主要内容
RLC自然响应-推导
RLC电路自然响应的形式推导。威利·麦卡利斯特著。
介绍
现在我们来看一下电阻-电感-电容 left parenthesis, start text, R, L, C, right parenthesis, end text 的自然响应。这将是我们要分析的最后一个用到全微方程处理的电路。
start text, R, L, C, end text 电路是我们可以实际构建的真实电路的代表，因为每个真实的电路都有一些有限的电阻。该电路具有丰富而复杂的性能，在电气工程的许多领域都有应用。
我们要做的是什么
我们将用2阶线性微分方程来为 start text, R, L, C, end text 电路建模。在此方程中，电流 i 将会被选作自变量：
得到的特征方程为:
我们将用二次根式求解特征方程的根:
通过替换变量alpha和omega, start subscript, o, end subscript，我们可以将s简化为:
这里，
alpha, equals, start fraction, start text, R, end text, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction，且 omega, start subscript, o, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, start text, L, C, end text, end square root, end fraction
alpha称为阻尼因子，omega, start subscript, o, end subscript为谐振频率。
我们将会解一个带有具体元件值的 start text, R, L, C, end text 示例电路，且探索电流和电压看起来是什么样子。
策略
我们遵循之前文章中解二阶LC电路时用到的相同的推理。
- 创建一个基于 start text, R, end text、start text, L, end text、start text, C, end text 元件的 i-v 方程上的二阶线性微分方程。我们会用基尔霍夫电压定律来构建方程。
- 我们现在来做一个假设。跟平常一样，我们肯定会遇见 K, e, start superscript, s, t, end superscript 形式的指数方程。
- 将提出来的解插入到微分方程中。指数项将会析出因数，并给我们留下用变量 s 表示的特征方程。
- 用二次根式为特征方程求根。
- 通过计算初始条件找出常数。
- 欢呼。
用微分方程给电路建模
当开关闭合时，电路是这样的（电感器和电阻上的电压用 v, start subscript, start text, L, end text, end subscript 和 v, start subscript, start text, R, end text, end subscript 来表示）：
我们可以给每一个独立元件写出 i-v 方程。
我们可以从左下角开始写基尔霍夫电压定律（KVL）并以顺时针的顺序求总电压。电感器中电压上升，同时电阻和电容器中的电压下降。
用相应的 i 项替换掉相应的 v 项将会给我们：
如果我们想的话，我们可以着手解这个方程，但是积分项非常棘手。如果我们取整个方程的导数的话，我们就可以把整个积分给拿掉。
这就给我们以下的方程。此方程左边有一个二次导数项，一个一次导数项，还有一个 i 项，右边仍然等于 0。
这就是个齐次二阶常微分方程。由于每一项都与 i 和其导数相关，所以它是齐次的。它也是二阶的，因为最高导数项是一个二次导数。它是“常”的，是因为自变量只有一个（没有偏导数）。现在我们开始解微分方程。
尝试求解
其次，将提出的解代入微分方程。如果方程成立，那么就证明我们的答案没有问题。
现在我们来操作带有导数的项。
中间项：start text, R, end text 项的一次导数是：
首项：我们取两遍 start text, K, end text, e, start superscript, s, t, end superscript 项的导数：
所以，首项变成了：
将导数代回微分方程：
现在我们可以因式分解 K, e, start superscript, s, t, end superscript 项：
使等式成立
现在我们来找一下使等式成立的几种方法。
我么可以将 K 设为 0。这就意味着 i, equals, 0 且我们没有向电路中输入任何东西，电路也没有输出任何东西。这没什么意思。
e, start superscript, s, t, end superscript 项永远不会是 0，除非我们等到 t 达到 infinity。这时间可不短！这就给我们留下了唯一一个可实行的方法：所有含 s 的项都等于零。
这就叫做 start text, L, R, C, end text 电路的特征方程。
解特征方程的根
我们找一下使特征方程成立的 s 的值。（我们想找到特征方程的根）
我们有个符合此情况的工具，二次求根公式：
对所有二次方程：a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0
应用二次求根公式：
回顾特征方程，我们可以代入电路元件的值来找到根。a, equals, start text, L, end text，b, equals, start text, R, end text，c, equals, 1, slash, start text, C, end text。
这就是自然频率 s 的答解。我们需要把这个解进一步分解来找到其意义所在。
我们可以将方程的一部分用新变量 alpha 和 omega, start subscript, o, end subscript 来表示。
让我用这种形式写下特征方程 left parenthesis, 被\text L 除, right parenthesis：
如果我们用 alpha 和 omega, start subscript, o, end subscript，特征方程就可以被写成：
我们可以通过将分母 2, start text, L, end text 分配到每一项的方式来修改二次求根公式：
根号内的第二项将会约分成：
然后，这就可以让我们用 alpha 和 omega, start subscript, o, end subscript 来表示 s：
我们知道 s 是某种频率（它必须要有 1, slash, t 的单位）。这就意味着与 s 相等的两项也必须是某种频率。
- alpha 被称为阻尼因子。它会决定整体信号衰减到零的速度。
