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主要内容

RC自然反应

RC电路的自然响应。R和C的乘积叫做时间常数。
电阻电容(RC) 电路是我们可以创建和分析的第一个有趣的电路之一。了解这个电路的行为对学习电子学是至关重要的。这种电路的形式随处可见。有时你会故意创建这个电路,而另一些时候它会自动出现。
这是我们遇到的第一个需要考虑时间的电路。要发展精确的理解需要从微积分的方法。我们使用导数来描述RC 电路。
我们想了解这个电路的自然响应
原理图1所示。

我们要做的是什么

电阻-电容电路中,电容的初始电压为V0,电压将根据:
v(t)=V0et/RC
其中V0t=0时的电压。 这叫做自然反应
RC电路的时间常数是 τ=RC

我们将要研究的电路是电阻与电容串联的电路。这个电路对外加电压有什么反应?
原理图1所示。

首先,用直觉来预测会发生什么

本节中我们探索的电路:
图2所示。
我们想知道当我们来回翻转开关时,vC(电容电压)会发生什么变化。
我们将逐一分析这些问题:
什么是vC, 电容上的电压
  • 在开关翻转之前?
  • 在开关翻转之后?
  • 当开关弹回来后?

在开关翻转之前

我们从确定电路的初始状态开始分析,在发生任何变化之前。将开关置于下位,我们可以画出如下等效电路。vin0 伏, R的左端连接到C的底部。
图3所示。
让我们假设此时电路处于这种状态已经很长时间了,因此过去存储在电容器上的任何电荷都早已通过电阻耗尽,留下 qC=0。从这里我们知道跨电容的电压必须是0 伏,因为 vC=q/C=0/C=0
由于电容的电压为0伏,所以电阻也为0,所以通过R的电流(以及通过电容的电流)为0安培。电路被称为处于稳定状态静止状态处于平衡状态。我们已经回答了第一个问题,“在开关翻转之前,通过C电压是多少?”

在开关翻转之后

现在把开关打开。电压vin变成了VBAT,有些东西即将发生变化。
图4所示。
电流开始从电池的正极流出,通过RC。电荷积聚在电容器上。累积的电荷在电容器上产生一个上升的电压(vC=q/C)。电压vC变化的时间段称为暂态周期。
是什么阻止了vC永远上涨?充电在电容器上累积,直到vC上升到与电池电压相同的值:vC=VBAT。在这一点上,电阻上的电压为0 伏,所以电阻上的电流停止流动(欧姆定律)。这也意味着电流(电荷)停止流入电容器。电容上的电量停止变化,因此电容电压变为常数:vc=vBAT。暂态时期已经结束。
我们已经回答了第二个问题,“在开关翻转之后,C上的电压是多少?”经过一段暂态时间后,电路将以vC=vBAT为新的稳态。它一直呆在那里,直到有什么东西来打破这种状态。

在开关翻转回来之后

现在我们将再次翻转开关,将其返回到电池的负极(vin=0)。现在发生了什么?
图3所示。
这和我们开始时的电路是一样的,但是这次C存储了一些电荷,所以它有一个起始电压。正因为如此,R现在在它的端子上有一个电压差。电压是vC=vBAT此时开关翻转下来。因此,电流必须开始在R中流动(欧姆定律如是说)。提供此电流的电荷来自存储在C中的电荷。充电将继续进行,直到所有原先存储在C中的充电耗尽为止。vC逐渐降到零电压。R之间的电压差也降为零。电路已恢复到原来的平衡状态。最后,我们回答了第三个问题,“当开关翻转回来时,C上的电压是多少?”

总结

仅凭我们的直觉,我们就知道电容电压,vC,从0伏开始,上升到VBAT,然后又回到0伏。换句话说,vC从一个初始稳态,经过一个暂态到一个新的稳态,然后经过第二个暂态回到它的初始状态。我们知道每个瞬态的准确起始电压和终止电压。不错,但是……我们还不知道什么?我们不知道瞬态持续了多久,也不知道它们的形状。是时候进行一些微积分运算来得到一个精确而有用的解了。

RC自然反应的形式推导

我们从最简单的情况开始。电路只是RC连接在一起。“查找响应”是指查找vi作为时间的函数。
为了让电路做点什么(而不仅仅是坐在那里),我们在电容器上放一个初始电荷。这是由外部不可见的电路完成的。在增加了能量之后,我们放开手,看看电路自然地做了什么。假设电容被一个外部电路充电到某个初始电压V0,这个外部电路刚刚断开。
我们将要得到的结果称为RC电路的自然响应。自然响应是电路在有初始条件时所做的事情,但没有其他东西驱动电路。

