If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

如果你被网页过滤器挡住,请确保域名*.kastatic.org*.kasandbox.org 没有被阻止.

主要内容

RLC自然响应-推导

RLC电路自然响应的形式推导。威利·麦卡利斯特著。

介绍

现在我们来看一下电阻-电感-电容 left parenthesis, start text, R, L, C, right parenthesis, end text 的自然响应。这将是我们要分析的最后一个用到全微方程处理的电路。
start text, R, L, C, end text 电路是我们可以实际构建的真实电路的代表,因为每个真实的电路都有一些有限的电阻。该电路具有丰富而复杂的性能,在电气工程的许多领域都有应用。
电路为start text, R, L, C, end text自然响应。

我们要做的是什么

我们将用2阶线性微分方程来为 start text, R, L, C, end text 电路建模。在此方程中,电流 i 将会被选作自变量:
start text, L, end text, start fraction, d, squared, i, divided by, d, t, squared, end fraction, plus, start text, R, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, i, equals, 0
得到的特征方程为:
s, squared, plus, start fraction, start text, R, end text, divided by, start text, L, end text, end fraction, s, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, equals, 0
我们将用二次根式求解特征方程的根:
s, equals, start fraction, minus, start text, R, end text, plus minus, square root of, start text, R, end text, squared, minus, 4, start text, L, end text, slash, start text, C, end text, end square root, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction
通过替换变量alphaomega, start subscript, o, end subscript,我们可以将s简化为:
s, equals, minus, alpha, plus minus, square root of, alpha, squared, minus, omega, start subscript, o, end subscript, squared, end square root
这里, alpha, equals, start fraction, start text, R, end text, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction,且 omega, start subscript, o, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, start text, L, C, end text, end square root, end fraction
alpha称为阻尼因子omega, start subscript, o, end subscript谐振频率
我们将会解一个带有具体元件值的 start text, R, L, C, end text 示例电路,且探索电流和电压看起来是什么样子。

策略

我们遵循之前文章中解二阶LC电路时用到的相同的推理。
  1. 创建一个基于 start text, R, end textstart text, L, end textstart text, C, end text 元件的 i-v 方程上的二阶线性微分方程。我们会用基尔霍夫电压定律来构建方程。
  2. 我们现在来做一个假设。跟平常一样,我们肯定会遇见 K, e, start superscript, s, t, end superscript 形式的指数方程。
  3. 将提出来的解插入到微分方程中。指数项将会析出因数,并给我们留下用变量 s 表示的特征方程
  4. 用二次根式为特征方程求根。
  5. 通过计算初始条件找出常数。
  6. 欢呼。

用微分方程给电路建模

开关闭合前的电路状况:电流为 0,且电容器有一个 start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript 伏的初始电流。
当开关闭合时,电路是这样的(电感器和电阻上的电压用 v, start subscript, start text, L, end text, end subscriptv, start subscript, start text, R, end text, end subscript 来表示):
这是刚闭合开关后的电路状况。我们仍需要找到 t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript 时的电流和电压(在“找到初始条件”这一部分详细讲解)。
我们可以给每一个独立元件写出 i-v 方程。
v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, equals, start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction
v, start subscript, start text, R, end text, end subscript, equals, minus, i, start text, R, end text
v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, minus, i, d, t
我们可以从左下角开始写基尔霍夫电压定律(KVL)并以顺时针的顺序求总电压。电感器中电压上升,同时电阻和电容器中的电压下降。
plus, v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, minus, v, start subscript, start text, R, end text, end subscript, minus, v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, 0
用相应的 i 项替换掉相应的 v 项将会给我们:
start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, start text, R, end text, i, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, i, d, t, equals, 0
如果我们想的话,我们可以着手解这个方程,但是积分项非常棘手。如果我们取整个方程的导数的话,我们就可以把整个积分给拿掉。
start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, open bracket, start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, start text, R, end text, i, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, i, d, t, equals, 0, close bracket
这就给我们以下的方程。此方程左边有一个二次导数项,一个一次导数项,还有一个 i 项,右边仍然等于 0
start text, L, end text, start fraction, d, squared, i, divided by, d, t, squared, end fraction, plus, start text, R, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, i, equals, 0
这就是个齐次二阶常微分方程。由于每一项都与 i 和其导数相关,所以它是齐次的。它也是二阶的,因为最高导数项是一个二次导数。它是“常”的,是因为自变量只有一个(没有偏导数)。现在我们开始解微分方程。

