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主要内容

电器工程

课程: 电器工程 > 单元 2

课程 4: 自然和强制反应
科学
电器工程
电路分析
自然和强制反应
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LC自然响应-推导

Google课堂
LC自然响应的形式推导，在这里我们发现了振荡的频率。
我们推导了电感电容的自然响应，start text, L, C, end text电路。
电感器和电容器是并联的。
这就是正弦波产生的地方

背景

本文将逐步介绍一个2阶微分方程的解。 我不要求你以前有过这类方程的经验。Sal先生也有关于二阶方程的视频。1阶微分方程已经在关于 start underline, start text, R, C, end text, end underline 和 start underline, start text, R, L, end text, end underline 自然反应的文章中逐步求解 。 你也可以看看Sal关于 一阶微分方程的视频。

我们要做的是什么

start text, L, C, end text电路的自然响应由这个齐次二阶微分方程描述:
start text, L, end text, start fraction, d, squared, i, divided by, d, t, squared, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, i, equals, 0
电流的解法是：
i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, square root of, start fraction, start text, C, end text, divided by, start text, L, end text, end fraction, end square root, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, sine, omega, start subscript, circle, end subscript, t
其中omega, start subscript, circle, end subscript, equals, square root of, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, end square root是start text, L, C, end text电路的固有频率，start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript是电容上的起始电压。
在电气工程中，我们使用字母 j 作为 square root of, minus, 1, end square root。
（字母i已经被用作电流。)

介绍

一阶系统

start text, R, C, end text电路的自然响应，由1阶微分方程描述。
到目前为止，我们一直都在看一阶电路, start underline, start text, R, C, end text, end underline 和 start underline, start text, R, L, end text, end underline, 它们只有单个储能元件, start text, C, end text 或者 start text, L, end text。一阶电路的自然响应具有指数形状，并“下降”到其最终值。它的存储元件中的能量被电阻器耗散了。

二阶系统

现在我们来看一个有两个储能元件而没有电阻的电路。含有两个存储元件的电路是二阶系统，因为它们产生二阶导数方程。
本文介绍了start text, L, C, end text电路，这是我们将用全微分方程处理来解决的最后两个电路之一。得到这种处理的最后一个电路是start text, R, L, C, end text(在下一篇文章中)。微分方程的数学越来越难。幸运的是，在使用了start text, L, C, end text和start text, R, L, C, end text之后，我们学习了一个非常好的快捷方式来简化我们的工作。
我们坚持用微分方程而不是直接走捷径因为我想向你们展示正弦波在电子学中的来源。正弦波从二阶方程的解中出现。正弦波很重要。它们是所有其他类型信号的基本构成要素。
二阶系统是第一个在时间上前后摇摆的系统，或者说是*振荡系统 *。机械二阶系统的经典例子是一个带有钟摆的时钟。在电子技术中，经典的二阶系统是start text, L, C, end text电路。

自然响应

我们想找到start text, L, C, end text电路的自然响应。自然响应是电路在没有外力时所做的事情。自然响应一直是电路总响应的重要组成部分。

2阶电路的自然响应

为了得到自然响应的精确答案，让我们用一些初始能量来建立电路。组件被小心地根据被动组件的符号约定而标记。电感器的初始电流为 0, start text, A, end text，因为开关是从开着的位置开始的。我们假设电容器在开关关闭前有一个初始电压， v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, minus, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript。( 注意 v, start subscript, start text, C, end text, end subscript的底部有一个plus符号。)我们让开关在t, equals, 0时关闭。
和每一个电路分析一样，我们从基尔霍夫定律开始。在这种情况下，我们将按照基尔霍夫电压定律(KVL)围绕着线圈，从左下角开始，顺时针方向旋转。
v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, plus, v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, 0
start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, i, d, t, equals, 0
这个KVL方程包含一个积分，处理起来很棘手。去掉积分(也称为不定积分)的方法是对它求导。我们对方程中的每一项求导。
start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, i, d, t, right parenthesis, equals, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, 0
这给出了start text, L, end text项的二阶导数，去掉了1, slash, start text, C, end text项中的积分，右边仍然剩下0。
start text, L, end text, start fraction, d, squared, i, divided by, d, t, squared, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, i, equals, 0
如果第一项没有系数，方程就更整洁了，所以我们除以start text, L, end text。这个二阶微分方程抓住了电路的本质。
start fraction, d, squared, i, divided by, d, t, squared, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, i, equals, 0

