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电器工程

课程: 电器工程 > 单元 2

课程 4: 自然和强制反应

RC自然反应

RC电路的自然响应。R和C的乘积叫做时间常数。

电阻电容left parenthesis, start text, R, C, end text, right parenthesis 电路是我们可以创建和分析的第一个有趣的电路之一。了解这个电路的行为对学习电子学是至关重要的。这种电路的形式随处可见。有时你会故意创建这个电路，而另一些时候它会自动出现。

[自己？]

这是我们遇到的第一个需要考虑时间的电路。要发展精确的理解需要从微积分的方法。我们使用导数来描述start text, R, C, end text 电路。

我们想了解这个电路的自然响应。

我们要做的是什么

电阻-电容电路中，电容的初始电压为V, start subscript, 0, end subscript，电压将根据：

$v(t) = \text V_0\,e^{\displaystyle{\raise{.6em}{-t}\raise{.4em}{ /}\raise{.1em}{\text{RC}}}}$

其中start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript 为t, equals, 0时的电压。这叫做自然反应。

start text, R, C, end text电路的时间常数是 tau, equals, start text, R, end text, dot, start text, C, end text

我们将要研究的电路是电阻与电容串联的电路。这个电路对外加电压有什么反应？

首先，用直觉来预测会发生什么

本节中我们探索的电路:

我们想知道当我们来回翻转开关时，v, start subscript, start text, C, end text, end subscript(电容电压)会发生什么变化。

[命名电压和电流]

我们将逐一分析这些问题:

什么是v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, 电容上的电压

在开关翻转之前?
在开关翻转之后?
当开关弹回来后?

在开关翻转之前

我们从确定电路的初始状态开始分析，在发生任何变化之前。将开关置于下位，我们可以画出如下等效电路。v, start subscript, i, n, end subscript是0 伏， start text, R, end text的左端连接到start text, C, end text的底部。

让我们假设此时电路处于这种状态已经很长时间了，因此过去存储在电容器上的任何电荷都早已通过电阻耗尽，留下 q, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, 0。从这里我们知道跨电容的电压必须是0 伏，因为 v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, q, slash, start text, C, end text, equals, 0, slash, start text, C, end text, equals, 0。

由于电容的电压为0伏，所以电阻也为0，所以通过start text, R, end text的电流(以及通过电容的电流)为0安培。电路被称为处于稳定状态或静止状态或处于平衡状态。我们已经回答了第一个问题，“在开关翻转之前，通过start text, C, end text电压是多少?”

在开关翻转之后

现在把开关打开。电压v, start subscript, i, n, end subscript变成了start text, V, end text, start subscript, start text, B, A, T, end text, end subscript，有些东西即将发生变化。

电流开始从电池的正极流出，通过start text, R, end text和start text, C, end text。电荷积聚在电容器上。累积的电荷在电容器上产生一个上升的电压(v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, q, slash, start text, C, end text)。电压v, start subscript, C, end subscript变化的时间段称为暂态周期。

是什么阻止了v, start subscript, start text, C, end text, end subscript永远上涨?充电在电容器上累积，直到v, start subscript, start text, C, end text, end subscript上升到与电池电压相同的值:v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, start text, B, A, T, end text, end subscript。在这一点上，电阻上的电压为0 伏，所以电阻上的电流停止流动(欧姆定律)。这也意味着电流(电荷)停止流入电容器。电容上的电量停止变化，因此电容电压变为常数:v, start subscript, start text, c, end text, end subscript, equals, start text, v, end text, start subscript, start text, B, A, T, end text, end subscript。暂态时期已经结束。

我们已经回答了第二个问题，“在开关翻转之后，start text, C, end text上的电压是多少?”经过一段暂态时间后，电路将以v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, start text, v, end text, start subscript, start text, B, A, T, end text, end subscript为新的稳态。它一直呆在那里，直到有什么东西来打破这种状态。

在开关翻转回来之后

现在我们将再次翻转开关，将其返回到电池的负极(v, start subscript, i, n, end subscript, equals, 0)。现在发生了什么?