提出解决方案

就像我们做自然响应(RC, RL, LC)的问题一样,我们假设了一个指数形式的解。指数函数有着很奇妙的特性,即其导数看起来与原方程非常相似。当你的微分方程中有很多个导数时,最好是让他们都变得彼此相似。我们假设这种形式的答案:
i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, e, start superscript, s, t, end superscript
K 是一个可调整的,表示电流振幅的参数。
st 都在指数上,所以它必然表示某种频率(s 的单位必须与 1, slash, t 的单位相同)。我们把这个称作为自然频率

尝试求解

其次,将提出的解代入微分方程。如果方程成立,那么就证明我们的答案没有问题。
start text, L, end text, start fraction, d, squared, divided by, d, t, squared, end fraction, K, e, start superscript, s, t, end superscript, plus, start text, R, end text, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, K, e, start superscript, s, t, end superscript, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, 0
现在我们来操作带有导数的项。
中间项:start text, R, end text 项的一次导数是:
start text, R, end text, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, s, start text, R, end text, K, e, start superscript, s, t, end superscript
首项:我们取两遍 start text, K, end text, e, start superscript, s, t, end superscript 项的导数:
start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, s, K, e, start superscript, s, t, end superscript
start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, s, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, s, squared, K, e, start superscript, s, t, end superscript
所以,首项变成了:
start text, L, end text, start fraction, d, squared, divided by, d, t, squared, end fraction, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, s, squared, start text, L, end text, K, e, start superscript, s, t, end superscript
将导数代回微分方程:
s, squared, start text, L, end text, K, e, start superscript, s, t, end superscript, plus, s, start text, R, end text, K, e, start superscript, s, t, end superscript, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, 0
现在我们可以因式分解 K, e, start superscript, s, t, end superscript 项:
K, e, start superscript, s, t, end superscript, left parenthesis, s, squared, start text, L, end text, plus, s, start text, R, end text, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, right parenthesis, equals, 0

使等式成立

现在我们来找一下使等式成立的几种方法。
我么可以将 K 设为 0。这就意味着 i, equals, 0 且我们没有向电路中输入任何东西,电路也没有输出任何东西。这没什么意思。
e, start superscript, s, t, end superscript 项永远不会是 0,除非我们等到 t 达到 infinity。这时间可不短!这就给我们留下了唯一一个可实行的方法:所有含 s 的项都等于零。
s, squared, start text, L, end text, plus, s, start text, R, end text, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, equals, 0
这就叫做 start text, L, R, C, end text 电路的特征方程

解特征方程的根

我们找一下使特征方程成立的 s 的值。(我们想找到特征方程的
我们有个符合此情况的工具,二次求根公式:
对所有二次方程:a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0
应用二次求根公式:
x, equals, start fraction, minus, b, plus minus, square root of, b, squared, minus, 4, a, c, end square root, divided by, 2, a, end fraction
回顾特征方程,我们可以代入电路元件的值来找到根。a, equals, start text, L, end textb, equals, start text, R, end textc, equals, 1, slash, start text, C, end text
s, equals, start fraction, minus, start text, R, end text, plus minus, square root of, start text, R, end text, squared, minus, 4, start text, L, end text, slash, start text, C, end text, end square root, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction
这就是自然频率 s 的答解。我们需要把这个解进一步分解来找到其意义所在。
我们可以将方程的一部分用新变量 alphaomega, start subscript, o, end subscript 来表示。
alpha, equals, start fraction, start text, R, end text, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction
omega, start subscript, o, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, start text, L, C, end text, end square root, end fraction
让我用这种形式写下特征方程 left parenthesis, 被\text L 除, right parenthesis
s, squared, plus, start fraction, start text, R, end text, divided by, start text, L, end text, end fraction, s, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, equals, 0
如果我们用 alphaomega, start subscript, o, end subscript,特征方程就可以被写成:
s, squared, plus, 2, alpha, s, plus, omega, start subscript, o, end subscript, squared, equals, 0
我们可以通过将分母 2, start text, L, end text 分配到每一项的方式来修改二次求根公式:
s, equals, minus, start fraction, start text, R, end text, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction, plus minus, square root of, left parenthesis, start fraction, start text, R, end text, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start fraction, 4, start text, L, end text, slash, start text, C, end text, divided by, 4, start text, L, end text, squared, end fraction, right parenthesis, end square root
根号内的第二项将会约分成:
left parenthesis, start fraction, 4, start text, L, end text, slash, start text, C, end text, divided by, 4, start text, L, end text, squared, end fraction, right parenthesis, equals, left parenthesis, start fraction, start cancel, 4, end cancel, start cancel, start text, L, end text, end cancel, slash, start text, C, end text, divided by, start cancel, 4, end cancel, start text, L, end text, start superscript, start cancel, 2, end cancel, end superscript, end fraction, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction
然后,这就可以让我们用 alphaomega, start subscript, o, end subscript 来表示 s
s, equals, minus, alpha, plus minus, square root of, alpha, squared, minus, omega, start subscript, o, end subscript, squared, end square root
我们知道 s 是某种频率(它必须要有 1, slash, t 的单位)。这就意味着与 s 相等的两项也必须是某种频率。
  • alpha 被称为阻尼因子。它会决定整体信号衰减到零的速度。
  • omega, start subscript, o, end subscript 也被称作谐振频率。它将决定系统前后摆动的速度。这与我们在 start text, L, C, end text 自然响应中发现的共振频率相同。

