If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

如果你被网页过滤器挡住,请确保域名*.kastatic.org*.kasandbox.org 没有被阻止.

主要内容

RLC自然响应-推导

RLC电路自然响应的形式推导。威利·麦卡利斯特著。

介绍

现在我们来看一下电阻-电感-电容 (RLC) 的自然响应。这将是我们要分析的最后一个用到全微方程处理的电路。
RLC 电路是我们可以实际构建的真实电路的代表,因为每个真实的电路都有一些有限的电阻。该电路具有丰富而复杂的性能,在电气工程的许多领域都有应用。
电路为RLC自然响应。

我们要做的是什么

我们将用2阶线性微分方程来为 RLC 电路建模。在此方程中,电流 i 将会被选作自变量:
Ld2idt2+Rdidt+1Ci=0
得到的特征方程为:
s2+RLs+1LC=0
我们将用二次根式求解特征方程的根:
s=R±R24L/C2L
通过替换变量αωo,我们可以将s简化为:
s=α±α2ωo2
这里, α=R2L,且 ωo=1LC
α称为阻尼因子ωo谐振频率
我们将会解一个带有具体元件值的 RLC 示例电路,且探索电流和电压看起来是什么样子。

策略

我们遵循之前文章中解二阶LC电路时用到的相同的推理。
  1. 创建一个基于 RLC 元件的 i-v 方程上的二阶线性微分方程。我们会用基尔霍夫电压定律来构建方程。
  2. 我们现在来做一个假设。跟平常一样,我们肯定会遇见 Kest 形式的指数方程。
  3. 将提出来的解插入到微分方程中。指数项将会析出因数,并给我们留下用变量 s 表示的特征方程
  4. 用二次根式为特征方程求根。
  5. 通过计算初始条件找出常数。
  6. 欢呼。

用微分方程给电路建模

开关闭合前的电路状况:电流为 0,且电容器有一个 V0 伏的初始电流。
当开关闭合时,电路是这样的(电感器和电阻上的电压用 vLvR 来表示):
这是刚闭合开关后的电路状况。我们仍需要找到 t=0+ 时的电流和电压(在“找到初始条件”这一部分详细讲解)。
我们可以给每一个独立元件写出 i-v 方程。
vL=Ldidt
vR=iR
vC=1Cidt
我们可以从左下角开始写基尔霍夫电压定律(KVL)并以顺时针的顺序求总电压。电感器中电压上升,同时电阻和电容器中的电压下降。
+vLvRvC=0
用相应的 i 项替换掉相应的 v 项将会给我们:
Ldidt+Ri+1Cidt=0
如果我们想的话,我们可以着手解这个方程,但是积分项非常棘手。如果我们取整个方程的导数的话,我们就可以把整个积分给拿掉。
ddt[Ldidt+Ri+1Cidt=0]
这就给我们以下的方程。此方程左边有一个二次导数项,一个一次导数项,还有一个 i 项,右边仍然等于 0
Ld2idt2+Rdidt+1Ci=0
这就是个齐次二阶常微分方程。由于每一项都与 i 和其导数相关,所以它是齐次的。它也是二阶的,因为最高导数项是一个二次导数。它是“常”的,是因为自变量只有一个(没有偏导数)。现在我们开始解微分方程。

提出解决方案

就像我们做自然响应(RC, RL, LC)的问题一样,我们假设了一个指数形式的解。指数函数有着很奇妙的特性,即其导数看起来与原方程非常相似。当你的微分方程中有很多个导数时,最好是让他们都变得彼此相似。我们假设这种形式的答案:
i(t)=Kest
K 是一个可调整的,表示电流振幅的参数。
st 都在指数上,所以它必然表示某种频率(s 的单位必须与 1/t 的单位相同)。我们把这个称作为自然频率

尝试求解

其次,将提出的解代入微分方程。如果方程成立,那么就证明我们的答案没有问题。
Ld2dt2Kest+RddtKest+1CKest=0
现在我们来操作带有导数的项。
中间项:R 项的一次导数是:
RddtKest=sRKest
首项:我们取两遍 Kest 项的导数:
ddtKest=sKest
ddtsKest=s2Kest
所以,首项变成了:
Ld2dt2Kest=s2LKest
将导数代回微分方程:
s2LKest+sRKest+1CKest=0
现在我们可以因式分解 Kest 项:
Kest(s2L+sR+1C)=0

使等式成立

现在我们来找一下使等式成立的几种方法。
我么可以将 K 设为 0。这就意味着 i=0 且我们没有向电路中输入任何东西,电路也没有输出任何东西。这没什么意思。
est 项永远不会是 0,除非我们等到 t 达到 。这时间可不短!这就给我们留下了唯一一个可实行的方法:所有含 s 的项都等于零。
s2L+sR+1C=0
这就叫做 LRC 电路的特征方程