提出解决方案

当我们解出一阶的start text, R, C, end text和start text, R, L, end text电路时，我们猜测出了i, left parenthesis, t, right parenthesis的指数解。猜测也适用于二阶方程。二阶方程有类似的要求:我们想让函数和它的导数看起来像，这样它们加起来就是0。指数函数符合描述。我们提出了一个参数可调的指数函数:
i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, e, start superscript, s, t, end superscript
K是一个放大或缩小当前值的振幅因子。
s 在时间t旁边的指数上。由于指数没有维数，所以s的单位必须是1, slash, t，也称为频率。由于我们在求解一个自然响应，s被称为自然频率。
现在我们把我们提出的函数代入微分方程看看它是否成立。
start fraction, d, squared, i, divided by, d, t, squared, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, i, equals, 0
start fraction, d, squared, divided by, d, t, squared, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, equals, 0
我们对第一项求导。一阶导数为:
start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, equals, s, K, e, start superscript, s, t, end superscript
现在是二阶导数:
start fraction, d, squared, divided by, d, t, squared, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, equals, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, s, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, equals, s, squared, K, e, start superscript, s, t, end superscript
我们把新的二阶导数代回方程:
s, squared, K, e, start superscript, s, t, end superscript, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, 0
然后做一些因式分解，把K, e, start superscript, s, t, end superscript移到一边:
K, e, start superscript, s, t, end superscript, left parenthesis, s, squared, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, right parenthesis, equals, 0
有多少种方法可以使这个方程成立?
K, equals, 0很无聊。0, equals, 0,谁在乎呢?
e, start superscript, s, t, end superscript在有限的时间内永远不会变为零。
那么余下的解，当(s, squared, plus, 1, slash, start text, L, C, right parenthesis, end text等于 0:
s, squared, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, equals, 0
这个方程叫做我们电路的特征方程。我们要找出特征方程的根(使左边等于零的s 的值)。
s, squared, equals, minus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction
哇，看看会发生什么。我们要取一个负数的平方根。我们要得到一个虚数。
s有两个可能的值:
s, start subscript, 1, end subscript, equals, plus, j, square root of, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, end square root
s, start subscript, 2, end subscript, equals, minus, j, square root of, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, end square root
电气工程师用字母j表示虚数单位，square root of, minus, 1, end square root，因为我们已经用i表示电流。
作为一种简写，我们给平方根项起了一个名字:
omega, start subscript, circle, end subscript, equals, square root of, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, end square root
特征方程的根可用omega, start subscript, start text, o, end text, end subscript表示:
s, start subscript, 1, end subscript, equals, plus, j, omega, start subscript, circle, end subscript
s, start subscript, 2, end subscript, equals, minus, j, omega, start subscript, circle, end subscript
你觉得怎么样! start text, L, C, end text电路产生了两个复数的自然频率，s, start subscript, 1, end subscript和s, start subscript, 2, end subscript。其中一个自然频率还是负的。如此好奇！这将会变得非常有趣。
s, start subscript, 1, end subscript或者s, start subscript, 2, end subscript本身就是方程的根。对于我们提出的解决方案，我们允许同时使用自然频率s, start subscript, 1, end subscript和s, start subscript, 2, end subscript。我们把通解写成两项的线性组合，两项可调常数K。
i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, start subscript, 1, end subscript, e, start superscript, plus, j, omega, start subscript, circle, end subscript, t, end superscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, j, omega, start subscript, circle, end subscript, t, end superscript
这时你可能会想，“复指数?负面的频率?这真的发生了吗?”答案是肯定的。所以当我们学习这些表达式的时候，请坚持住。