- omega, start subscript, o, end subscript 也被称作谐振频率。它将决定系统前后摆动的速度。这与我们在 start text, L, C, end text 自然响应中发现的共振频率相同。
尝试求解，升级版
二次求根公式给了我们两个关于s的解，我们称它们为s, start subscript, 1, end subscript和s, start subscript, 2, end subscript。我们需要将这两项都包含在求解中，所以我们将解决方案升级为两个独立的指数项的线性组合（叠加）。其中有四个可调参数：
s, start subscript, 1, end subscript 和 s, start subscript, 2, end subscript 都是自然频率，
K, start subscript, 1, end subscript 和 K, start subscript, 2, end subscript都是振幅项。
K, start subscript, 1, end subscript 和 K, start subscript, 2, end subscript都是振幅项。
示例电路
现在，用一些实际的元件值来做处一个详细的示例是很有帮助的，因为我们可以认识到一个特定的解是如何求得的。这是我们的示例电路：
start text, R, L, C, end text 电路的微分方程是：
代入真正的元件的值：
和平常一样，假设一个 i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, e, start superscript, s, t, end superscript 形式的解。
我们运行了对于上述步骤的分析，得到了这个特征方程：
利用二次求根公式求解特征方程的根：
代入实际元件的值：
（由于 i 已经被用作为电流的表示符号，电气工程师用 j 来表示虚数 square root of, minus, 1, end square root）
我们得到了一个复数答案。就像我们对 start text, L, C, end text 自然响应所做的一样，只是这次的答案同时包含实部和虚部。
解特征方程的根时给了我们两个关于 s 的答案。所以，i 的初步解现在被写成两个不同指数项的叠加：
指数项是复共轭项。我们现在来研究一下这种写法。我们可以分解指数上的实部和虚部：
然后因式分解出 e, start superscript, minus, 1, t, end superscript 项：
注意 s 的实部通过因式分解得到一个指数衰减的首项，e, start superscript, minus, t, end superscript。
小括号里的项是两个虚数指数函数，其中指数是共轭复数。这看起来就像我们在 start text, L, C, end text 的自然响应中看到的一样。我们用欧拉公式来帮助我们解这些项。
欧拉公式
和
在链接视频中，每次Sal说 i 的时候，我们说 j。
这些公式允许我们转换 e, start superscript, i, m, a, g, i, n, a, r, y, end superscript 到一个正常的复数。
应用欧拉公式
我们可以用欧拉公式来转换总和：
到
乘法分配 K, start subscript, 1, end subscript 和 K, start subscript, 2, end subscript：
然后合并 cos 项和 sin 项:
在不把等式弄乱的情况下，我们可以通过用 A 替换 K 来简化这个等式。让 A, start subscript, 1, end subscript, equals, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis，A, start subscript, 2, end subscript, equals, j, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, minus, K, start subscript, 2, end subscript)。
于是，前面的表达式就变成了：
然后现在我们把这个放入原先的初步解中：
到目前为止一切顺利。接下来，我们需要用初始条件算出 A, start subscript, 1, end subscript 和 A, start subscript, 2, end subscript。
找到初始条件
对于二阶方程来说，你需要两个初始条件来保证得到一个完整的解：一个给自变量 i，一个给它的一次导数d, i, slash, d, t。
如果我们可以找到在某一时间点找到 i 和 d, i, slash, d, t，我们就可以找到 A, start subscript, 1, end subscript 和 A, start subscript, 2, end subscript。
为 start text, R, L, C, end text 找初始条件几乎与为 LC 电路找初始条件是一样的。我们只需要多考虑一下电阻就可以了。
这是我们所知道的 t, equals, 0, start superscript, minus, end superscript（开关闭合之前的那一刻）时：
- 开关尚未闭合，所以 i, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, 0
- 指定启动电容电压：v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript
如果 t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript 是刚刚关闭开关的那一刻，我们的目标就是找到 i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis 和 d, i, slash, d, t, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis。
我们知道一些关于电感器和电容器的特性，它们告诉了我们在开关闭和时，也就是 t, equals, 0, start superscript, minus, end superscript到 t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript之间发生了什么：
