主要内容
RC阶跃响应
RC电路如何响应电压步长?我们把总响应解为强迫响应和自然响应的和，RC阶跃响应是所有数字电路的基本行为。
让我们将电压骤升到电阻电容left parenthesis, start text, R, C, end text, right parenthesis电路，并观察电容上的电压会发生什么变化。
我们想要找到电容上的电压start color #ff9c39, v, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #ff9c39作为时间的函数。
当电路中的某些东西发生变化时，例如开关闭合，电路元件中的电压和电流就会根据新的情况进行调整。如果变化是一个突然的步骤，就像这里一样，电压和电流的响应称为阶跃响应。阶跃响应是一种常见的方法，它给电路一个小的“踢”，看看它做什么。它告诉我们很多关于电路的性质。
我们要做的是什么
电路的总响应可以分解为强迫响应和自然响应。这些响应可以使用叠加原理进行组合。
- 强制响应是在打开源时计算的，但初始条件(内部存储的能量)设置为零。
- 自然响应是指电路所做的事情，包括初始条件，(电容器的初始电压或电感的电流)，但输入被抑制。
总响应 = 强制响应 + 自然响应
我们使用这种强制和自然响应的方法推导出start text, R, end text, start text, C, end text网络的阶跃响应:
start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript是电压步长。
start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript是电容器的初始电压。
start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript是电容器的初始电压。
找到start text, R, C, end text 阶跃响应
我们感兴趣的是电容上的电压，v是时间的函数。我们先看看开关关闭前发生了什么。然后我们从现在跳到很长一段时间，然后算出电路的终点。最后，我们来看看开关关闭到很长一段时间之后会发生什么。
初始状态
在开关关闭之前，left parenthesis, t, is less than, 0, right parenthesis，示意图告诉我们电容器上存在一个初始电压:v, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript。
我们知道电路中的电流是0，因为开关是开着的。这些是电路的初始条件。
最终状态
如果我们在t, equals, 0处关闭开关，电流就会开始在现已完成的电路中流动。只要电阻上有电压差，电流就会继续流动。
在将来的某个时候，电容电压v将与源电压start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript相同。当这种情况发生时，电阻上的电压start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript, minus, v将为0，电流将降至0。这是电路的最终状态。
概要: 电路开始没有电流，结束没有电流，但是电压(和电流)在开始和结束之间起作用。
过渡时期
在初始状态和最终状态之间，电流和电压根据电压源施加的新条件进行调整。这被称为瞬态周期，即事物发生变化的时候。在此期间v所做的更改是start text, R, C, end text电路的瞬态响应。在我们的示例中，开关关闭事件将电压步长应用于start text, R, C, end text电路，因此这也称为阶跃响应。
我们将使用我们对初始和最终状态的知识，加上我们对start text, R, end text和start text, C, end text的了解，来精确理解瞬态响应。
分析
为了开始分析这个电路，我们使用基尔霍夫电流定律为右上角的节点写了一个电流方程。我们把流出结点的电流加起来:
我们把它展开，使它看起来像一个微分方程:
初始条件:v, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript
这是我们要解的微分方程。右边有这样一项:start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript, slash, start text, R, C, end text。这不是 v，也不是 v的导数。因此，我们说这个方程是非齐次的。
解非齐次微分方程不是世界上最简单的事情，所以我们会想出一个策略。
策略:找到强迫和自然的反应
这两个复杂的问题(输入信号和初始条件)使得求解非齐次方程变得有些繁琐，数学上可能很棘手。和往常一样，我们的策略是把问题分成几个部分。我们通过梳理强迫和自然的反应，将更大的问题分成两个更简单的问题。分别求解强迫响应和自然响应要比直接求解非齐次方程简单。
什么是强迫反应?强迫响应是在所有存储的能量最终消散之后，输出(电容上的电压)最终会到达的地方。强制响应通过忽略储能元件的存在来实现这一点(在本例中，它忽略了电容器及其初始电压)。
强迫响应不能告诉我们开关一开始关闭时发生了什么，或者在过渡到最终状态时发生了什么，因为它忽略了存储的能量。为此，我们需要自然的反应。
自然响应告诉我们，当电路内部存储的能量(电容器上的初始电压)被允许耗散时，电路会做什么。它通过忽略强迫输入(开关关闭引起的电压步长)来做到这一点。自然响应的“终点”总是零电压和零电流。
最后，我们结合了强迫和自然的反应，得到了完整的故事。强迫反应将其意志强加于自然反应之上，并赋予其不同于零的终点。这给出了总的响应。
强迫响应加自然响应是叠加
(下标start subscript, t, end subscript、start subscript, f, end subscript和start subscript, n, end subscript代表总响应、强制响应和自然响应。)
解决驱动电路问题
求解外源驱动电路的方法为:
