主要内容
RC自然反应
RC电路的自然响应。R和C的乘积叫做时间常数。
电阻电容 电路是我们可以创建和分析的第一个有趣的电路之一。了解这个电路的行为对学习电子学是至关重要的。这种电路的形式随处可见。有时你会故意创建这个电路,而另一些时候它会自动出现。
这是我们遇到的第一个需要考虑时间的电路。要发展精确的理解需要从微积分的方法。我们使用导数来描述 电路。
我们想了解这个电路的自然响应。
我们要做的是什么
电阻-电容电路中,电容的初始电压为 ,电压将根据:
其中 为 时的电压。
这叫做自然反应。
我们将要研究的电路是电阻与电容串联的电路。这个电路对外加电压有什么反应?
首先,用直觉来预测会发生什么
本节中我们探索的电路:
我们想知道当我们来回翻转开关时, (电容电压)会发生什么变化。
我们将逐一分析这些问题:
什么是 , 电容上的电压
- 在开关翻转之前?
- 在开关翻转之后?
- 当开关弹回来后?
在开关翻转之前
我们从确定电路的初始状态开始分析,在发生任何变化之前。将开关置于下位,我们可以画出如下等效电路。 是 伏, 的左端连接到 的底部。
让我们假设此时电路处于这种状态已经很长时间了,因此过去存储在电容器上的任何电荷都早已通过电阻耗尽,留下 。从这里我们知道跨电容的电压必须是 伏,因为 。
由于电容的电压为 伏,所以电阻也为 ,所以通过 的电流(以及通过电容的电流)为 安培。电路被称为处于稳定状态或静止状态或处于平衡状态。我们已经回答了第一个问题,“在开关翻转之前,通过 电压是多少?”
在开关翻转之后
现在把开关打开。电压 变成了 ,有些东西即将发生变化。
电流开始从电池的正极流出,通过 和 。电荷积聚在电容器上。累积的电荷在电容器上产生一个上升的电压( )。电压 变化的时间段称为暂态周期。
是什么阻止了 永远上涨?充电在电容器上累积,直到 上升到与电池电压相同的值: 。在这一点上,电阻上的电压为 伏,所以电阻上的电流停止流动(欧姆定律)。这也意味着电流(电荷)停止流入电容器。电容上的电量停止变化,因此电容电压变为常数: 。暂态时期已经结束。
我们已经回答了第二个问题,“在开关翻转之后, 上的电压是多少?”经过一段暂态时间后,电路将以 为新的稳态。它一直呆在那里,直到有什么东西来打破这种状态。
在开关翻转回来之后
现在我们将再次翻转开关,将其返回到电池的负极( )。现在发生了什么?
这和我们开始时的电路是一样的,但是这次 存储了一些电荷,所以它有一个起始电压。正因为如此, 现在在它的端子上有一个电压差。电压是 此时开关翻转下来。因此,电流必须开始在 中流动(欧姆定律如是说)。提供此电流的电荷来自存储在 中的电荷。充电将继续进行,直到所有原先存储在 中的充电耗尽为止。 逐渐降到零电压。 之间的电压差也降为零。电路已恢复到原来的平衡状态。最后,我们回答了第三个问题,“当开关翻转回来时, 上的电压是多少?”
总结
仅凭我们的直觉,我们就知道电容电压, ,从 伏开始,上升到 ,然后又回到 伏。换句话说, 从一个初始稳态,经过一个暂态到一个新的稳态,然后经过第二个暂态回到它的初始状态。我们知道每个瞬态的准确起始电压和终止电压。不错,但是……我们还不知道什么?我们不知道瞬态持续了多久,也不知道它们的形状。是时候进行一些微积分运算来得到一个精确而有用的解了。
自然反应的形式推导
我们从最简单的情况开始。电路只是 和 连接在一起。“查找响应”是指查找 和 作为时间的函数。
为了让电路做点什么(而不仅仅是坐在那里),我们在电容器上放一个初始电荷。这是由外部不可见的电路完成的。在增加了能量之后,我们放开手,看看电路自然地做了什么。假设电容被一个外部电路充电到某个初始电压 ,这个外部电路刚刚断开。
我们将要得到的结果称为 电路的自然响应。自然响应是电路在有初始条件时所做的事情,但没有其他东西驱动电路。
为组件建模
电路中的 和 组件可以用它们的特征电压-电流方程来描述。
对于电阻,我们选择欧姆定律的一种形式:
对应的电容器电压电流关系为:
为电路建模
我们可以用基尔霍夫电流定律,写出一个方程,对于流出顶部节点的两个电流。
解决电路问题
上式为一阶常微分方程 (ODE)。我们有解这类方程的数学技巧。
微分方程的解是某种函数,在我们的例子中,是电压对时间的函数 。 是一个解,如果它使微分方程成立。
(微分方程)
ODE的解决方案从何而来?一种方法是对解决方案进行有根据的猜测,并进行尝试。
当你盯着微分方程看的时候,在脑海中查阅一下关于函数的知识。
方程中的两项加起来等于零。这表明函数的一阶导数需要与函数本身具有相同的形式或形状。在你的记忆中搜索任何函数它的一阶导数和函数本身一样。额...
