LC自然响应

我们推导了电感电容电路的自然相应，$\text{LC}$‍：

在大脑中构建出一个基本结构后，我们进一步了解一下 $\underset{―}{\text{LC}}$‍ 的正式推导过程。

一个存在两个能量存储装置（电容器或电感器）的电路通常被称为 二阶系统。在此系统中，电压和电流会前后滚动，也就是 摆动。这里，我们将简便地表述二阶系统的工作原理。

二阶系统是电路中正弦波的波源。

到目前为止我们一直都在看一阶系统——$\underset{―}{\text{RC}}$‍ 和 $\underset{―}{\text{RL}}$‍。此系统只有单个能量储备——$\text{C}$‍ 或者 $\text{L}$‍。

现在我们来看一个有两个储能元件而没有电阻的电路。含有两个存储元件的电路是二阶系统，因为它们产生二阶导数方程。

二阶系统就是在时间上前后滚动的一阶系统，也就是摆动。一个非常经典的机械二阶系统的例子就是带有钟摆表。在电学里，经典的系统就是 $\text{LC}$‍ 电路。

我们想要找到这个电路的自然响应，也就是没有外力情况下电路的行为特征。自然响应一直是电路总响应的一个重要部分。

我们设定这个电容有一个初始电压，也就是说它存储着一些电荷 $q$‍。我们假设此电感器没有初始电流（即电容器也没有电流）。如果我们此时闭合开关并让它做 “想做的事情”，会发生什么？我们要根据追踪电荷 $q$‍ 的情况来进行判断。

$q$‍ 的数量可以根据 $q=\text{C}v$‍ 来求得，即电容器的初始电压和其电容的积。$q$‍ 在自然响应这一过程中并不会产生变化。开始的时候，所有的电荷都在电容器里面。

我们现在闭合开关来释放电路，并让它做 "自然的事情"。

电感器开始于 $0$‍ 电流。在一瞬间，它 “感受” 到了初始电压，$v={\text{V}}_0$‍。此电压将会在电感器中产生一个上升电流并在其周围的磁场中储存能量。

电流（电荷流）是从哪里来的？当然是从电容器那里。

在电容器处，电流从顶板流出，穿过电感器，然后绕到下面的底板。如果 $q$‍ 正在下降，那么 $q=\text{C}v$‍ 告诉我们 $v_{\text{C}}$‍ 也必须下降。

最终，电容器上下板将会有着完全一样的电荷，因此电容器的电压降至 $0$‍。

因为电感器磁场中储存的能量会保持电流的流动，所以即使电压在 $0$‍ 或接近 $0$‍，电感器处仍旧有电流流过。（当电感电压达到$0$‍，电流不会突然降到$0$‍。）

电感器的电流将持续把电荷从顶板移动到底板。现在，底板上有更多的正电荷，所以电压将会正负反转并成为负的。

当电荷在底板上积聚时，它会排斥来自电感电流(静电斥力)的新电荷。电感电流折转并开始回落到$0$‍。

一段时间后，当所有的电荷全部流到底部板时，电压将达到最高负值。电压值将是电容器启动时的相反数。电荷短暂的停止移动，因此当前的电流是 $0$‍。

上述的图像与我们开始时的图像几乎相同。电流回到零，电压处于峰值。我们可以穿越到故事的开始，重新再讲一遍。除了电荷从电容器的底板回到顶部，其他的地方完全相同。这是一个完整周期：

振动率(频率)是由 $\text{L}$‍ 值和 $\text{C}$‍ 值确定。当我们在下一篇文章中推导 $\text{LC}$‍ 的自然响应时，我们将会发现其原理。

摆动的钟摆是一个用于 $\text{LC}$‍ 电路的机械模拟。

电压 $v(t)$‍ 是关于位置的一个模拟。在钟摆离开中电是，我们测量其位置。当钟摆垂直下落时，距离是 $0$‍，$(v=0)$‍；当钟摆位于两个极端位置时，距离为 $v=+{\text{V}}_0$‍ 或者 $-{\text{V}}_0$‍。

电流 $i(t)$‍ 是关于速度的模拟。 钟摆在中点处最快，可以达到 $(i={\text{I}}_{max})$‍。如果其位置处于两端任何一个终点时，其速度为零，也就是$(i=0)$‍。

初始电压 $+{\text{V}}_0$‍ 相当于我们在释放钟摆之前将其拉到的位置。

释放钟摆这一过程相当于闭合开关。接下来发生的就是自然相应。如果支点是光滑的且空气阻力尚不存在，钟摆将会永远摆动下去。

$\text{LC}$‍ 电路（和钟摆）不停地以正切图像的模式交换电压和电流。电压和电流都是正切图像，而且我们可以看到两者间有 $1/4$‍ 个周期的时间差。

我们探索了关于 $\text{LC}$‍ 电路（二阶系统）所拥有的自然响应的简要描述。电压和电流在一定时间内都处在正弦波的模式中。