路分析时,创建的方程数量总是恰到好处,这看起来是幸运或者巧合。这篇文章会表明,分析方法总是会可靠地捕获解决电路问题所需的所有条件。

我们要做的是什么

要求解一个电路,我们要知道每一个元件的电压和电流,这意味着我们需要的独立方程数是电路中元件数量的两倍。
方程来自三部分:
  • 根据基本定律可以得到每个元件一半的方程。
  • 基尔霍夫电流定律给出 N1 个独立方程, 其中 N 代表节点数。
  • 基尔霍夫电压定律给出 E(N1) 个独立方程, 其中 E 代表元件数。
把他们加在一起,就可以得到全部方程。

我们得出的结果在不同的电路分析方法里都有:
直接跳转到这些方法再回到这儿是没有问题的。

求解电路问题需要多少独立方程式?

这是为确定完成电路分析所需工作的关键问题,我将会向你展示这些方程怎样从两个部分产生:电路元件和元件之间如何连接彼此。
电路中电流和电压的三个约束是:
  • i-v 元件特性约束
  • 基尔霍夫电流定律
  • 基尔霍夫电压定律
你所写的方程组具有这些约束关系。
当我们用抽象的术语来讨论这个问题时,我们还将使用一个具体的电路示例。
如我们学习代数中求解联立方程式时,你要求解的独立方程式数量等于未知数的数量。所以,如果你的方程组有10个未知数,你需要10个方程组去求这10个未知数。一个电路会有多少个未知数?每个两端元件会有一个未知电压和未知电流。所以,E 个元件有 2E 个未知数。因此:
求解 E 个元件的电路需要含有 2E 个独立方程的方程组。

概念检查

看看你是否可以回答关于我们示例出的电路的问题。
电路中有多少元件?
E=
个。

电路中有多少个节点?
N=
个。

电路中有多少个回路?
个。

有多少回路是网孔回路?
个。

我们为求解这个电路需要几个方程?
个。

2E个方程从何而来?

答案:一半来自单独的元件,另一半来自 KCL 和 KVL。

一半方程来自基本定律

想象一下没有连接的电路元件散落在桌面上。
每一个元件的电流和电压都是未知的:
每个元素都带有一个 i-v 等式。 我喜欢把电路元件看作是一小块数学关系式。
这些 i-v 关系表示 E 个独立方程,占所需总数的一半。

剩下的 E 个方程从何而来?

剩下的 E 个方程来自电路暗含的约束。电路连接在一起,并限制单个元件的电流和电压。我们可以通过基尔霍夫电流定律(KCL)和基尔霍夫电压定律(KVL)推导出 E 个连接方程。
假设电路有 E 个元件和 N 个节点。
我们的示例电路有 E=5 个元件(支路)和 N=3 个节点。同时,我们知道电路有6个回路,其中3个是网孔回路。
3个节点和6个回路使再写出 E=5 个方程的方法很多,但我们要小心,我们生成的方程必须保证相互独立。

什么是独立方程

如果一个方程不能由系统中其他方程的线性组合导出,则该方程是线性独立的。线性组合是任何加、减、乘常数操作的序列,当你试图推导剩下的方程时,你可以用它们来组合方程。

KCL 会提供多少个独立方程?

我们可以在电路的每个节点写上 KCL 方程,生成 N 个方程。但是不是所有 N 个 KCL 方程都是独立的。其中一个是多余的,我们总是可以从其他方程推导出它来,所以总有一个相关方程不能提供任何新信息,是不被需要的。
我们只能根据 KCL 写下 N1 个独立方程。对于忽略的节点要做出选择。通常,我们会忽略地面节点,因为它最复杂(连接数最多)。
总结:KCL 提供 N1 个独立方程。
还剩下 E(N1) 个方程。

KVL 提供多少个独立方程?

写下 KCL 的 N1 个方程之后,我们仍需要写出 E(N1) 个方程。在示例电路中,我们需要写出5(31)=3个方程。它们从哪儿来?它们通过在电路回路中使用 KVL 而来。
图形理论告诉我们两件好事:
  • KVL 正好生成 E(N1) 个方程。
  • E(N1) 正是网孔的数量。
所以得到 KVL 方程数的最简单的方法就是数网孔的数量。
示例电路有3个网孔,所以我们立刻明白要写3个 KVL 方程;不会多也不会少。电路有6个回路(包括3个网孔),因此有很多方法可以写出我们需要的方程式。

确保 KVL 方程是独立的

我们需要 KVL 方程是独立的,应该怎么做呢?
最简单的方法:如果我们限制自己只写网孔相关的 KVL 方程:
网孔会保证生成独立方程。
如果我们想要(或者必须)包含非网孔回路的方程,那么需要更加小心地确保它们是独立的。确保回路独立的一种方法是:
确保每个回路包含一个不属于其他任何回路的元件。
在示例电路中,我们需要从6个可用回路中选出3个独立 KVL 方程。让我们看看这个回路图:
如果我们选择网孔 IIIIII,这就对了!网孔生成的方程数量是正确的,并被确保是独立的。这就很容易,因为网孔易于辨别。这是网孔的电流法的基础。
示例电路中的另一组有效回路是 IVVVI。为什么这可能是一个好的组合?
  • 3个方程,符合 E(N1)=3 的要求。
  • 每个元件都在一个回路中。
一些回路集并不符合标准,你知道为什么吗?
  • IVVI
  • IVV
  • IIIIIIVI
写非网孔回路方程需要格外注意,但有时你会想用某一个回路,或者被迫使用。不要回避使用回路,三思后行就好。

总结

电路中的电流和电压有三种约束:
  • i-v 元件特性约束
  • 基尔霍夫电流定律
  • 基尔霍夫电压定律
你所写的方程组具有这些约束关系。
对于有 E 个元件和 N 个节点的电路:
  • 你需要:
    • 2E 个独立方程来求解电路。
  • 已知:
    • 元件特性的 E 个方程(欧姆定律及其他)。
    • KCL 的 N1 个独立节点方程。
    • KVL 的 E(N1) 个独立回路方程。
  • E(N1) 正是网孔的数量,所以得到 KVL 方程数量的一个简单方法就是数网孔的数量。
  • 在网孔的基础上写 KVL 方程确保了 KVL 独立方程的数量正确。
  • 如果包含非网孔回路,如果每个回路至少有一个元件不在其他任何回路上,就确保它是独立的。

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