- 电感器电流不会瞬间产生变化，所以 i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, i, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, 0
- 电容器电流也不会瞬间产生变化，所以 v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript
现在我们知道一个初始条件，i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, 0。然后，我们知道一些关于电压的属性，但是我们并不知道 d, i, slash, d, t, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis。
让我们来看第二个初始条件，d, i, slash, d, t, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis。每次我看到 d, i, slash, d, t 时，我就会想到电感 i-v 方程。如果我们可以找到穿过电感器的电压，我们就可以找到 d, i, slash, d, t。让我们通过消元法来达到目的。
电圈周围的基尔霍夫电压定律是：
由于 i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, 0，也就是说穿过电阻的电压 v, start subscript, start text, R, end text, end subscript 必须等于 0。我们也知道穿过电容器的电压是 v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript。将这些数据代入到KVL方程：
然后我们现在知道在 t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript 时的电感器电压是：
我们可以利用上式和电感 d, i, slash, d, t 方程来推导出 d, i, slash, d, t：
开关闭合后那一瞬间，电感器中的电流有一个 10 安培每秒的初始斜率。
用初始条件来找常数 A, start subscript, 1, end subscript 和 A, start subscript, 2, end subscript
我们提出的初始解决方法是：
初始条件是：
如果我们在 t, equals, 0 时取 i 值，我们就可以找到其中一个常数 A。代入 t, equals, 0 和 i, equals, 0 到初步解中：
A, start subscript, 1, end subscript, equals, 0，因此cos项被消元了。现在常数还剩一个。我们的初步解现在看起来是：
让我们用第二个初始条件来找到 A, start subscript, 2, end subscript：
我们需要给 i 的导数一个等式。从哪里找呢？要不然我们取初步解的导数？
初步解是两个方程的乘积。我们用乘积法则来求它的导数：
识别乘积的两部分及其导数:
根据乘积法则来组合其部件：
我们现在可以在 t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript 时求解这个表达式：
电流的解
最后，经过大量的努力，目前电流的解是:
i 作为时间函数的图像是这样的：
当开关闭合时，电流会有一个很大的上升浪，呈现出正弦波的第一个峰的形状。由于当电荷在电阻器中来回流动时系统中的能量迅速消散，正弦波经过几次摆动后很快就消失了。
在本例中，电阻值所起的“摩擦”作用代表了相当高的能量耗散率。在降为零之前，电流只明显地改变了两次符号。
这是一个欠阻尼解的例子。我们将在下一节中介绍这个描述性术语。
解电压
电路中只有一个电流。既然我们知道了电流的自然响应，我们就能求出三个电压的自然响应。
电阻的电压
我们用欧姆定律来找到电阻的电压：left parenthesis 这里有一个 “minus” 号，因为 i 相对于 v, start subscript, start text, R, end text, end subscript, right parenthesis
电感器电压
电感器电压是从电感 i-v 方程出现的：
电容器电压
为了求电容电压，我们可以用电容 i-v 方程的积分形式：left parenthesis这里有另一个 “minus” 号，因为 i 的方向相对于 v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, right parenthesis
这是画在一起的三个电压：
总结
start text, R, L, C, end text 电路在电子意义上等同于一个受到摩擦的摆锤。电路可以用这个2阶线性微分方程来建模：
得到的特征方程为:
利用二次根式求解特征方程的根:
通过替换变量 alpha 和 omega, start subscript, o, end subscript，我们将 s 简化为:
在这里，
alpha, equals, start fraction, start text, R, end text, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction 且 omega, start subscript, o, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, start text, L, C, end text, end square root, end fraction
我们最后解决一个示例电路。此电路的元件会产生一个来回摆动多次的电流（和电压）。
根据 alpha 和 omega, start subscript, o, end subscript 的相对大小，特征方程的根可以是实数，也可以是复数。在下一篇文章中，我们将会更详细地描述这三种形式：
- 过阻尼，即 alpha, is greater than, omega, start subscript, 0, end subscript，将会让我们得到两个衰减指数方程的和
- 临界阻尼，即 alpha, equals, omega, start subscript, 0, end subscript，将会让我们得到 t, dot衰减指数方程。
- 欠阻尼，即 alpha, is less than, omega, start subscript, 0, end subscript，将会给我们衰减的正弦函数。