尝试求解,升级版

二次求根公式给了我们两个关于s的解,我们称它们为s, start subscript, 1, end subscripts, start subscript, 2, end subscript。我们需要将这两项都包含在求解中,所以我们将解决方案升级为两个独立的指数项的线性组合(叠加)。其中有四个可调参数:
i, equals, K, start subscript, 1, end subscript, e, start superscript, s, start subscript, 1, end subscript, t, end superscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, s, start subscript, 2, end subscript, t, end superscript
s, start subscript, 1, end subscripts, start subscript, 2, end subscript 都是自然频率,
K, start subscript, 1, end subscriptK, start subscript, 2, end subscript都是振幅项。

示例电路

现在,用一些实际的元件值来做处一个详细的示例是很有帮助的,因为我们可以认识到一个特定的解是如何求得的。这是我们的示例电路:
start text, R, L, C, end text 自然响应示例。电容器有一个 10 伏的初始电压。在开关闭和时没有电流流动。
start text, R, L, C, end text 电路的微分方程是:
start text, L, end text, start fraction, d, squared, i, divided by, d, t, squared, end fraction, plus, start text, R, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, i, equals, 0
代入真正的元件的值:
1, start fraction, d, squared, i, divided by, d, t, squared, end fraction, plus, 2, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, 5, i, equals, 0
和平常一样,假设一个 i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, e, start superscript, s, t, end superscript 形式的解。
我们运行了对于上述步骤的分析,得到了这个特征方程:
s, squared, plus, 2, s, plus, 5, equals, 0
利用二次求根公式求解特征方程的根:
s, equals, start fraction, minus, start text, R, end text, plus minus, square root of, start text, R, end text, squared, minus, 4, start text, L, end text, slash, start text, C, end text, end square root, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction
代入实际元件的值:
s, equals, start fraction, minus, 2, plus minus, square root of, 2, squared, minus, 4, dot, 1, dot, 5, end square root, divided by, 2, end fraction
s, equals, start fraction, minus, 2, plus minus, square root of, 4, minus, 20, end square root, divided by, 2, end fraction
s, equals, minus, 1, plus minus, start fraction, square root of, minus, 16, end square root, divided by, 2, end fraction
s, equals, minus, 1, plus minus, j, 2
(由于 i 已经被用作为电流的表示符号,电气工程师用 j 来表示虚数 square root of, minus, 1, end square root
我们得到了一个复数答案。就像我们对 start text, L, C, end text 自然响应所做的一样,只是这次的答案同时包含实部和虚部。
解特征方程的根时给了我们两个关于 s 的答案。所以,i 的初步解现在被写成两个不同指数项的叠加:
i, equals, K, start subscript, 1, end subscript, e, start superscript, left parenthesis, minus, 1, plus, j, 2, right parenthesis, t, end superscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, left parenthesis, minus, 1, minus, j, 2, right parenthesis, t, end superscript
指数项是复共轭项。我们现在来研究一下这种写法。我们可以分解指数上的实部和虚部:
i, equals, K, start subscript, 1, end subscript, e, start superscript, minus, 1, t, end superscript, e, start superscript, plus, j, 2, t, end superscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, 1, t, end superscript, e, start superscript, minus, j, 2, t, end superscript, comma
然后因式分解出 e, start superscript, minus, 1, t, end superscript 项:
i, equals, e, start superscript, minus, t, end superscript, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, e, start superscript, plus, j, 2, t, end superscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, j, 2, t, end superscript, right parenthesis
注意 s 的实部通过因式分解得到一个指数衰减的首项,e, start superscript, minus, t, end superscript
小括号里的项是两个虚数指数函数,其中指数是共轭复数。这看起来就像我们在 start text, L, C, end text 的自然响应中看到的一样。我们用欧拉公式来帮助我们解这些项。

