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电器工程

课程: 电器工程 > 单元 2

课程 4: 自然和强制反应

电容i-v方程

通过推导由电流源驱动的电容器上的电压来演示电容i-v方程。

电容器是理想电路元件之一。我们让电容器工作，看看电流和电压之间的关系。电容的i-v方程有两种形式:

i, equals, start text, C, end text, start fraction, d, v, divided by, d, t, end fraction v, equals, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, T, end superscript, i, start text, d, end text, t, plus, v, start subscript, 0, end subscript

start text, C, end text 是电容, 电容的物理属性。
start text, C, end text i和d, v, slash, d, t之间关系的比例因子。
start text, C, end text 确定给定数量的d, v, slash, d, t生成多少i。

v, start subscript, 0, end subscript是在t, equals, 0时跨电容的初始电压。

在本文中，我们将研究电容方程的积分形式。我们的示例电路是一个连接到1, mu, start text, F, end text 电容的电流源。

电流脉冲前、中、后的电压

假设我们对1, mu, start text, F, end text电容应用2, start text, space, m, A, end text 脉冲电流，时间为3毫秒。我们假设电容上的初始电压是零。

i(t)=\begin{cases}2 \text{ mA}&; ~~0 \lt t \lt 3\,\text{ms} \\ 0&; ~~ \text{其他时间}\end{cases}

start text, C, end text, equals, 1, mu, start text, F, end text

v, start subscript, 0, end subscript, equals, 0

电动势是多少，v, left parenthesis, t, right parenthesis？

我们使用电容方程的积分形式，将v, left parenthesis, t, right parenthesis解成三个独立的块:电流脉冲之前、期间和之后。

之前的脉冲

在当前脉冲left parenthesis, t, is less than, 0, right parenthesis之前，没有电流流过，所以在start text, C, end text上没有电荷累积。因此，v, start subscript, left parenthesis, t, is less than, 0, right parenthesis, end subscript, equals, 0。我们甚至不用方程。

脉冲期间

在任何时间，T在当前脉冲期间left parenthesis, 0, \lt, t, \lt, 3, start text, m, s, end text, right parenthesis，充电在start text, C, end text上累积，电压上升。我们可以用电容方程来求v 的变化，

v, left parenthesis, T, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, T, end superscript, i, start text, d, end text, t, plus, v, start subscript, 0, end subscript

因为i在这段时间内是常数，我们可以把它提出来。我们也可以忽略v, start subscript, 0, end subscript，因为它是0。

v, left parenthesis, T, right parenthesis, equals, start fraction, i, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, T, end superscript, start text, d, end text, t

v, left parenthesis, T, right parenthesis, equals, start fraction, i, divided by, start text, C, end text, end fraction, t, vertical bar, start subscript, 0, end subscript, start superscript, T, end superscript

v, left parenthesis, T, right parenthesis, equals, start fraction, i, divided by, start text, C, end text, end fraction, T, start text, 伏, end text

这是斜率为i, slash, start text, C, end text的直线的方程，在当前脉冲期间的任何时间都有效。斜率是:

start fraction, i, divided by, start text, C, end text, end fraction, equals, start fraction, 2, times, 10, start superscript, minus, 3, end superscript, start text, A, end text, divided by, 1, times, 10, start superscript, minus, 6, end superscript, start text, F, end text, end fraction, equals, 2000, start text, 伏, slash, 秒, end text

脉冲结束时，T, equals, 3, start text, m, s, end text，电容两端电压上升到:

v, start subscript, left parenthesis, T, equals, 3, start text, m, s, end text, right parenthesis, end subscript, equals, 2000, start text, 伏, slash, 秒, end text, dot, 0, point, 003, start text, s, end text, equals, 6, start text, 伏, end text

脉冲之后

在脉冲left parenthesis, 3, start text, m, s, end text, \lt, t, right parenthesis之后——电流下降到0，因此电容上的电荷停止累积。因为没有电荷移动，我们应该期望电压不变。我们可以在启动时应用电容方程在启动时间t, equals, 3, start text, m, s, end text，以及启动电压v, start subscript, 3, start text, m, s, end text, end subscript, equals, 6, start text, V, end text来确认这一点。

v, equals, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, start subscript, 3, start text, m, s, end text, end subscript, start superscript, T, end superscript, 0, start text, d, end text, t, plus, 6, equals, 6, start text, 伏, 特, end text

电流已经停止，所以电荷保持不变，电容电压保持在6, start text, V, end text。

将三个块组装在一起得到v, left parenthesis, t, right parenthesis,

您可以自己试试。调整当前脉冲的大小和持续时间(start color #1fab54, start text, 绿, 色, end text, end color #1fab54 点)。

有多少种方法可以实现4, start text, V, end text的结束电压?
如果当前脉冲变为负值，v, left parenthesis, t, right parenthesis会发生什么

这种电路配置(驱动电容器的电流源)有一个昵称，它被称为积分器。

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