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主要内容

电器工程

课程: 电器工程 > 单元 2

课程 4: 自然和强制反应
科学
电器工程
电路分析
自然和强制反应
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电感的i-v方程

Google课堂
我们看一下电感的i-v方程，注意到给电感电流一个流动的地方是多么重要。
电感器是一种理想电路元件。让我们通过电感器的伏安特性方程来进一步了解电感器的特性。

我们要做的是什么

通过这篇文章：
  • 我们将探索电感器的伏安特性 i-v 方程，包括微分和积分形式：
v=Ldidt i=1L∫0Tvdt+i0
  • 我们将用电压源、电流源、开关等元件与电感器一起组成简单电路。
  • 我们将了解为什么电感器的电流恒定时，其作用就像短路一样。
  • 我们将了解为什么电感器中的电流不能突变。
  • 当把电感器连接到开关，将开关置于断开状态时会产生矛盾现象。电感器的电流会流向何处？
  • 我们将展示如何保护敏感元件不被电感器产生的高电压所影响。

电感器的伏安特性（i-v）方程

v=Ldidt i=1L∫0Tvdt+i0
以上分别是电感方程的微分形式和积分形式。
L 表示 电感量，是电感器产生自感应能力的一个物理量。
L 是表示了电压 v 与电流变化率 di/dt 之间关系的一个标量。
L 决定了给定电流变化 di/dt，电感器将产生多大的电压 v。
i0 表示 t=0 时电感器中的初始电流。

电感器的电压与 电流的变化率 成正比

当我们在学习电阻器时，欧姆定律告诉我们电阻器两端的电压与电阻器中的电流成正比：v=iR。
现在我们看到的是电感器的 i-v 方程：v=Ldidt。
方程告诉我们电感器两端的电压与电感器中 电流的变化率 成正比。
对于真实世界的电阻器，我们知道必须控制电压和电流，使其不能超过电阻器能承受的大小。 对于 真实世界的电感器，我们也得控制电压和 电流的变化率，使其不要超过电感器能承受的大小。这个太难了，因为当用开关连通或断开电路时，电流的变化率会非常大。本文最后我们将演示如何设计电路来应对这种情况。

电感器与电流源

首先我们看看电感器与一个理想的电流源组成的电路。
电流源给电感器提供一个恒定的电流，i=I，例如，i=2mA。 电感器两端电压是多少？
电感方程告诉我们：
v=Ldidt
方程告诉我们电感器两端的电压与电感器中电流的变化率成正比。
由于电流源提供了一个恒定的电流，电流的变化率，或称斜率，为 0。
didt=d2dt=0 (大家都知道 2 不会随时间变化)
因此，电感器两端电压为：
v=L⋅0
v=0
如果电感器中的电流不变，那么 di/dt=0，因此电感器两端电压为零。
电压为零，意味着电流不变的电感器相当于被短路，即可看作没有电阻的导线。
就算电流再大，比如 100A，如果电流不变，电感器两端的电压仍然是 0 伏特。

电感器与电压源

现在我们将电感器与一个理想电压源连接，然后看看电感方程会告诉我们什么。
我们具体设 V=3V，L=10mH。
将数值代入电感方程，则有：
v=Ldidt
3=10mH⋅didt
解出 di/dt：
didt=310×10−3=300安培/秒
这意味着电感器中的电流以 300A/s 的速度增大。
这太吓人了，但方程解出来就是如此。不用说，这不是真实世界的电路。我们只是在头脑中构建这种情况，能让我们观察恒定电压下会发生什么。如果我们在真实世界构建这个电路，电流会不断增大，直到真实世界电压源无法输出更多的电流。但是在很短的时间内，真实世界的电感器就是这么运作的。
电感器两端电压不变会导致电流以恒定的变化率增大（或减小）。

电感器与开关

现在我们试一试使用电感方程的积分形式来分析带开关的电路。
这个电路包括一个电压源，串联着我们的 10mH 电感器，另外还串联一个按键开关 （pb）。电感器上端的电压为 3V 不变。我们将电感器两端的电势差（电压）记作 vL。再把按键开关两端的电压记作 vpb，这个值即等于电感器下端的电压。
在 t=0 时刻，我们按下按键，接通电路，让电流开始流动。我们来计算电感器中的电流 i，这一次我们用电感方程的积分形式。

按下按开关之前

我们假设开始时电感器中的电流为零：i(0)=0，因为在 t=0 之前开关没有被按下，电路是断开的。

按下开关之后

我们在 t=0 时，按下开关。
当我们按下开关的那一刻，vpb 变为 0V。从电压源产生的 +3V 电压现在连接到了电感器上，电流开始流动。根据电感方程，电感器在“积分”着电压，而电流从 0 开始逐渐增大：
i(t)=1L∫0tv(x)dx+i(0)
积分符号上的 t 表示开关的按键被按压的时间。只要按键被按着，电感器就持续积分（积累）着电压，电流也持续增大。
我们带入已知的参数 L 和 v：
i(t)=110mH∫0t3dx+0
我们积分计算出 x，我们将上下端值 t 和 0 代入 x。
i(t)=3V10mHx|0t
i(t)=3V10mH[t−0]
i(t)=3V10mHt
按下按键开关之后，电流-时间方程是一条直线，斜率为：
3V0.010H=300安倍/秒
只要开关闭合，电感器中的电流每秒增大 300 安培。所有的能量都储存在电感器的磁场中。
我们举一个具体的例子，比如：一直按着按键 0.002 秒 （即2ms）后，电流会增大到 300⋅0.002=0.6amps 即 600mA。
电流会逐渐增大（或减小），因为电感器在持续积分着电压。
这与我们用电感方程的微分形式得到的结论相同。
我们也许应该在某时刻松开按键开关。