符合要求的函数是指数函数的某种形式, ,因为指数函数的导数是另一个指数函数。
为了解微分方程,我们要对解的形式提出一个大胆的建议。(这部分需要勇气。)然后我们将解代入方程并计算出一些特定于电路的常数。(这部分需要数学。)如果我们找到使方程成立的常数,那么所提出的函数就是方程的解,我们就赢了。
我们提出的解决方案是用可调参数的指数函数, 和 。
是时间 是电压,作为时间 的函数, 是常数,我们必须算出 是使电压变大或变小的振幅因子。 在指数中。它必须有能抵消时间的单位。所以 的单位是 。
让我们来看看我们提出的解决方案是否可行。
将 代入微分方程:
求出第一项的导数
将 放入微分方程:
现在我们可以求出
这个方程表示我们的特定电路,并给出了解决方案。差不多了。接下来,我们算出两个常数,看看方程是否成立。
有多少种方法可以让左边等于0 ?三种方法:这三项中的任何一项都可以是 或 或 。
一个平凡解是 。这就相当于把电容的初始电荷设为 ,而电路却什么也不做。这太无趣了。
另一个简单的解决方案是使 。将 设为任何负值,让 变为 。指数 完全消失了,这意味着我们坐着等待电容器完全放电的时间是无穷无尽的。再一次,不是很有趣。
第三个选择提供了一个更发人深省的解决方案:
这个方程是真的如果:
到目前为止,我们提出的解决方案如下:
几乎完成了。剩下的就是求出 。检查电路的初始条件。回想一下,电容器最初的充电电压是 。如果我们称那个时刻为 ,那么
它的值为 。
我们找到了一个 和 使微分方程成立。我们都做完了。鼓声响起来吧……
时间常数
指数不能有单位。这意味着乘积 在 必须有时间单位,才能在分子上消去时间 。这意味着 ,您可能没有猜到。
我们把解写成:
当 等于时间常数时, 的指数变成 ,指数项等于 ,或约 。时间常数决定了指数曲线下降到零的速度。经过 时间常数之后,电压降至初始值的 。
例题一
对于自然反应电路,
设 , , 及 。
设
a. 写出表达式
b. 当 时, 是什么?
c. 绘制
b. 当
c. 绘制
例1的解决方案
a.写出 的表达式
b.当 时, 是什么?
c. 绘制
一条有用的经验法则:
当时间等于时间常数, ,电压从其初始值下降 ,或者下降到其初始值的大约 。这适用于任何初始电压和任何 乘积。
例题二
设 , , 及 .
a. 写出表达式 v(t).
b. 时间常数是多少?
c. 绘制 .
d. 电压从初始值下降 需要多少次常数?
b. 时间常数是多少?
c. 绘制
d. 电压从初始值下降
例2的解决方案
a.写出v(t)的表达式。
b. 时间常数是多少?
c. 绘制 .
电压从初始值下降 需要多少次时间常数?
阅读上面的图,我们看到电压下降到 伏特,在 纳秒左右,这相当于 次时间常数。这一点由 标记。
另一个经验法则
任何 瞬态都是在 次常量之后完成的。这适用于任何初始电压和任何 产品。
总结
其中 为 时的电压。
后记
函数
函数 或增长( )或衰减( )的速度取决于 。还有许多其他函数具有相同的一般形状。任何看起来像 的函数都有相同的曲线形状。如果我们可以得到相同的形状,不同的 值,比如 或 ,无理数 有什么大不了的?我们最喜欢 的原因是 是唯一的一个数,它的导数 和函数是一样的。也就是说,任意点 处, 的斜率等于 的值。
没有混乱,没有大惊小怪,完全一样。