解特征方程的根

我们找一下使特征方程成立的 s 的值。(我们想找到特征方程的
我们有个符合此情况的工具,二次求根公式:
对所有二次方程:ax2+bx+c=0
应用二次求根公式:
x=b±b24ac2a
回顾特征方程,我们可以代入电路元件的值来找到根。a=Lb=Rc=1/C
s=R±R24L/C2L
这就是自然频率 s 的答解。我们需要把这个解进一步分解来找到其意义所在。
我们可以将方程的一部分用新变量 αωo 来表示。
α=R2L
ωo=1LC
让我用这种形式写下特征方程 (\text L )
s2+RLs+1LC=0
如果我们用 αωo,特征方程就可以被写成:
s2+2αs+ωo2=0
我们可以通过将分母 2L 分配到每一项的方式来修改二次求根公式:
s=R2L±(R2L)2(4L/C4L2)
根号内的第二项将会约分成:
(4L/C4L2)=(4L/C4L2)=1LC
然后,这就可以让我们用 αωo 来表示 s
s=α±α2ωo2
我们知道 s 是某种频率(它必须要有 1/t 的单位)。这就意味着与 s 相等的两项也必须是某种频率。
  • α 被称为阻尼因子。它会决定整体信号衰减到零的速度。
  • ωo 也被称作谐振频率。它将决定系统前后摆动的速度。这与我们在 LC 自然响应中发现的共振频率相同。

尝试求解,升级版

二次求根公式给了我们两个关于s的解,我们称它们为s1s2。我们需要将这两项都包含在求解中,所以我们将解决方案升级为两个独立的指数项的线性组合(叠加)。其中有四个可调参数:
i=K1es1t+K2es2t
s1s2 都是自然频率,
K1K2都是振幅项。

示例电路

现在,用一些实际的元件值来做处一个详细的示例是很有帮助的,因为我们可以认识到一个特定的解是如何求得的。这是我们的示例电路:
RLC 自然响应示例。电容器有一个 10 伏的初始电压。在开关闭和时没有电流流动。
RLC 电路的微分方程是:
Ld2idt2+Rdidt+1Ci=0
代入真正的元件的值:
1d2idt2+2didt+5i=0
和平常一样,假设一个 i(t)=Kest 形式的解。
我们运行了对于上述步骤的分析,得到了这个特征方程:
s2+2s+5=0
利用二次求根公式求解特征方程的根:
s=R±R24L/C2L
代入实际元件的值:
s=2±224152
s=2±4202
s=1±162
s=1±j2
(由于 i 已经被用作为电流的表示符号,电气工程师用 j 来表示虚数 1
我们得到了一个复数答案。就像我们对 LC 自然响应所做的一样,只是这次的答案同时包含实部和虚部。
解特征方程的根时给了我们两个关于 s 的答案。所以,i 的初步解现在被写成两个不同指数项的叠加:
i=K1e(1+j2)t+K2e(1j2)t
指数项是复共轭项。我们现在来研究一下这种写法。我们可以分解指数上的实部和虚部:
i=K1e1te+j2t+K2e1tej2t,
然后因式分解出 e1t 项:
i=et(K1e+j2t+K2ej2t)
注意 s 的实部通过因式分解得到一个指数衰减的首项,et
小括号里的项是两个虚数指数函数,其中指数是共轭复数。这看起来就像我们在 LC 的自然响应中看到的一样。我们用欧拉公式来帮助我们解这些项。

欧拉公式

ejxsinjx,和 cosjx麦克劳林级数展开式,这样就有可能推导欧拉公式
e+jx=cosx+jsinx
ejx=cosxjsinx
在链接视频中,每次Sal说 i 的时候,我们说 j
这些公式允许我们转换 eimaginary 到一个正常的复数。

应用欧拉公式

我们可以用欧拉公式来转换总和:
K1e+j2t+K2ej2t
K1(cos2t+jsin2t)+K2(cos2tjsin2t).
乘法分配 K1K2
K1cos2t+jK1sin2t+K2cos2tjK2sin2t,
然后合并 cos 项和 sin 项:
(K1+K2)cos2t+j(K1K2)sin2t
在不把等式弄乱的情况下,我们可以通过用 A 替换 K 来简化这个等式。让 A1=(K1+K2)A2=j(K1K2)。
于是,前面的表达式就变成了:
A1cos2t+A2sin2t
然后现在我们把这个放入原先的初步解中:
i=et(A1cos2t+A2sin2t)
到目前为止一切顺利。接下来,我们需要用初始条件算出 A1A2