这和我们开始时的电路是一样的，但是这次start text, C, end text存储了一些电荷，所以它有一个起始电压。正因为如此，start text, R, end text现在在它的端子上有一个电压差。电压是v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, start text, v, end text, start subscript, start text, B, A, T, end text, end subscript此时开关翻转下来。因此，电流必须开始在start text, R, end text中流动(欧姆定律如是说)。提供此电流的电荷来自存储在start text, C, end text中的电荷。充电将继续进行，直到所有原先存储在start text, C, end text中的充电耗尽为止。v, start subscript, start text, C, end text, end subscript逐渐降到零电压。start text, R, end text之间的电压差也降为零。电路已恢复到原来的平衡状态。最后，我们回答了第三个问题，“当开关翻转回来时，start text, C, end text上的电压是多少?”

总结

仅凭我们的直觉，我们就知道电容电压，v, start subscript, start text, C, end text, end subscript，从0伏开始，上升到start text, V, end text, start subscript, start text, B, A, T, end text, end subscript，然后又回到0伏。换句话说，v, start subscript, start text, C, end text, end subscript从一个初始稳态，经过一个暂态到一个新的稳态，然后经过第二个暂态回到它的初始状态。我们知道每个瞬态的准确起始电压和终止电压。不错，但是……我们还不知道什么?我们不知道瞬态持续了多久，也不知道它们的形状。是时候进行一些微积分运算来得到一个精确而有用的解了。

start text, R, C, end text自然反应的形式推导

我们从最简单的情况开始。电路只是start text, R, end text和start text, C, end text连接在一起。“查找响应”是指查找start color #e07d10, v, end color #e07d10和start color #11accd, i, end color #11accd作为时间的函数。

为了让电路做点什么(而不仅仅是坐在那里)，我们在电容器上放一个初始电荷。这是由外部不可见的电路完成的。在增加了能量之后，我们放开手，看看电路自然地做了什么。假设电容被一个外部电路充电到某个初始电压start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript，这个外部电路刚刚断开。

我们将要得到的结果称为start text, R, C, end text电路的自然响应。自然响应是电路在有初始条件时所做的事情，但没有其他东西驱动电路。

为组件建模

电路中的start text, R, end text和start text, C, end text组件可以用它们的特征电压-电流方程来描述。

对于电阻，我们选择欧姆定律的一种形式:

i, start subscript, start text, R, end text, end subscript, equals, start fraction, v, divided by, start text, R, end text, end fraction

对应的电容器电压电流关系为:

i, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, start text, C, end text, start fraction, d, v, divided by, d, t, end fraction

[这个方程从何而来?]

为电路建模

我们可以用基尔霍夫电流定律，写出一个方程，对于流出顶部节点的两个电流。

i, start subscript, start text, C, end text, end subscript, plus, i, start subscript, start text, R, end text, end subscript, equals, 0

start text, C, end text, start fraction, d, v, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, R, end text, end fraction, v, equals, 0

解决电路问题

上式为一阶常微分方程 (ODE)。我们有解这类方程的数学技巧。

[这些术语是什么意思?]

微分方程的解是某种函数，在我们的例子中，是电压对时间的函数v, left parenthesis, t, right parenthesis。v, left parenthesis, t, right parenthesis是一个解，如果它使微分方程成立。

start text, C, end text, start fraction, d, v, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, R, end text, end fraction, v, equals, 0

(微分方程)

ODE的解决方案从何而来?一种方法是对解决方案进行有根据的猜测，并进行尝试。

[还有其他方法吗?]

当你盯着微分方程看的时候，在脑海中查阅一下关于函数的知识。

方程中的两项加起来等于零。这表明函数的一阶导数需要与函数本身具有相同的形式或形状。在你的记忆中搜索任何函数它的一阶导数和函数本身一样。额...