欧拉公式

e, start superscript, j, x, end superscriptsine, j, x,和 cosine, j, x麦克劳林级数展开式,这样就有可能推导欧拉公式
e, start superscript, plus, j, x, end superscript, equals, cosine, x, plus, j, sine, x
e, start superscript, minus, j, x, end superscript, equals, cosine, x, minus, j, sine, x
在链接视频中,每次Sal说 i 的时候,我们说 j
这些公式允许我们转换 e, start superscript, i, m, a, g, i, n, a, r, y, end superscript 到一个正常的复数。

应用欧拉公式

我们可以用欧拉公式来转换总和:
K, start subscript, 1, end subscript, e, start superscript, plus, j, 2, t, end superscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, j, 2, t, end superscript
K, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, cosine, 2, t, plus, j, sine, 2, t, right parenthesis, plus, K, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, cosine, 2, t, minus, j, sine, 2, t, right parenthesis, point
乘法分配 K, start subscript, 1, end subscriptK, start subscript, 2, end subscript
K, start subscript, 1, end subscript, cosine, 2, t, plus, j, K, start subscript, 1, end subscript, sine, 2, t, plus, K, start subscript, 2, end subscript, cosine, 2, t, minus, j, K, start subscript, 2, end subscript, sine, 2, t, comma
然后合并 cos 项和 sin 项:
left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, cosine, 2, t, plus, j, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, minus, K, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, sine, 2, t
在不把等式弄乱的情况下,我们可以通过用 A 替换 K 来简化这个等式。让 A, start subscript, 1, end subscript, equals, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, right parenthesisA, start subscript, 2, end subscript, equals, j, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, minus, K, start subscript, 2, end subscript)。
于是,前面的表达式就变成了:
A, start subscript, 1, end subscript, cosine, 2, t, plus, A, start subscript, 2, end subscript, sine, 2, t
然后现在我们把这个放入原先的初步解中:
i, equals, e, start superscript, minus, t, end superscript, left parenthesis, A, start subscript, 1, end subscript, cosine, 2, t, plus, A, start subscript, 2, end subscript, sine, 2, t, right parenthesis
到目前为止一切顺利。接下来,我们需要用初始条件算出 A, start subscript, 1, end subscriptA, start subscript, 2, end subscript

