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电器工程

课程: 电器工程 > 单元 2

课程 4: 自然和强制反应

RC自然反应

RC电路的自然响应。R和C的乘积叫做时间常数。

电阻电容

(RC)

电路是我们可以创建和分析的第一个有趣的电路之一。了解这个电路的行为对学习电子学是至关重要的。这种电路的形式随处可见。有时你会故意创建这个电路，而另一些时候它会自动出现。

[自己？]

这是我们遇到的第一个需要考虑时间的电路。要发展精确的理解需要从微积分的方法。我们使用导数来描述

RC

电路。

我们想了解这个电路的自然响应。

我们要做的是什么

电阻-电容电路中，电容的初始电压为

V_{0}

，电压将根据：

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

其中

V_{0}

为

t = 0

时的电压。这叫做自然反应。

RC

电路的时间常数是

τ = R \cdot C

我们将要研究的电路是电阻与电容串联的电路。这个电路对外加电压有什么反应？

首先，用直觉来预测会发生什么

本节中我们探索的电路:

我们想知道当我们来回翻转开关时，

v_{C}

(电容电压)会发生什么变化。

[命名电压和电流]

我们将逐一分析这些问题:

什么是 $v_{C}$ ‍, 电容上的电压

在开关翻转之前?
在开关翻转之后?
当开关弹回来后?

在开关翻转之前

我们从确定电路的初始状态开始分析，在发生任何变化之前。将开关置于下位，我们可以画出如下等效电路。

v_{i n}

是

0

伏，

R

的左端连接到

C

的底部。

让我们假设此时电路处于这种状态已经很长时间了，因此过去存储在电容器上的任何电荷都早已通过电阻耗尽，留下

q_{C} = 0

。从这里我们知道跨电容的电压必须是

0

伏，因为

v_{C} = q / C = 0 / C = 0

。

由于电容的电压为

0

伏，所以电阻也为

0

，所以通过

R

的电流(以及通过电容的电流)为

0

安培。电路被称为处于稳定状态或静止状态或处于平衡状态。我们已经回答了第一个问题，“在开关翻转之前，通过

C

电压是多少?”

在开关翻转之后

现在把开关打开。电压

v_{i n}

变成了

V_{BAT}

，有些东西即将发生变化。

电流开始从电池的正极流出，通过

R

和

C

。电荷积聚在电容器上。累积的电荷在电容器上产生一个上升的电压(

v_{C} = q / C

)。电压

v_{C}

变化的时间段称为暂态周期。

是什么阻止了

v_{C}

永远上涨?充电在电容器上累积，直到

v_{C}

上升到与电池电压相同的值:

v_{C} = V_{BAT}

。在这一点上，电阻上的电压为

0

伏，所以电阻上的电流停止流动(欧姆定律)。这也意味着电流(电荷)停止流入电容器。电容上的电量停止变化，因此电容电压变为常数:

v_{c} = v_{BAT}

。暂态时期已经结束。

我们已经回答了第二个问题，“在开关翻转之后，

C

上的电压是多少?”经过一段暂态时间后，电路将以

v_{C} = v_{BAT}

为新的稳态。它一直呆在那里，直到有什么东西来打破这种状态。

在开关翻转回来之后

现在我们将再次翻转开关，将其返回到电池的负极(

v_{i n} = 0

)。现在发生了什么?

这和我们开始时的电路是一样的，但是这次

C

存储了一些电荷，所以它有一个起始电压。正因为如此，

R

现在在它的端子上有一个电压差。电压是

v_{C} = v_{BAT}

此时开关翻转下来。因此，电流必须开始在

R

中流动(欧姆定律如是说)。提供此电流的电荷来自存储在

C

中的电荷。充电将继续进行，直到所有原先存储在

C

中的充电耗尽为止。

v_{C}

逐渐降到零电压。

R

之间的电压差也降为零。电路已恢复到原来的平衡状态。最后，我们回答了第三个问题，“当开关翻转回来时，

C

上的电压是多少?”

总结

仅凭我们的直觉，我们就知道电容电压，

v_{C}

，从

0

伏开始，上升到

V_{BAT}

，然后又回到

0

伏。换句话说，

v_{C}

从一个初始稳态，经过一个暂态到一个新的稳态，然后经过第二个暂态回到它的初始状态。我们知道每个瞬态的准确起始电压和终止电压。不错，但是……我们还不知道什么?我们不知道瞬态持续了多久，也不知道它们的形状。是时候进行一些微积分运算来得到一个精确而有用的解了。

$RC$ ‍自然反应的形式推导

我们从最简单的情况开始。电路只是

R

和

C

连接在一起。“查找响应”是指查找

v

和

i

作为时间的函数。

为了让电路做点什么(而不仅仅是坐在那里)，我们在电容器上放一个初始电荷。这是由外部不可见的电路完成的。在增加了能量之后，我们放开手，看看电路自然地做了什么。假设电容被一个外部电路充电到某个初始电压

V_{0}

，这个外部电路刚刚断开。

我们将要得到的结果称为

RC

电路的自然响应。自然响应是电路在有初始条件时所做的事情，但没有其他东西驱动电路。

为组件建模

电路中的

R

和

C

组件可以用它们的特征电压-电流方程来描述。

对于电阻，我们选择欧姆定律的一种形式:

i_{R} = \frac{v}{R}

对应的电容器电压电流关系为:

i_{C} = C \frac{d v}{d t}

[这个方程从何而来?]