符合要求的函数是指数函数的某种形式，e, start superscript, x, end superscript，因为指数函数的导数是另一个指数函数。

start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, e, start superscript, alpha, t, end superscript, equals, alpha, e, start superscript, alpha, t, end superscript

[复习:指数函数的导数]

为了解微分方程，我们要对解的形式提出一个大胆的建议。(这部分需要勇气。)然后我们将解代入方程并计算出一些特定于电路的常数。(这部分需要数学。)如果我们找到使方程成立的常数，那么所提出的函数就是方程的解，我们就赢了。

我们提出的解决方案是用可调参数的指数函数，K和s。

v, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, e, start superscript, s, t, end superscript

t是时间
v, left parenthesis, t, right parenthesis是电压，作为时间
K的函数，s是常数，我们必须算出
- K是使电压变大或变小的振幅因子。
- s在指数中。它必须有能抵消时间的单位。所以s 的单位是1, slash, t。

让我们来看看我们提出的解决方案是否可行。

将v, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, e, start superscript, s, t, end superscript代入微分方程:

start text, C, end text, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, plus, start fraction, 1, divided by, start text, R, end text, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, equals, 0

求出第一项的导数

start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, equals, s, start text, K, end text, e, start superscript, s, t, end superscript

将s, start text, K, end text, e, start superscript, s, t, end superscript放入微分方程:

s, start text, C, end text, K, e, start superscript, s, t, end superscript, plus, start fraction, 1, divided by, start text, R, end text, end fraction, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, 0

现在我们可以求出K, e, start superscript, s, t, end superscript

left parenthesis, s, start text, C, end text, plus, start fraction, 1, divided by, start text, R, end text, end fraction, right parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, 0

这个方程表示我们的特定电路，并给出了解决方案。差不多了。接下来，我们算出两个常数，看看方程是否成立。

有多少种方法可以让左边等于0 ?三种方法:这三项中的任何一项都可以是K 或 e, start superscript, s, t, end superscript 或 left parenthesis, s, start text, C, end text, plus, 1, slash, start text, R, end text, right parenthesis。

一个平凡解是K, equals, 0。这就相当于把电容的初始电荷设为0 ，而电路却什么也不做。这太无趣了。

另一个简单的解决方案是使e, start superscript, s, t, end superscript, equals, 0。将s设为任何负值，让t变为plus, infinity。指数 e, start superscript, minus, infinity, end superscript 完全消失了，这意味着我们坐着等待电容器完全放电的时间是无穷无尽的。再一次，不是很有趣。

第三个选择提供了一个更发人深省的解决方案:

s, start text, C, end text, plus, start fraction, 1, divided by, start text, R, end text, end fraction, equals, 0

这个方程是真的如果：

s, equals, minus, start fraction, 1, divided by, start text, R, C, end text, end fraction

[神奇的时刻]

到目前为止，我们提出的解决方案如下:

$v(t) = K\,e^{\displaystyle{\raise{.6em}{-t}\raise{.4em}{ /}\raise{.1em}{\text{RC}}}}$

几乎完成了。剩下的就是求出K。检查电路的初始条件。回想一下，电容器最初的充电电压是start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript。如果我们称那个时刻为t, equals, 0，那么

$v(0) = \text V_0 = Ke\^{\displaystyle{-\frac 0 {\text{RC}}}}$

它的值为K, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript。

我们找到了一个s 和 K使微分方程成立。我们都做完了。鼓声响起来吧……

start text, R, C, end text电路自然响应的通解为:

$\large v(t) = \text V_0\,e^{\displaystyle{\raise{.6em}{-t}\raise{.4em}{ /}\raise{.1em}{\text{RC}}}}$

时间常数

指数不能有单位。这意味着乘积start text, R, C, end text 在 e, start superscript, minus, t, slash, start text, R, C, end text, end superscript必须有时间单位，才能在分子上消去时间t。这意味着start text, 欧, 姆, end text, dot, start text, 法, 拉, space, =, space, 秒, end text，您可能没有猜到。

start text, R, end text和start text, C, end text的乘积称为这个电路的时间常数，它通常有一个希腊字母名称tau (tau)。

tau, equals, start text, R, C, end text

我们把解写成:

$v(t) = \text V_0\,e^{\displaystyle{\raise{.6em}{-t}\raise{.4em}{ /}\raise{.1em}{\tau}}}$

当t等于时间常数时，e的指数变成minus, 1，指数项等于1, slash, e，或约0, point, 37。时间常数决定了指数曲线下降到零的速度。经过1 时间常数之后，电压降至初始值的37, percent 。

例题一

对于自然反应电路,
设 start text, R, end text, equals, 3, start text, k, end text, \Omega, start text, C, end text, equals, 1, mu, start text, F, end text, 及 start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, equals, 1, point, 4, start text, V, end text。

a. 写出表达式 v, left parenthesis, t, right parenthesis
b. 当t, equals, start text, R, C, end text时，v, left parenthesis, t, right parenthesis是什么?
c. 绘制 v, left parenthesis, t, right parenthesis

例1的解决方案

a.写出v, left parenthesis, t, right parenthesis 的表达式

$v(t) = \text V_0\,e^{\displaystyle{\raise{.6em}{-t}\raise{.4em}{ /}\raise{.1em}{\text{RC}}}}$

$v(t) = 1.4\,\,e \^{\displaystyle-\dfrac t {3 \,\text{k}\Omega \cdot 1 \,\mu\text{F}}}$

$v(t) = 1.4\,\,e \^{\displaystyle-\dfrac t {3\times10^{3} \cdot 1\: \times10^{-6}}}$

$v(t) = 1.4\,e \^{\displaystyle-\dfrac t {3\times10^{-3}}}$

$v(t) = 1.4\,e \^{\displaystyle-\dfrac t {3 \:\text{ms}}}$

b.当t, equals, start text, R, C, end text时，v, left parenthesis, t, right parenthesis是什么?

start text, R, C, end text乘积有秒的单位。

tau, equals, start text, R, C, end text, equals, 3, times, 10, cubed, dot, 1, times, 10, start superscript, minus, 6, end superscript

tau, equals, 3, times, 10, start superscript, minus, 3, end superscript, equals, 3, start text, m, s, end text

v, left parenthesis, 3, start text, m, s, end text, right parenthesis, equals, 1, point, 4, e, start superscript, minus, start fraction, 3, start text, m, s, end text, divided by, 3, start text, m, s, end text, end fraction, end superscript

v, left parenthesis, 3, start text, m, s, end text, right parenthesis, equals, 1, point, 4, e, start superscript, minus, 1, end superscript

v, left parenthesis, 3, start text, m, s, end text, right parenthesis, equals, 1, point, 4, dot, 0, point, 3679

v, left parenthesis, 3, start text, m, s, end text, right parenthesis, equals, 0, point, 515, start text, v, o, l, t, s, end text (circled in the plot below)

c. 绘制 v, left parenthesis, t, right parenthesis

start color #ff8482, start text, 圆, end text, end color #ff8482 显示部分b的答案: v, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 0, point, 515, start text, V, end text 当 t, equals, start text, R, C, end text, equals, 3, start text, m, s, end text.

一条有用的经验法则:

当时间等于时间常数，start text, R, C, end text，电压从其初始值下降1, slash, e，或者下降到其初始值的大约37, percent。这适用于任何初始电压和任何start text, R, C, end text乘积。

例题二

设 start text, R, end text, equals, 1, start text, k, end text, \Omega, start text, C, end text, equals, 1, start text, p, F, end text, 及 start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, equals, 1, point, 0, start text, V, end text.

a. 写出表达式 v(t).
b. 时间常数是多少?
c. 绘制 v, left parenthesis, t, right parenthesis.
d. 电压从初始值下降95, percent需要多少次常数?

