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主要内容

RC阶跃响应

RC电路如何响应电压步长?我们把总响应解为强迫响应和自然响应的和,RC阶跃响应是所有数字电路的基本行为。
让我们将电压骤升到电阻电容(RC)电路,并观察电容上的电压会发生什么变化。
我们想要找到电容上的电压v(t)作为时间的函数。
当电路中的某些东西发生变化时,例如开关闭合,电路元件中的电压和电流就会根据新的情况进行调整。如果变化是一个突然的步骤,就像这里一样,电压和电流的响应称为阶跃响应。阶跃响应是一种常见的方法,它给电路一个小的“踢”,看看它做什么。它告诉我们很多关于电路的性质。

我们要做的是什么

电路的总响应可以分解为强迫响应自然响应。这些响应可以使用叠加原理进行组合。
  • 强制响应是在打开源时计算的,但初始条件(内部存储的能量)设置为零。
  • 自然响应是指电路所做的事情,包括初始条件,(电容器的初始电压或电感的电流),但输入被抑制。
总响应 = 强制响应 + 自然响应
我们使用这种强制和自然响应的方法推导出RC网络的阶跃响应:
v(t)=VS+(V0VS)et/RC
VS是电压步长。
V0是电容器的初始电压。

找到RC 阶跃响应

我们感兴趣的是电容上的电压,v是时间的函数。我们先看看开关关闭前发生了什么。然后我们从现在跳到很长一段时间,然后算出电路的终点。最后,我们来看看开关关闭到很长一段时间之后会发生什么。

初始状态

在开关关闭之前,(t<0),示意图告诉我们电容器上存在一个初始电压:v(0)=V0
我们知道电路中的电流是0,因为开关是开着的。这些是电路的初始条件

最终状态

如果我们在t=0处关闭开关,电流就会开始在现已完成的电路中流动。只要电阻上有电压差,电流就会继续流动。
在将来的某个时候,电容电压v将与源电压VS相同。当这种情况发生时,电阻上的电压VSv将为0,电流将降至0。这是电路的最终状态
概要: 电路开始没有电流,结束没有电流,但是电压(和电流)在开始和结束之间起作用。

过渡时期

在初始状态和最终状态之间,电流和电压根据电压源施加的新条件进行调整。这被称为瞬态周期,即事物发生变化的时候。在此期间v所做的更改是RC电路的瞬态响应。在我们的示例中,开关关闭事件将电压步长应用于RC电路,因此这也称为阶跃响应
我们将使用我们对初始和最终状态的知识,加上我们对RC的了解,来精确理解瞬态响应。

分析

为了开始分析这个电路,我们使用基尔霍夫电流定律为右上角的节点写了一个电流方程。我们把流出结点的电流加起来:
iR+iC=0vVSR+Cdvdt=0
我们把它展开,使它看起来像一个微分方程:
vRVSR+Cdvdt=0
Cdvdt+vR=VSR
dvdt+vRC=VSRC
初始条件:v(0)=V0
这是我们要解的微分方程。右边有这样一项:VS/RC。这不是 v,也不是 v的导数。因此,我们说这个方程是非齐次的
解非齐次微分方程不是世界上最简单的事情,所以我们会想出一个策略。

策略:找到强迫和自然的反应

这两个复杂的问题(输入信号和初始条件)使得求解非齐次方程变得有些繁琐,数学上可能很棘手。和往常一样,我们的策略是把问题分成几个部分。我们通过梳理强迫自然的反应,将更大的问题分成两个更简单的问题。分别求解强迫响应和自然响应要比直接求解非齐次方程简单。
什么是强迫反应?强迫响应是在所有存储的能量最终消散之后,输出(电容上的电压)最终会到达的地方。强制响应通过忽略储能元件的存在来实现这一点(在本例中,它忽略了电容器及其初始电压)。
强迫响应不能告诉我们开关一开始关闭时发生了什么,或者在过渡到最终状态时发生了什么,因为它忽略了存储的能量。为此,我们需要自然的反应。
自然响应告诉我们,当电路内部存储的能量(电容器上的初始电压)被允许耗散时,电路会做什么。它通过忽略强迫输入(开关关闭引起的电压步长)来做到这一点。自然响应的“终点”总是零电压和零电流。
最后,我们结合了强迫和自然的反应,得到了完整的故事。强迫反应将其意志强加于自然反应之上,并赋予其不同于零的终点。这给出了总的响应

强迫响应加自然响应是叠加

强制响应考虑外部输入。
自然反应考虑内部初始条件。
我们通过将这两个值相加得到总相应
这就是叠加的原理。
初始条件输入强制响应0in(t)+自然响应i.c.’s0=总响应xxxi.c.’sin(t)
vt=vf+vn
(下标tfn代表总响应、强制响应和自然响应。)