欧拉恒等式

要处理这些复指数，我们需要用到一个重要的恒等式。
对 e, start superscript, j, x, end superscript, sine, j, x, 和 cosine, j, x 使用麦克劳林级数展开式，可以推导出这些欧拉公式:
e, start superscript, plus, j, x, end superscript, equals, cosine, x, plus, j, sine, x
e, start superscript, minus, j, x, end superscript, equals, cosine, x, minus, j, sine, x
在链接的视频中，任何时候Sal说i，我们就说j。
这些恒等式能让我们把奇怪的e, start superscript, 虚, 数, end superscript转换成一个正常的复数。实部和虚部来自于cos或sin函数，所以实部和虚部都在minus, 1到plus, 1之间。

使用欧拉恒等式

我们可以在我们提出的解中使用欧拉恒等式。
i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, start subscript, 1, end subscript, e, start superscript, plus, j, omega, start subscript, circle, end subscript, t, end superscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, j, omega, start subscript, circle, end subscript, t, end superscript
i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, cosine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, plus, j, sine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, right parenthesis, plus, K, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, cosine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, minus, j, sine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, right parenthesis
乘以常数:
i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, start subscript, 1, end subscript, cosine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, plus, j, K, start subscript, 1, end subscript, sine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, plus, K, start subscript, 2, end subscript, cosine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, minus, j, K, start subscript, 2, end subscript, sine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, comma
把余弦项和正弦项集合起来:
i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, cosine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, plus, j, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, minus, K, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, sine, omega, start subscript, circle, end subscript, t
我们不知道K, start subscript, 1, end subscript或K, start subscript, 2, end subscript，也不知道它们的和或差。用不同的未知的A替换未知的K似乎是完全可以的，只是为了让事情看起来简单一些。
如果我们让 A, start subscript, 1, end subscript, equals, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, 以及 A, start subscript, 2, end subscript, equals, j, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, minus, K, start subscript, 2, end subscript), 那么 i, left parenthesis, t, right parenthesis 是:
i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, A, start subscript, 1, end subscript, cosine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, plus, A, start subscript, 2, end subscript, sine, omega, start subscript, circle, end subscript, t
我们用欧拉恒等式把复指数重新排列成三角函数的和。这个方程是我们第一次在电子学中看到正弦或余弦是时间的函数(正弦波形)。
(注意我们如何定义A, start subscript, 2, end subscript来包含j, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, minus, K, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis，因此j不再直接出现在建议的解决方案中。)

测试提议的解决方案

接下来，我们通过把它代入二阶微分方程来检验我们提出的解。如果我们能找到使微分方程成立的常数的值，那么所提出的解就是赢家。

找出初始条件

二阶电路所需的初始条件比一阶电路要复杂一些。当我们对一阶电路start text, R, C, end text或start text, R, L, end text这样做时，我们必须知道一个单独的值，一个起始电流或电压。对于二阶的start text, L, C, end text电路，我们需要知道两件事情:电流和开关关闭时电流的导数。
电路条件就在开关关闭之前，在t, equals, 0, start superscript, minus, end superscript。
我们写下我们所知道的关于t, equals, 0, start superscript, minus, end superscript(开关关闭前的那一刻)的一切:
  • 开关打开，因此i, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, 0
  • 指定启动电容电压:v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, minus, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript。
如果t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript是开关关闭后的时刻，我们的目标是找到i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis和d, i, slash, d, t, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis。
我们知道电感和电容的一些特性，这些特性将使我们从t, equals, 0, start superscript, minus, end superscript到t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript:
  • 电感器电流不会瞬间产生变化，所以
    i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, i, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, 0
  • 电容器电压也不会瞬间产生变化，所以
    v, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, v, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript
(开关关闭后只有一个v，所以从现在开始我们就叫它v。)
电路条件在开关关闭后，在t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript。现在只有一个电压，v, equals, v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, equals, minus, v, start subscript, start text, C, end text, end subscript。电容器上的初始电压为v, equals, plus, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript。
现在我们有i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis，但还没有d, i, slash, d, t, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis。我们从哪里得到这个导数?那么电感器的i-v 方程呢?
v, equals, start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction
start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, start text, L, end text, end fraction, v, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis
start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, start text, L, end text, end fraction, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript
现在我们有第二个初始条件。这表示开关关闭后，电感器中的电流开始以每秒start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, slash, start text, L, end text 安培的斜率变化。