找到初始条件

对于二阶方程来说,你需要两个初始条件来保证得到一个完整的解:一个给自变量 i,一个给它的一次导数d, i, slash, d, t
如果我们可以找到在某一时间点找到 id, i, slash, d, t,我们就可以找到 A, start subscript, 1, end subscriptA, start subscript, 2, end subscript
start text, R, L, C, end text 找初始条件几乎与为 LC 电路找初始条件是一样的。我们只需要多考虑一下电阻就可以了。
这是我们所知道的 t, equals, 0, start superscript, minus, end superscript(开关闭合之前的那一刻)时:
开关闭和之前的电路情况。在 t, equals, 0, start superscript, minus, end superscript 时:
电流是 0 并且电容器初始电压是v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, start text, 1, end text, 0, start text, V, end text
  • 开关尚未闭合,所以 i, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, 0
  • 指定启动电容电压:v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript
如果 t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript 是刚刚关闭开关的那一刻,我们的目标就是找到 i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesisd, i, slash, d, t, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis。 我们知道一些关于电感器和电容器的特性,它们告诉了我们在开关闭和时,也就是 t, equals, 0, start superscript, minus, end superscriptt, equals, 0, start superscript, plus, end superscript之间发生了什么:
  • 电感器电流不会瞬间产生变化,所以 i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, i, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, 0
  • 电容器电流也不会瞬间产生变化,所以 v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript
t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript 时,开关关闭后的电路情况。i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, 0v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, 10, start text, V, end text
现在我们知道一个初始条件,i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, 0。然后,我们知道一些关于电压的属性,但是我们并不知道 d, i, slash, d, t, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis
让我们来看第二个初始条件,d, i, slash, d, t, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis。每次我看到 d, i, slash, d, t 时,我就会想到电感 i-v 方程。如果我们可以找到穿过电感器的电压,我们就可以找到 d, i, slash, d, t。让我们通过消元法来达到目的。
电圈周围的基尔霍夫电压定律是:
plus, v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, minus, v, start subscript, start text, R, end text, end subscript, minus, v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, 0
由于 i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, 0,也就是说穿过电阻的电压 v, start subscript, start text, R, end text, end subscript 必须等于 0。我们也知道穿过电容器的电压是 v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript。将这些数据代入到KVL方程:
v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, minus, 0, minus, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, equals, 0
然后我们现在知道在 t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript 时的电感器电压是:
v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript
我们可以利用上式和电感 d, i, slash, d, t 方程来推导出 d, i, slash, d, t
v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis
10, equals, 1, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis
start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, 10, start text, A, end text, slash, start text, s, e, c, end text
开关闭合后那一瞬间,电感器中的电流有一个 10 安培每秒的初始斜率。

用初始条件来找常数 A, start subscript, 1, end subscriptA, start subscript, 2, end subscript

我们提出的初始解决方法是:
i, equals, e, start superscript, minus, t, end superscript, left parenthesis, A, start subscript, 1, end subscript, cosine, 2, t, plus, A, start subscript, 2, end subscript, sine, 2, t, right parenthesis
初始条件是:
i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, 0
start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, 10
如果我们在 t, equals, 0 时取 i 值,我们就可以找到其中一个常数 A。代入 t, equals, 0i, equals, 0 到初步解中:
0, equals, e, start superscript, minus, 0, end superscript, left parenthesis, A, start subscript, 1, end subscript, cosine, 2, dot, 0, plus, A, start subscript, 2, end subscript, sine, 2, dot, 0, right parenthesis
0, equals, 1, left parenthesis, A, start subscript, 1, end subscript, cosine, 0, plus, A, start subscript, 2, end subscript, sine, 0, right parenthesis
0, equals, left parenthesis, A, start subscript, 1, end subscript, dot, 1, plus, A, start subscript, 2, end subscript, dot, 0, right parenthesis
A, start subscript, 1, end subscript, equals, 0
A, start subscript, 1, end subscript, equals, 0,因此cos项被消元了。现在常数还剩一个。我们的初步解现在看起来是:
i, equals, A, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, t, end superscript, sine, 2, t
让我们用第二个初始条件来找到 A, start subscript, 2, end subscript
我们需要给 i 的导数一个等式。从哪里找呢?要不然我们取初步解的导数?
start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, equals, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, A, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, t, end superscript, sine, 2, t, right parenthesis
初步解是两个方程的乘积。我们用乘积法则来求它的导数:
left parenthesis, f, g, right parenthesis, prime, equals, f, prime, g, plus, f, g, prime
识别乘积的两部分及其导数:
f, equals, A, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, t, end superscript, g, equals, sine, 2, t
f, prime, equals, minus, A, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, t, end superscript, g, prime, equals, 2, cosine, 2, t
根据乘积法则来组合其部件:
start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, equals, minus, A, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, t, end superscript, sine, 2, t, plus, A, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, t, end superscript, 2, cosine, 2, t
start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, equals, A, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, t, end superscript, left parenthesis, 2, cosine, 2, t, minus, sine, 2, t, right parenthesis
我们现在可以在 t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript 时求解这个表达式:
10, equals, A, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, 0, end superscript, left parenthesis, 2, cosine, 0, minus, sine, 0, right parenthesis
10, equals, A, start subscript, 2, end subscript, dot, 1, dot, left parenthesis, 2, minus, 0, right parenthesis, equals, 2, A, start subscript, 2, end subscript
A, start subscript, 2, end subscript, equals, 5