解决驱动电路问题

求解外源驱动电路的方法为:
  • 初始条件设为0,求解强制响应。
  • 将输入设置为0,并求解自然响应。
  • 将强制响应添加到自然响应中,以获得总响应。
  • 使用初始条件来解析任何常量。

RC电路的强制响应

强制响应vf(t)是直接由输入引起的总响应的一部分,同时假设初始条件都是0。我们暂时不考虑初始条件,而是寻找非齐次微分方程的解。强制响应的解决方案通常是输入的缩放版本。
t=0之前,我们知道强迫响应为0,因为电压源与电阻和电容断开。
对于 t>0 方程式是:
dvfdt+vfRC=VSRC
我们的方法是猜测强制响应的解决方案vf,并进行尝试。对于强制响应,一个好的猜测应该类似于输入。因为t>0的输入是常数,所以我们猜测强制响应也是常数:
vf=Kf
把这个代入 t>0的微分方程,看看会发生什么:
dKfdt+KfRC=VSRC
主要的导数项是0,剩下:
KfRC=VSRC
所以强制响应微分方程成立,如果:
vf=Kf=VS
这是我们强制响应:
(巧合的是,它看起来和输入完全一样。)

RC电路的自然响应

现在我们解自然响应。(你可以在RC 自然响应中详细查看推导过程。)对于自然响应,我们抑制(关闭,设置为零)输入,只解决电路本身。
关闭输入意味着用一个短的电压源替换电压源。当我们抑制输入时,原始非齐次微分方程的右边变成了0,变成了一个齐次微分方程。(我们知道怎么解。)
dvndt+vnRC=0
提出了一种具有两个可调参数的指数形式的vn的求解方法,并进行了实验。
vn=Knest
把它代入齐次微分方程。
sKnest+1RCKnest=0
我们可以提出普通的Knest项:
Knest(s+1RC)=0
如果Knest是有限的,那么Knest永远不会变成0。如果它们中的任何一个变成了0,那么答案就很无聊。然而,如果:
s+1RC=0
这称为RC系统的特征方程。我们将来会看到更多这样的例子。
s=1RC
这给了我们一个自然响应:
vn=Knet/RC
通过齐次方程我们得到了s 和一个自然反应。自然响应只是RC电路的一个属性,并不完全与某个输入函数纠缠在一起。我们还需要算出Kn。我们待会再做,作为总反应的一部分。

总响应 = 强迫响应 + 自然响应

强制响应考虑了输入信号。
自然响应考虑了内部初始条件。
现在我们将它们合并以得到总的响应,这两个响应都占了。
vt=vf+vn
vt=VS+Knet/RC

使用初始条件查找Kn

这就是我们用初始条件求出Kn的地方。我们知道t=0时的总响应必须是vt=V0。(响应,而不仅仅是自然反应。)将已知的t=0代入总响应方程:
V0=VS+Kne0/RC
指数表达式变成1,剩下:
V0=VS+Kn
Kn=V0VS

集合整个响应

现在我们将V0VS放入总响应中,得到:
vt=VS+(V0VS)et/RC
就是这样。这是一个系列RC组合对电压步骤的总响应。
如果电容没有初始电压,v(0)=0,则总响应方程为:
vt=VSVSet/RC
vt=VS(1et/RC)

结束语

强迫响应是什么意思?强迫响应基本上忽略了存储在电容器中的能量和初始电压。强迫响应告诉我们,当所有储存的能量最终耗散后,输出电压最终会到达什么地方。
强迫反应没有告诉我们在开始时发生了什么,或者在过渡到最终状态的过程中发生了什么,因为它忽略了储存的能量。
自然响应告诉我们,当储存的能量被允许耗散时,一个隔离电路会做什么。自然响应的“目的地”总是零。强制响应为自然响应提供了一个新的目的地。在我们的示例中,新目的地是VS

总结

我们讨论了如何解决一个电阻电容电路与驱动电压。我们用基尔霍夫电流定律建立了一个表示电路的微分方程。然后我们用强迫和自然响应的方法求解。
  • 强制响应是电路在启动源时所做的,但初始条件设为零。
  • 自然响应是电路所做的,包括初始条件,但输入被抑制。
  • 总响应强制响应加上自然响应的和。这些响应可以用叠加原理结合起来。
总响应 = 强制响应 + 自然响应
对于系列RC 线路,步骤响应为:
v=VS+(V0VS)et/RC
VS是步骤电压,V0是电容上的初始电压。

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