为电路建模

我们可以用基尔霍夫电流定律，写出一个方程，对于流出顶部节点的两个电流。

i_{C} + i_{R} = 0

C \frac{d v}{d t} + \frac{1}{R} v = 0

解决电路问题

上式为一阶常微分方程 (ODE)。我们有解这类方程的数学技巧。

[这些术语是什么意思?]

微分方程的解是某种函数，在我们的例子中，是电压对时间的函数

v (t)

。

v (t)

是一个解，如果它使微分方程成立。

C \frac{d v}{d t} + \frac{1}{R} v = 0

(微分方程)

ODE的解决方案从何而来?一种方法是对解决方案进行有根据的猜测，并进行尝试。

[还有其他方法吗?]

当你盯着微分方程看的时候，在脑海中查阅一下关于函数的知识。

方程中的两项加起来等于零。这表明函数的一阶导数需要与函数本身具有相同的形式或形状。在你的记忆中搜索任何函数它的一阶导数和函数本身一样。额...

符合要求的函数是指数函数的某种形式，

e^{x}

，因为指数函数的导数是另一个指数函数。

\frac{d}{d t} e^{α t} = α e^{α t}

[复习:指数函数的导数]

为了解微分方程，我们要对解的形式提出一个大胆的建议。(这部分需要勇气。)然后我们将解代入方程并计算出一些特定于电路的常数。(这部分需要数学。)如果我们找到使方程成立的常数，那么所提出的函数就是方程的解，我们就赢了。

我们提出的解决方案是用可调参数的指数函数，

K

和

s

。

v (t) = K e^{s t}

$t$ ‍是时间
$v (t)$ ‍是电压，作为时间
$K$ ‍的函数， $s$ ‍是常数，我们必须算出
- $K$ ‍是使电压变大或变小的振幅因子。
- $s$ ‍在指数中。它必须有能抵消时间的单位。所以 $s$ ‍ 的单位是 $1 / t$ ‍。

让我们来看看我们提出的解决方案是否可行。

将

v (t) = K e^{s t}

代入微分方程:

C \frac{d}{d t} (K e^{s t}) + \frac{1}{R} (K e^{s t}) = 0

求出第一项的导数

\frac{d}{d t} (K e^{s t}) = s K e^{s t}

将

s K e^{s t}

放入微分方程:

s C K e^{s t} + \frac{1}{R} K e^{s t} = 0

现在我们可以求出

K e^{s t}

(s C + \frac{1}{R}) K e^{s t} = 0

这个方程表示我们的特定电路，并给出了解决方案。差不多了。接下来，我们算出两个常数，看看方程是否成立。

有多少种方法可以让左边等于0 ?三种方法:这三项中的任何一项都可以是

K

或

e^{s t}

或

(s C + 1 / R)

。

一个平凡解是

K = 0

。这就相当于把电容的初始电荷设为

0

，而电路却什么也不做。这太无趣了。

另一个简单的解决方案是使

e^{s t} = 0

。将

s

设为任何负值，让

t

变为

+ \infty

。指数

e^{- \infty}

完全消失了，这意味着我们坐着等待电容器完全放电的时间是无穷无尽的。再一次，不是很有趣。

第三个选择提供了一个更发人深省的解决方案:

s C + \frac{1}{R} = 0

这个方程是真的如果：

s = - \frac{1}{RC}

[神奇的时刻]

到目前为止，我们提出的解决方案如下:

v (t) = K e^{- t / RC}

几乎完成了。剩下的就是求出

K

。检查电路的初始条件。回想一下，电容器最初的充电电压是

V_{0}

。如果我们称那个时刻为

t = 0

，那么

v (0) = V_{0} = K e^{- \frac{0}{RC}}

它的值为

K = V_{0}

。

我们找到了一个

s

和

K

使微分方程成立。我们都做完了。鼓声响起来吧……

RC

电路自然响应的通解为:

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

时间常数

指数不能有单位。这意味着乘积

RC

在

e^{- t / RC}

必须有时间单位，才能在分子上消去时间

t

。这意味着

欧姆 \cdot 法拉 = 秒

，您可能没有猜到。

R

和

C

的乘积称为这个电路的时间常数，它通常有一个希腊字母名称

τ

(tau)。

τ = RC

我们把解写成:

v (t) = V_{0} e^{- t / τ}

当

t

等于时间常数时，

e

的指数变成

- 1

，指数项等于

1 / e

，或约

0.37

。时间常数决定了指数曲线下降到零的速度。经过

1

时间常数之后，电压降至初始值的

37 %

。

例题一

对于自然反应电路,
设

R = 3 k Ω

C = 1 μ F

, 及

V_{0} = 1.4 V

。

a. 写出表达式 $v (t)$ ‍
b. 当 $t = RC$ ‍时， $v (t)$ ‍是什么?
c. 绘制 $v (t)$ ‍

例1的解决方案

a.写出 $v (t)$ ‍ 的表达式

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

v (t) = 1.4 e^{- \frac{t}{3 k Ω \cdot 1 μ F}}

v (t) = 1.4 e^{- \frac{t}{3 \times 10^{3} \cdot 1 \times 10^{- 6}}}

v (t) = 1.4 e^{- \frac{t}{3 \times 10^{- 3}}}

v (t) = 1.4 e^{- \frac{t}{3 ms}}

b.当 $t = RC$ ‍时， $v (t)$ ‍是什么?

RC

乘积有秒的单位。

τ = RC = 3 \times 10^{3} \cdot 1 \times 10^{- 6}

τ = 3 \times 10^{- 3} = 3 ms

v (3 ms) = 1.4 e^{- \frac{3 ms}{3 ms}}

v (3 ms) = 1.4 e^{- 1}

v (3 ms) = 1.4 \cdot 0.3679

v (3 ms) = 0.515 volts

(circled in the plot below)

c. 绘制 $v (t)$ ‍

圆

显示部分b的答案:

v (t) = 0.515 V

当

t = RC = 3 ms

一条有用的经验法则:

当时间等于时间常数，

RC

，电压从其初始值下降

1 / e

，或者下降到其初始值的大约

37 %

。这适用于任何初始电压和任何

RC

乘积。

例题二

设

R = 1 k Ω

C = 1 pF

, 及

V_{0} = 1.0 V

a. 写出表达式 v(t).
b. 时间常数是多少?
c. 绘制 $v (t)$ ‍.
d. 电压从初始值下降 $95 %$ ‍需要多少次常数?

例2的解决方案

a.写出v(t)的表达式。

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

v (t) = 1.0 e^{- \frac{t}{1 k Ω \cdot 1 pF}}

v (t) = 1.0 e^{- \frac{t}{1 \times 10^{- 9}}}

v (t) = 1.0 e^{- \frac{t}{1 ns}}

b. 时间常数是多少?

τ = RC = 1 k Ω \cdot 1 pF

τ = 1 \times 10^{+ 3} \cdot 1 \times 10^{- 12}

τ = 1 \times 10^{- 9} = 1 ns

c. 绘制 $v (t)$ ‍.

圆圈

显示了d部分的答案。

电压从初始值下降 $95 %$ ‍需要多少次时间常数?

阅读上面的图，我们看到电压下降到

(1 - 0.95) \cdot 1 V = 0.05

伏特，在

3

纳秒左右，这相当于

3

次时间常数。这一点由

圆圈

标记。

另一个经验法则

任何

RC

瞬态都是在

3

次常量之后完成的。这适用于任何初始电压和任何

RC

产品。

总结

RC

电路的自然响应是指数级的:

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

其中

V_{0}

为

t = 0

时的电压。

RC

电路的时间常数是

τ = RC

后记

函数 $e^{x}$ ‍

函数

e^{x}

或增长(

x > 0

)或衰减(

x < 0

)的速度取决于

x

。还有许多其他函数具有相同的一般形状。任何看起来像

y^{x}

的函数都有相同的曲线形状。如果我们可以得到相同的形状，不同的

y

值，比如

2^{x}

或

10^{x}

，无理数

e

有什么大不了的?我们最喜欢

e

的原因是

e

是唯一的一个数，它的导数

y^{x}

和函数是一样的。也就是说，任意点

x

处，

e^{x}

的斜率等于

e^{x}

的值。

\frac{d e^{x}}{d x} = e^{x}

没有混乱，没有大惊小怪，完全一样。

指数在自然界中存在

我们刚刚解决的问题，RC电路的自然响应，代表了自然界中经常发生的事情。指数函数是一个很好的数学模型用来描述事物如何增长或衰减。铀衰变，人口增长，抵押贷款支付，加热和冷却，以及其他真实世界的过程。最广义的术语是:指数出现在变化量与物质量成比例的情况下。对于我们的RC电路，电压变化率与电压成正比。电压高时曲线陡峭，电压下降时曲线变浅。

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