电流的解

最后,经过大量的努力,目前电流的解是:
i, equals, 5, e, start superscript, minus, t, end superscript, sine, 2, t
i 作为时间函数的图像是这样的:
一个 start text, R, L, C, end text 电路的自然响应,start text, R, end text, equals, 2, \Omegastart text, L, end text, equals, 1, start text, H, end text,以及 start text, C, end text, equals, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, start text, F, end text。微弱曲线图 plus minus, 5, e, start superscript, minus, t, end superscript,衰减正弦波的包络线。
当开关闭合时,电流会有一个很大的上升浪,呈现出正弦波的第一个峰的形状。由于当电荷在电阻器中来回流动时系统中的能量迅速消散,正弦波经过几次摆动后很快就消失了。
在本例中,电阻值所起的“摩擦”作用代表了相当高的能量耗散率。在降为零之前,电流只明显地改变了两次符号。
这是一个欠阻尼解的例子。我们将在下一节中介绍这个描述性术语。

解电压

电路中只有一个电流。既然我们知道了电流的自然响应,我们就能求出三个电压的自然响应。

电阻的电压

我们用欧姆定律来找到电阻的电压:left parenthesis 这里有一个 “minus” 号,因为 i 相对于 v, start subscript, start text, R, end text, end subscript, right parenthesis
v, start subscript, start text, R, end text, end subscript, equals, minus, i, start text, R, end text
v, start subscript, start text, R, end text, end subscript, equals, minus, 5, e, start superscript, minus, t, end superscript, sine, 2, t, dot, 2, \Omega
v, start subscript, start text, R, end text, end subscript, equals, minus, 10, e, start superscript, minus, t, end superscript, sine, 2, t

电感器电压

电感器电压是从电感 i-v 方程出现的:
v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, equals, start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction
v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, equals, 1, dot, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, 5, e, start superscript, minus, t, end superscript, sine, 2, t, right parenthesis
v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, equals, minus, 5, e, start superscript, minus, t, end superscript, left parenthesis, sine, 2, t, minus, 2, cosine, 2, t, right parenthesis

电容器电压

为了求电容电压,我们可以用电容 i-v 方程的积分形式:left parenthesis这里有另一个 “minus” 号,因为 i 的方向相对于 v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, right parenthesis
v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, minus, i, d, t
v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 1, slash, 5, end fraction, integral, minus, 5, e, start superscript, minus, t, end superscript, sine, 2, t, d, t
v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, 5, e, start superscript, minus, t, end superscript, left parenthesis, sine, 2, t, plus, 2, cosine, 2, t, right parenthesis
这是画在一起的三个电压:

总结

start text, R, L, C, end text 电路在电子意义上等同于一个受到摩擦的摆锤。电路可以用这个2阶线性微分方程来建模:
start text, L, end text, start fraction, d, squared, i, divided by, d, t, squared, end fraction, plus, start text, R, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, i, equals, 0
得到的特征方程为:
s, squared, plus, start fraction, start text, R, end text, divided by, start text, L, end text, end fraction, s, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, equals, 0
利用二次根式求解特征方程的根:
s, equals, start fraction, minus, start text, R, end text, plus minus, square root of, start text, R, end text, squared, minus, 4, start text, L, end text, slash, start text, C, end text, end square root, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction
通过替换变量 alphaomega, start subscript, o, end subscript,我们将 s 简化为:
s, equals, minus, alpha, plus minus, square root of, alpha, squared, minus, omega, start subscript, o, end subscript, squared, end square root
在这里, alpha, equals, start fraction, start text, R, end text, divided by, 2, start text, L, end text, end fractionomega, start subscript, o, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, start text, L, C, end text, end square root, end fraction
我们最后解决一个示例电路。此电路的元件会产生一个来回摆动多次的电流(和电压)。
根据 alphaomega, start subscript, o, end subscript 的相对大小,特征方程的根可以是实数,也可以是复数。在下一篇文章中,我们将会更详细地描述这三种形式:
  • 过阻尼,即 alpha, is greater than, omega, start subscript, 0, end subscript,将会让我们得到两个衰减指数方程的和
  • 临界阻尼,即 alpha, equals, omega, start subscript, 0, end subscript,将会让我们得到 t, dot衰减指数方程。
  • 欠阻尼,即 alpha, is less than, omega, start subscript, 0, end subscript,将会给我们衰减的正弦函数。

想加入讨论吗?

尚无帖子。
你会英语吗?单击此处查看更多可汗学院英文版的讨论.