找到初始条件

对于二阶方程来说,你需要两个初始条件来保证得到一个完整的解:一个给自变量 i,一个给它的一次导数di/dt
如果我们可以找到在某一时间点找到 idi/dt,我们就可以找到 A1A2
RLC 找初始条件几乎与为 LC 电路找初始条件是一样的。我们只需要多考虑一下电阻就可以了。
这是我们所知道的 t=0(开关闭合之前的那一刻)时:
开关闭和之前的电路情况。在 t=0 时:
电流是 0 并且电容器初始电压是vC=10V
  • 开关尚未闭合,所以 i(0)=0
  • 指定启动电容电压:vC(0)=V0
如果 t=0+ 是刚刚关闭开关的那一刻,我们的目标就是找到 i(0+)di/dt(0+)。 我们知道一些关于电感器和电容器的特性,它们告诉了我们在开关闭和时,也就是 t=0t=0+之间发生了什么:
  • 电感器电流不会瞬间产生变化,所以 i(0+)=i(0)=0
  • 电容器电流也不会瞬间产生变化,所以 vC(0+)=vC(0)=V0
t=0+ 时,开关关闭后的电路情况。i(0+)=0vC(0+)=10V
现在我们知道一个初始条件,i(0+)=0。然后,我们知道一些关于电压的属性,但是我们并不知道 di/dt(0+)
让我们来看第二个初始条件,di/dt(0+)。每次我看到 di/dt 时,我就会想到电感 i-v 方程。如果我们可以找到穿过电感器的电压,我们就可以找到 di/dt。让我们通过消元法来达到目的。
电圈周围的基尔霍夫电压定律是:
+vLvRvC=0
由于 i(0+)=0,也就是说穿过电阻的电压 vR 必须等于 0。我们也知道穿过电容器的电压是 vC=V0。将这些数据代入到KVL方程:
vL0V0=0
然后我们现在知道在 t=0+ 时的电感器电压是:
vL=V0
我们可以利用上式和电感 di/dt 方程来推导出 di/dt
vL(0+)=Ldidt(0+)
10=1didt(0+)
didt(0+)=10A/sec
开关闭合后那一瞬间,电感器中的电流有一个 10 安培每秒的初始斜率。

用初始条件来找常数 A1A2

我们提出的初始解决方法是:
i=et(A1cos2t+A2sin2t)
初始条件是:
i(0+)=0
didt(0+)=10
如果我们在 t=0 时取 i 值,我们就可以找到其中一个常数 A。代入 t=0i=0 到初步解中:
0=e0(A1cos20+A2sin20)
0=1(A1cos0+A2sin0)
0=(A11+A20)
A1=0
A1=0,因此cos项被消元了。现在常数还剩一个。我们的初步解现在看起来是:
i=A2etsin2t
让我们用第二个初始条件来找到 A2
我们需要给 i 的导数一个等式。从哪里找呢?要不然我们取初步解的导数?
didt=ddt(A2etsin2t)
初步解是两个方程的乘积。我们用乘积法则来求它的导数:
(fg)=fg+fg
识别乘积的两部分及其导数:
f=A2etg=sin2t
f=A2etg=2cos2t
根据乘积法则来组合其部件:
didt=A2etsin2t+A2et2cos2t
didt=A2et(2cos2tsin2t)
我们现在可以在 t=0+ 时求解这个表达式:
10=A2e0(2cos0sin0)
10=A21(20)=2A2
A2=5

电流的解

最后,经过大量的努力,目前电流的解是:
i=5etsin2t
i 作为时间函数的图像是这样的:
一个 RLC 电路的自然响应,R=2ΩL=1H,以及 C=15F。微弱曲线图 ±5et,衰减正弦波的包络线。
当开关闭合时,电流会有一个很大的上升浪,呈现出正弦波的第一个峰的形状。由于当电荷在电阻器中来回流动时系统中的能量迅速消散,正弦波经过几次摆动后很快就消失了。
在本例中,电阻值所起的“摩擦”作用代表了相当高的能量耗散率。在降为零之前,电流只明显地改变了两次符号。
这是一个欠阻尼解的例子。我们将在下一节中介绍这个描述性术语。

解电压

电路中只有一个电流。既然我们知道了电流的自然响应,我们就能求出三个电压的自然响应。

电阻的电压

我们用欧姆定律来找到电阻的电压:( 这里有一个 “” 号,因为 i 相对于 vR)
vR=iR
vR=5etsin2t2Ω
vR=10etsin2t

电感器电压

电感器电压是从电感 i-v 方程出现的:
vL=Ldidt
vL=1ddt(5etsin2t)
vL=5et(sin2t2cos2t)

电容器电压

为了求电容电压,我们可以用电容 i-v 方程的积分形式:(这里有另一个 “” 号,因为 i 的方向相对于 vC)
vC=1Cidt
vC=11/55etsin2tdt
vC=5et(sin2t+2cos2t)
这是画在一起的三个电压:

总结

RLC 电路在电子意义上等同于一个受到摩擦的摆锤。电路可以用这个2阶线性微分方程来建模:
Ld2idt2+Rdidt+1Ci=0
得到的特征方程为:
s2+RLs+1LC=0
利用二次根式求解特征方程的根:
s=R±R24L/C2L
通过替换变量 αωo,我们将 s 简化为:
s=α±α2ωo2
在这里, α=R2Lωo=1LC
我们最后解决一个示例电路。此电路的元件会产生一个来回摆动多次的电流(和电压)。
根据 αωo 的相对大小,特征方程的根可以是实数,也可以是复数。在下一篇文章中,我们将会更详细地描述这三种形式:
  • 过阻尼,即 α>ω0,将会让我们得到两个衰减指数方程的和
  • 临界阻尼,即 α=ω0,将会让我们得到 t衰减指数方程。
  • 欠阻尼,即 α<ω0,将会给我们衰减的正弦函数。

想加入讨论吗?

尚无帖子。
你会英语吗?单击此处查看更多可汗学院英文版的讨论.