主要内容
RLC自然响应-推导
RLC电路自然响应的形式推导。威利·麦卡利斯特著。
介绍
现在我们来看一下电阻-电感-电容 的自然响应。这将是我们要分析的最后一个用到全微方程处理的电路。
我们要做的是什么
我们将用 阶线性微分方程来为 电路建模。在此方程中,电流 将会被选作自变量:
得到的特征方程为:
我们将用二次根式求解特征方程的根:
通过替换变量 和 ,我们可以将 简化为:
这里,
,且
我们将会解一个带有具体元件值的 示例电路,且探索电流和电压看起来是什么样子。
策略
我们遵循之前文章中解二阶LC电路时用到的相同的推理。
- 创建一个基于
、 、 元件的 - 方程上的二阶线性微分方程。我们会用基尔霍夫电压定律来构建方程。 - 我们现在来做一个假设。跟平常一样,我们肯定会遇见
形式的指数方程。 - 将提出来的解插入到微分方程中。指数项将会析出因数,并给我们留下用变量
表示的特征方程。 - 用二次根式为特征方程求根。
- 通过计算初始条件找出常数。
- 欢呼。
用微分方程给电路建模
当开关闭合时,电路是这样的(电感器和电阻上的电压用 和 来表示):
我们可以给每一个独立元件写出 - 方程。
我们可以从左下角开始写基尔霍夫电压定律(KVL)并以顺时针的顺序求总电压。电感器中电压上升,同时电阻和电容器中的电压下降。
用相应的 项替换掉相应的 项将会给我们:
如果我们想的话,我们可以着手解这个方程,但是积分项非常棘手。如果我们取整个方程的导数的话,我们就可以把整个积分给拿掉。
这就给我们以下的方程。此方程左边有一个二次导数项,一个一次导数项,还有一个 项,右边仍然等于 。
这就是个齐次二阶常微分方程。由于每一项都与 和其导数相关,所以它是齐次的。它也是二阶的,因为最高导数项是一个二次导数。它是“常”的,是因为自变量只有一个(没有偏导数)。现在我们开始解微分方程。
尝试求解
其次,将提出的解代入微分方程。如果方程成立,那么就证明我们的答案没有问题。
现在我们来操作带有导数的项。
中间项: 项的一次导数是:
首项:我们取两遍 项的导数:
所以,首项变成了:
将导数代回微分方程:
现在我们可以因式分解 项:
使等式成立
现在我们来找一下使等式成立的几种方法。
我么可以将 设为 。这就意味着 且我们没有向电路中输入任何东西,电路也没有输出任何东西。这没什么意思。
这就叫做 电路的特征方程。
解特征方程的根
我们找一下使特征方程成立的 的值。(我们想找到特征方程的根)
我们有个符合此情况的工具,二次求根公式:
对所有二次方程:
应用二次求根公式:
回顾特征方程,我们可以代入电路元件的值来找到根。 , , 。
这就是自然频率 的答解。我们需要把这个解进一步分解来找到其意义所在。
我们可以将方程的一部分用新变量 和 来表示。
让我用这种形式写下特征方程 \text L :
如果我们用 和 ,特征方程就可以被写成:
我们可以通过将分母 分配到每一项的方式来修改二次求根公式:
根号内的第二项将会约分成:
然后,这就可以让我们用 和 来表示 :
我们知道 是某种频率(它必须要有 的单位)。这就意味着与 相等的两项也必须是某种频率。
被称为阻尼因子。它会决定整体信号衰减到零的速度。 也被称作谐振频率。它将决定系统前后摆动的速度。这与我们在 自然响应中发现的共振频率相同。
尝试求解,升级版
二次求根公式给了我们两个关于 的解,我们称它们为 和 。我们需要将这两项都包含在求解中,所以我们将解决方案升级为两个独立的指数项的线性组合(叠加)。其中有四个可调参数:
示例电路
现在,用一些实际的元件值来做处一个详细的示例是很有帮助的,因为我们可以认识到一个特定的解是如何求得的。这是我们的示例电路:
代入真正的元件的值:
和平常一样,假设一个 形式的解。
我们运行了对于上述步骤的分析,得到了这个特征方程:
利用二次求根公式求解特征方程的根:
代入实际元件的值:
(由于 已经被用作为电流的表示符号,电气工程师用 来表示虚数 )
我们得到了一个复数答案。就像我们对 自然响应所做的一样,只是这次的答案同时包含实部和虚部。