- 初始条件设为0，求解强制响应。
- 将输入设置为0，并求解自然响应。
- 将强制响应添加到自然响应中，以获得总响应。
- 使用初始条件来解析任何常量。
RC电路的强制响应
强制响应start color #e07d10, v, start subscript, f, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #e07d10是直接由输入引起的总响应的一部分，同时假设初始条件都是0。我们暂时不考虑初始条件，而是寻找非齐次微分方程的解。强制响应的解决方案通常是输入的缩放版本。
在t, equals, 0之前，我们知道强迫响应为0，因为电压源与电阻和电容断开。
对于 t, is greater than, 0 方程式是:
我们的方法是猜测强制响应的解决方案v, start subscript, f, end subscript，并进行尝试。对于强制响应，一个好的猜测应该类似于输入。因为t, is greater than, 0的输入是常数，所以我们猜测强制响应也是常数:
把这个代入 t, is greater than, 0的微分方程，看看会发生什么:
主要的导数项是0，剩下:
所以强制响应微分方程成立，如果:
这是我们强制响应:
(巧合的是，它看起来和输入完全一样。)
RC电路的自然响应
现在我们解自然响应。(你可以在RC 自然响应中详细查看推导过程。)对于自然响应，我们抑制(关闭，设置为零)输入，只解决电路本身。
关闭输入意味着用一个短的电压源替换电压源。当我们抑制输入时，原始非齐次微分方程的右边变成了0，变成了一个齐次微分方程。(我们知道怎么解。)
提出了一种具有两个可调参数的指数形式的v, start subscript, n, end subscript的求解方法，并进行了实验。
把它代入齐次微分方程。
我们可以提出普通的K, start subscript, n, end subscript, e, start superscript, s, t, end superscript项:
如果K, start subscript, n, end subscript和e, start superscript, s, t, end superscript是有限的，那么K, start subscript, n, end subscript, e, start superscript, s, t, end superscript永远不会变成0。如果它们中的任何一个变成了0，那么答案就很无聊。然而，如果:
这称为start text, R, C, end text系统的特征方程。我们将来会看到更多这样的例子。
这给了我们一个自然响应:
通过齐次方程我们得到了s 和一个自然反应。自然响应只是start text, R, C, end text电路的一个属性，并不完全与某个输入函数纠缠在一起。我们还需要算出K, start subscript, n, end subscript。我们待会再做，作为总反应的一部分。
总响应 = 强迫响应 + 自然响应
强制响应考虑了输入信号。
自然响应考虑了内部初始条件。
现在我们将它们合并以得到总的响应，这两个响应都占了。
自然响应考虑了内部初始条件。
现在我们将它们合并以得到总的响应，这两个响应都占了。
使用初始条件查找K, start subscript, n, end subscript
这就是我们用初始条件求出K, start subscript, n, end subscript的地方。我们知道t, equals, 0时的总响应必须是v, start subscript, t, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript。(总响应，而不仅仅是自然反应。)将已知的t, equals, 0代入总响应方程:
指数表达式变成1，剩下:
集合整个响应
现在我们将start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, minus, start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript放入总响应中，得到:
就是这样。这是一个系列start text, R, C, end text组合对电压步骤的总响应。
如果电容没有初始电压，v, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, 0，则总响应方程为:
或
结束语
强迫响应是什么意思?强迫响应基本上忽略了存储在电容器中的能量和初始电压。强迫响应告诉我们，当所有储存的能量最终耗散后，输出电压最终会到达什么地方。
强迫反应没有告诉我们在开始时发生了什么，或者在过渡到最终状态的过程中发生了什么，因为它忽略了储存的能量。
自然响应告诉我们，当储存的能量被允许耗散时，一个隔离电路会做什么。自然响应的“目的地”总是零。强制响应为自然响应提供了一个新的目的地。在我们的示例中，新目的地是start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript。
总结
我们讨论了如何解决一个电阻电容电路与驱动电压。我们用基尔霍夫电流定律建立了一个表示电路的微分方程。然后我们用强迫和自然响应的方法求解。
- 强制响应是电路在启动源时所做的，但初始条件设为零。
- 自然响应是电路所做的，包括初始条件，但输入被抑制。
- 总响应是强制响应加上自然响应的和。这些响应可以用叠加原理结合起来。
总响应 = 强制响应 + 自然响应
对于系列start text, R, end text, start text, C, end text 线路，步骤响应为:
start text, V, end text, start subscript, start text, S, end text, end subscript是步骤电压，start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript是电容上的初始电压。