例2的解决方案

a.写出v(t)的表达式。

$v(t) = \text V_0\,e^{\displaystyle{\raise{.6em}{-t}\raise{.4em}{ /}\raise{.1em}{\text{RC}}}}$

$v(t) = 1.0 \,e \^{\displaystyle-\dfrac t {1 \:\text{k}\Omega \cdot 1 \:\text{pF}}}$

$v(t) = 1.0 \,e \^{\displaystyle-\dfrac t {1 \times 10^{-9}}}$

$v(t) = 1.0 \,e \^{\displaystyle-\dfrac t {1 \:\text{ns}}}$

b. 时间常数是多少?

tau, equals, start text, R, C, end text, equals, 1, start text, k, end text, \Omega, dot, 1, start text, p, F, end text

tau, equals, 1, times, 10, start superscript, plus, 3, end superscript, dot, 1, times, 10, start superscript, minus, 12, end superscript

tau, equals, 1, times, 10, start superscript, minus, 9, end superscript, equals, 1, start text, n, s, end text

c. 绘制 v, left parenthesis, t, right parenthesis.

start color #ff8482, start text, 圆, 圈, end text, end color #ff8482显示了d部分的答案。

电压从初始值下降95, percent需要多少次时间常数?

阅读上面的图，我们看到电压下降到left parenthesis, 1, minus, 0, point, 95, right parenthesis, dot, 1, start text, V, end text, equals, 0, point, 05伏特，在3 纳秒左右，这相当于3次时间常数。这一点由start color #ff8482, start text, 圆, 圈, end text, end color #ff8482标记。

另一个经验法则

任何start text, R, C, end text 瞬态都是在3 次常量之后完成的。这适用于任何初始电压和任何start text, R, C, end text产品。

总结

start text, R, C, end text电路的自然响应是指数级的:

$v(t) = \text V_0\,e^{\displaystyle{\raise{.6em}{-t}\raise{.4em}{ /}\raise{.1em}{\text{RC}}}}$

其中start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript为t, equals, 0时的电压。

start text, R, C, end text电路的时间常数是tau, equals, start text, R, C, end text

后记

函数e, start superscript, x, end superscript

函数e, start superscript, x, end superscript或增长(x, is greater than, 0)或衰减(x, is less than, 0)的速度取决于x。还有许多其他函数具有相同的一般形状。任何看起来像y, start superscript, x, end superscript的函数都有相同的曲线形状。如果我们可以得到相同的形状，不同的 y值，比如2, start superscript, x, end superscript 或 10, start superscript, x, end superscript，无理数e有什么大不了的?我们最喜欢e的原因是e是唯一的一个数，它的导数y, start superscript, x, end superscript和函数是一样的。也就是说，任意点x处，e, start superscript, x, end superscript的斜率等于e, start superscript, x, end superscript的值。

start fraction, empty space, start text, d, end text, e, start superscript, x, end superscript, divided by, empty space, start text, d, end text, x, empty space, end fraction, equals, e, start superscript, x, end superscript

没有混乱，没有大惊小怪，完全一样。

指数在自然界中存在

我们刚刚解决的问题，RC电路的自然响应，代表了自然界中经常发生的事情。指数函数是一个很好的数学模型用来描述事物如何增长或衰减。铀衰变，人口增长，抵押贷款支付，加热和冷却，以及其他真实世界的过程。最广义的术语是:指数出现在变化量与物质量成比例的情况下。对于我们的RC电路，电压变化率与电压成正比。电压高时曲线陡峭，电压下降时曲线变浅。

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我们要做的是什么

首先，用直觉来预测会发生什么

在开关翻转之前

在开关翻转之后

在开关翻转回来之后

总结

RC\text{RC}RCstart text, R, C, end text自然反应的形式推导

为组件建模

为电路建模

解决电路问题

时间常数

例题一

例1的解决方案

一条有用的经验法则:

例题二

例2的解决方案

另一个经验法则

总结

后记

函数exe^xexe, start superscript, x, end superscript

指数在自然界中存在

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start text, R, C, end text自然反应的形式推导

函数e, start superscript, x, end superscript