解特征方程的根时给了我们两个关于 的答案。所以, 的初步解现在被写成两个不同指数项的叠加:
指数项是复共轭项。我们现在来研究一下这种写法。我们可以分解指数上的实部和虚部:
然后因式分解出 项:
注意 的实部通过因式分解得到一个指数衰减的首项, 。
小括号里的项是两个虚数指数函数,其中指数是共轭复数。这看起来就像我们在 的自然响应中看到的一样。我们用欧拉公式来帮助我们解这些项。
欧拉公式
和
在链接视频中,每次Sal说 的时候,我们说 。
这些公式允许我们转换 到一个正常的复数。
应用欧拉公式
我们可以用欧拉公式来转换总和:
到
乘法分配 和 :
然后合并 cos 项和 sin 项:
在不把等式弄乱的情况下,我们可以通过用 替换 来简化这个等式。让 , )。
于是,前面的表达式就变成了:
然后现在我们把这个放入原先的初步解中:
到目前为止一切顺利。接下来,我们需要用初始条件算出 和 。
找到初始条件
对于二阶方程来说,你需要两个初始条件来保证得到一个完整的解:一个给自变量 ,一个给它的一次导数 。
如果我们可以找到在某一时间点找到 和 ,我们就可以找到 和 。
为 找初始条件几乎与为 LC 电路找初始条件是一样的。我们只需要多考虑一下电阻就可以了。
这是我们所知道的 (开关闭合之前的那一刻)时:
- 开关尚未闭合,所以
- 指定启动电容电压:
如果 是刚刚关闭开关的那一刻,我们的目标就是找到 和 。
我们知道一些关于电感器和电容器的特性,它们告诉了我们在开关闭和时,也就是 到 之间发生了什么:
- 电感器电流不会瞬间产生变化,所以
- 电容器电流也不会瞬间产生变化,所以
现在我们知道一个初始条件, 。然后,我们知道一些关于电压的属性,但是我们并不知道 。
让我们来看第二个初始条件, 。每次我看到 时,我就会想到电感 - 方程。如果我们可以找到穿过电感器的电压,我们就可以找到 。让我们通过消元法来达到目的。
电圈周围的基尔霍夫电压定律是:
由于 ,也就是说穿过电阻的电压 必须等于 。我们也知道穿过电容器的电压是 。将这些数据代入到KVL方程:
然后我们现在知道在 时的电感器电压是:
我们可以利用上式和电感 方程来推导出 :
开关闭合后那一瞬间,电感器中的电流有一个 安培每秒的初始斜率。
用初始条件来找常数 和
我们提出的初始解决方法是:
初始条件是:
如果我们在 时取 值,我们就可以找到其中一个常数 。代入 和 到初步解中:
让我们用第二个初始条件来找到 :
我们需要给 的导数一个等式。从哪里找呢?要不然我们取初步解的导数?
初步解是两个方程的乘积。我们用乘积法则来求它的导数:
识别乘积的两部分及其导数:
根据乘积法则来组合其部件:
我们现在可以在 时求解这个表达式:
电流的解
最后,经过大量的努力,目前电流的解是:
当开关闭合时,电流会有一个很大的上升浪,呈现出正弦波的第一个峰的形状。由于当电荷在电阻器中来回流动时系统中的能量迅速消散,正弦波经过几次摆动后很快就消失了。
在本例中,电阻值所起的“摩擦”作用代表了相当高的能量耗散率。在降为零之前,电流只明显地改变了两次符号。
这是一个欠阻尼解的例子。我们将在下一节中介绍这个描述性术语。
解电压
电路中只有一个电流。既然我们知道了电流的自然响应,我们就能求出三个电压的自然响应。
电阻的电压
我们用欧姆定律来找到电阻的电压: 这里有一个 “ ” 号,因为 相对于
电感器电压
电感器电压是从电感 - 方程出现的:
电容器电压
为了求电容电压,我们可以用电容 - 方程的积分形式: 这里有另一个 “ ” 号,因为 的方向相对于
这是画在一起的三个电压:
总结
得到的特征方程为:
利用二次根式求解特征方程的根:
通过替换变量 和 ,我们将 简化为:
在这里,
且
我们最后解决一个示例电路。此电路的元件会产生一个来回摆动多次的电流(和电压)。
根据 和 的相对大小,特征方程的根可以是实数,也可以是复数。在下一篇文章中,我们将会更详细地描述这三种形式:
- 过阻尼,即
,将会让我们得到两个衰减指数方程的和 - 临界阻尼,即
,将会让我们得到 衰减指数方程。 - 欠阻尼,即
,将会给我们衰减的正弦函数。