为组件建模

电路中的RC组件可以用它们的特征电压-电流方程来描述。
对于电阻,我们选择欧姆定律的一种形式:
iR=vR
对应的电容器电压电流关系为:
iC=Cdvdt

为电路建模

我们可以用基尔霍夫电流定律,写出一个方程,对于流出顶部节点的两个电流。
iC+iR=0
Cdvdt+1Rv=0

解决电路问题

上式为一阶常微分方程 (ODE)。我们有解这类方程的数学技巧。
微分方程的解是某种函数,在我们的例子中,是电压对时间的函数v(t)v(t)是一个解,如果它使微分方程成立。
Cdvdt+1Rv=0
(微分方程)
ODE的解决方案从何而来?一种方法是对解决方案进行有根据的猜测,并进行尝试。
当你盯着微分方程看的时候,在脑海中查阅一下关于函数的知识。
方程中的两项加起来等于零。这表明函数的一阶导数需要与函数本身具有相同的形式或形状。在你的记忆中搜索任何函数它的一阶导数和函数本身一样。额...
符合要求的函数是指数函数的某种形式,ex,因为指数函数的导数是另一个指数函数。
ddteαt=αeαt
为了解微分方程,我们要对解的形式提出一个大胆的建议。(这部分需要勇气。)然后我们将解代入方程并计算出一些特定于电路的常数。(这部分需要数学。)如果我们找到使方程成立的常数,那么所提出的函数就是方程的解,我们就赢了。
我们提出的解决方案是用可调参数的指数函数,Ks
v(t)=Kest
  • t是时间
  • v(t)是电压,作为时间
  • K的函数,s是常数,我们必须算出
    • K是使电压变大或变小的振幅因子。
    • s在指数中。它必须有能抵消时间的单位。所以s 的单位是1/t
让我们来看看我们提出的解决方案是否可行。
v(t)=Kest代入微分方程:
Cddt(Kest)+1R(Kest)=0
求出第一项的导数
ddt(Kest)=sKest
sKest放入微分方程:
sCKest+1RKest=0
现在我们可以求出Kest
(sC+1R)Kest=0
这个方程表示我们的特定电路,并给出了解决方案。差不多了。接下来,我们算出两个常数,看看方程是否成立。
有多少种方法可以让左边等于0 ?三种方法:这三项中的任何一项都可以是Kest(sC+1/R)
一个平凡解是K=0。这就相当于把电容的初始电荷设为0 ,而电路却什么也不做。这太无趣了。
另一个简单的解决方案是使est=0。将s设为任何负值,让t变为+。指数 e 完全消失了,这意味着我们坐着等待电容器完全放电的时间是无穷无尽的。再一次,不是很有趣。
第三个选择提供了一个更发人深省的解决方案:
sC+1R=0
这个方程是真的如果:
s=1RC
到目前为止,我们提出的解决方案如下:
v(t)=Ket/RC
几乎完成了。剩下的就是求出K。检查电路的初始条件。回想一下,电容器最初的充电电压是V0。如果我们称那个时刻为t=0,那么
v(0)=V0=Ke0RC
它的值为K=V0
我们找到了一个sK使微分方程成立。我们都做完了。鼓声响起来吧……
RC电路自然响应的通解为:
v(t)=V0et/RC

时间常数

指数不能有单位。这意味着乘积RCet/RC必须有时间单位,才能在分子上消去时间t。这意味着欧姆法拉 = 秒,您可能没有猜到。
RC的乘积称为这个电路的时间常数,它通常有一个希腊字母名称τ (tau)。
τ=RC
我们把解写成:
v(t)=V0et/τ
t等于时间常数时,e的指数变成1,指数项等于1/e,或约0.37。时间常数决定了指数曲线下降到零的速度。经过1 时间常数之后,电压降至初始值的37%

例题一

对于自然反应电路,
R=3kΩ, C=1μF, 及 V0=1.4V
a. 写出表达式 v(t)
b. 当t=RC时,v(t)是什么?
c. 绘制 v(t)

例1的解决方案

a.写出v(t) 的表达式
v(t)=V0et/RC
v(t)=1.4et3kΩ1μF
v(t)=1.4et3×1031×106
v(t)=1.4et3×103
v(t)=1.4et3ms
b.当t=RC时,v(t)是什么?
RC乘积有秒的单位。
τ=RC=3×1031×106
τ=3×103=3ms
v(3ms)=1.4e3ms3ms
v(3ms)=1.4e1
v(3ms)=1.40.3679
v(3ms)=0.515volts (circled in the plot below)
c. 绘制 v(t)
显示部分b的答案: v(t)=0.515Vt=RC=3ms.

一条有用的经验法则:

当时间等于时间常数,RC,电压从其初始值下降1/e,或者下降到其初始值的大约37%。这适用于任何初始电压和任何RC乘积。

例题二

R=1kΩ, C=1pF, 及 V0=1.0V.
a. 写出表达式 v(t).
b. 时间常数是多少?
c. 绘制 v(t).
d. 电压从初始值下降95%需要多少次常数?

例2的解决方案

a.写出v(t)的表达式。
v(t)=V0et/RC
v(t)=1.0et1kΩ1pF
v(t)=1.0et1×109
v(t)=1.0et1ns
b. 时间常数是多少?
τ=RC=1kΩ1pF
τ=1×10+31×1012
τ=1×109=1ns
c. 绘制 v(t).
圆圈显示了d部分的答案。
电压从初始值下降95%需要多少次时间常数?
阅读上面的图,我们看到电压下降到(10.95)1V=0.05伏特,在3 纳秒左右,这相当于3次时间常数。这一点由圆圈标记。

另一个经验法则

任何RC 瞬态都是在3 次常量之后完成的。这适用于任何初始电压和任何RC产品。

总结

RC电路的自然响应是指数级的:
v(t)=V0et/RC
其中V0t=0时的电压。
RC电路的时间常数是τ=RC

后记

函数ex

函数ex或增长(x>0)或衰减(x<0)的速度取决于x。还有许多其他函数具有相同的一般形状。任何看起来像yx的函数都有相同的曲线形状。如果我们可以得到相同的形状,不同的 y值,比如2x10x,无理数e有什么大不了的?我们最喜欢e的原因是e唯一的一个数,它的导数yx和函数是一样的。也就是说,任意点x处,ex的斜率等于ex的值。
xdexxdxx=ex
没有混乱,没有大惊小怪,完全一样。

指数在自然界中存在

我们刚刚解决的问题,RC电路的自然响应,代表了自然界中经常发生的事情。指数函数是一个很好的数学模型用来描述事物如何增长或衰减。铀衰变,人口增长,抵押贷款支付,加热和冷却,以及其他真实世界的过程。最广义的术语是:指数出现在变化量物质量成比例的情况下。对于我们的RC电路,电压变化率与电压成正比。电压高时曲线陡峭,电压下降时曲线变浅。

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