初始条件的摘要

i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, 0
start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, start text, L, end text, end fraction, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript

使用初始条件找到A, start subscript, 1, end subscript和A, start subscript, 2, end subscript

我们用初值条件一次一个地解出常数。第一个初始条件是i, equals, 0 在 t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript。让我们把它代入到提议的解决方案中，看看它会把我们带到哪里:
i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, A, start subscript, 1, end subscript, cosine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, plus, A, start subscript, 2, end subscript, sine, omega, start subscript, circle, end subscript, t
0, equals, A, start subscript, 1, end subscript, cosine, left parenthesis, omega, start subscript, circle, end subscript, dot, 0, right parenthesis, plus, A, start subscript, 2, end subscript, sine, left parenthesis, omega, start subscript, circle, end subscript, dot, 0, right parenthesis
0, equals, A, start subscript, 1, end subscript, cosine, 0, plus, A, start subscript, 2, end subscript, sine, 0
10=A1cos⁡00+ A2sin⁡0\begin{array}{r} 1 \\ 0=A_1\cancel{\cos 0} \end{array} \begin{array}{r} 0 \\ + \,A_2 \cancel{\sin 0} \end{array}
0, equals, A, start subscript, 1, end subscript
A, start subscript, 1, end subscript = 0，所以提出的cos项就消去了。我们现在提出的解决方案是:
i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, A, start subscript, 2, end subscript, sine, omega, start subscript, circle, end subscript, t
现在我们用第二个初始条件来求A_2。i在t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript处的导数为:
start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, start text, L, end text, end fraction, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript
对提议的i, left parenthesis, t, right parenthesis求导:
start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, equals, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, A, start subscript, 2, end subscript, sine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, right parenthesis
start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, equals, omega, start subscript, circle, end subscript, A, start subscript, 2, end subscript, cosine, omega, start subscript, circle, end subscript, t
在t, equals, 0时对表达式求值:
start fraction, 1, divided by, start text, L, end text, end fraction, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, equals, omega, start subscript, circle, end subscript, A, start subscript, 2, end subscript, cosine, left parenthesis, omega, start subscript, circle, end subscript, dot, 0, right parenthesis
start fraction, 1, divided by, start text, L, end text, end fraction, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, equals, omega, start subscript, circle, end subscript, A, start subscript, 2, end subscript, dot, 1
A, start subscript, 2, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, omega, start subscript, circle, end subscript, start text, L, end text, end fraction, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript
我们可以将omega, start subscript, circle, end subscript扩展为start text, L, end text和start text, C, end text来获取:
A, start subscript, 2, end subscript, equals, square root of, start fraction, start text, C, end text, divided by, start text, L, end text, end fraction, end square root, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript
最后，经过大量的努力，目前的解决方案是:
i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, square root of, start fraction, start text, C, end text, divided by, start text, L, end text, end fraction, end square root, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, sine, omega, start subscript, circle, end subscript, t

实际值

为了演示解决方案是什么样子的, 我们为组件赋值 start text, L, end text, equals, 1 亨利及 start text, C, end text, equals, 1, slash, 4 法拉, 电容上的起始电压为 10, start text, V, end text.
自然频率，omega, start subscript, circle, end subscript为:
omega, start subscript, circle, end subscript, equals, square root of, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, end square root, equals, square root of, start fraction, 1, divided by, 1, dot, 1, slash, 4, end fraction, end square root, equals, 2, start text, 弧, 度, slash, 秒, end text
电流作为时间的函数为:
i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, square root of, start fraction, start text, C, end text, divided by, start text, L, end text, end fraction, end square root, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, sine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, equals, square root of, start fraction, start text, 1, end text, slash, 4, divided by, 1, end fraction, end square root, 10, sine, omega, start subscript, circle, end subscript, t
i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 5, sine, 2, t
开关关闭时电流开始:
电流以一种永远持续的正弦波模式起飞。(在这个理想的电路中没有电阻，所以能量永远不会消散。在真实的电路中，会有小的电阻，最终会耗散能量。)
正弦波的固有频率是omega, start subscript, circle, end subscript, equals, 2, start text, 弧, 度, end text, slash, start text, 秒, end text。我们可以将弧度/秒转换为周期/秒，(也称为赫兹，或start text, H, z, end text)，因为知道sin函数的整个周期的1对应于2, pi 弧度。我们通常用符号f表示每秒的循环数。转换:
omega, equals, 2, pi, f
电路的固有频率，单位为周/秒，赫兹，start text, H, z, end text，为:
f, equals, start fraction, 2, start text, 弧, 度, slash, 秒, end text, divided by, 2, pi, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, pi, end fraction, start text, H, z, comma, end text
或者等价地，当前每pi秒完成一个完整的循环。

快速回顾一下初始条件

我们可以靠近原点看解是如何解释初始条件的。正弦波从原点开始，i, equals, 0。注意，靠近原点的蓝色正弦波的斜率与黑色直线i, equals, 10, start text, A, end text, slash, start text, 秒, end text的斜率是如何匹配的。

伏特，v, left parenthesis, t, right parenthesis

在这一点上我们已经解出了电流。如果你想继续，试着解出电压，v(t)
求出开关关闭后，v, left parenthesis, t, right parenthesis 的表达式。
也许最快的方法是用电感器i-v方程来解出用d, i, slash, d, t表示的v。
v, left parenthesis, t, right parenthesis, equals

总结

我们首先创建这个齐次二阶微分方程，得到了start text, L, C, end text电路的自然响应:
start fraction, d, squared, i, divided by, d, t, squared, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, i, equals, 0
然后我们假设解的形式为K, e, start superscript, s, t, end superscript，得到电路的特征方程:
s, squared, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, equals, 0
在计算特征方程的根时，我们遇到了一个非常奇怪的表达式:e, start superscript, j, omega, start subscript, circle, end subscript, t, end superscript，一个具有复指数的指数。我们把手伸进自己的魔术包里，把它掏了出来:
欧拉恒等式
e, start superscript, plus, j, x, end superscript, equals, cosine, x, plus, j, sine, x
e, start superscript, minus, j, x, end superscript, equals, cosine, x, minus, j, sine, x
这些恒等式让我们把复指数表示成正弦和余弦函数的组合。(在电气工程中，我们使用字母j作为square root of, minus, 1, end square root的名称。)
然后我们仔细观察电路，找出初始条件。对于二阶系统，我们找到了初始i 和初始d, i, slash, d, t。
我们发现i, left parenthesis, t, right parenthesis的函数满足微分方程:
i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, square root of, start fraction, start text, C, end text, divided by, start text, L, end text, end fraction, end square root, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, sine, omega, start subscript, circle, end subscript, t
omega, start subscript, circle, end subscript, \equiv, square root of, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, end square root 是start text, L, C, end text电路的固有频率。
start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript是电容上的起始电压。
(在电感器初始电流为 0 的情况下，这个解适用。)

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