松开按键开关

比如我们在 t=2ms 时松开按键，断开电路。用电感方程的微分形式来分析看看会发生什么。
v=Ldidt
当松开开关，我们期望电流应该从 600mA 瞬间变成 0mA，等一下，这意味着电流 i 从某个有限值变为 0 安培的过程花了 0 秒。
电流的微分 di/dt 等于 (0−600)/0，这是无穷大啊！
根据电感方程，v 将是无穷大！这可能吗？当然不可能。电感器中的电流不能突变，因为电流突变会导致无穷大的电压，这当然是不可能的。这种对电流变化的阻碍是由于电感器磁场中储存的能量。
电感器中的电流不会（不能）突变。
现在我们面临着一个矛盾。当电感器中有电流时，断开开关，意味着电流没有流动的方向。如果电感器中的电流仍然要流动的话，它往哪儿去呢？

理想电路中会发生什么？

糟糕了。我们有想要的电流、电压、一切数据都有，但这种情况摧毁了这个理想电路，因为我们推导出一个矛盾：电流必须同时是零和某个有限数。理想的电路模型已经无能为力了，我感到伤心欲绝。

现实中的电路会发生什么？

当开关在 t=2ms 时刻断开时，我们期望电流花费 0 s 从 600mA 变为 0mA。别这么苛刻，从通路到断路需要 1μsec 时间也可以接受。这时电感器两端的电压为：
vL=Ldidt
vL=10mH⋅(0−600mA)1μsec=10×10−3⋅−600×10−310−6
vL=−6,000伏特！！
电感器两端的电压变得如此巨大！电感器的 + 极为 +3 伏特。电感器电压 vL 的 − 号表示电感器的负极比正极高 6000 伏特。
即 vpb=3+6000=+6003伏特。
这真会发生吗？
当电压如此高时，开关接触间隙中的空气会被击穿，产生电弧。磁场中储存的能量会以闪光的形式释放出来。实际上，这是制造电火花最好的办法之一。
在我们这个电路的现实版本中，在 3000 伏左右就会产生电火花。如果你的开关足够结实，还是能扛得住这个电火花的。如果开关很脆弱（比如你用晶体管当做开关），这么高的电压很可能会把开关打坏。
矛盾：断开的电路和电感器中不为零的电流，如何能同时存在呢？在真实世界里，电感器赢了，断开的电路输了，悖论解决。断开的开关在电弧击穿的时候并不是那么的“断开”。
你可以把这里当做本文的结尾。你已经很好的理解了如何应用电感方程的两种形式来分析电路。后面的部分是关于如何设计电路来应对电感器产生的电压突增，是可选的内容。
如果你了解 二极管 的原理，会对下面的内容有更深的理解。二极管是一种只允许电流从单一方向流过的元件。
我们如何避免电感器导致的电压突增对整个电路造成的破坏？当要设计一个带开关和电感器的电路时，需要提前想好如何确保电流始终有地方可以流动。

让电流有地方流动

我们面对的问题是电感器不喜欢忽然断开电路。这有一个解决这个难题的办法：给电流提供一条备用的路。
如果我们将一个二极管与电感器并联起来，它就会很巧妙的解决这个电压突增问题。当开关断开时，二极管给电流提供了另一条路，避免了电弧和破坏的发生。
首先要注意的是二极管的连接方向：它的正向方向向上，即电流只允许向上流过二极管。
开关合上之前，电路里没有电流流动，所以电感器和二极管两端的电压均为 0 伏。vpb 为 3V。

合上开关

当开关合上时，电流流过电感器和开关，与没有二极管的情况一样：
开关合上时，二极管两端的电压是多少？
vL=
V

此时二极管是顺向偏置还是逆向偏置？
选出正确答案：

二极管中的电流约是多少？
二极管电流 ≈
A

松开按健开关

现在我们松开按健，开关断开。二极管这时帮我们干了一件很聪明的事。之前没有二极管的时候，开关断开导致 vpb 突然增大为巨大的正电压。
现在我们有了二极管，当开关断开时，有个很大的 di/dt，导致了 vpb 迅速增大，目前为止与没有二极管时类似。
当 vpb 增大至超过 3 伏大约 0.7 伏时，二极管发生了什么？
选择所有正确的答案:

二极管给电感器提供了一条通路让电感器中的电流可以继续流动，代替了开关接触之间的电弧。二极管的伏安 i-v 特性不会让电压大到能产生电弧的地步。电感器下端电压 vpb 会增大到 3.7 伏，或者更高一点。二极管将电压 锁定 在这个值，防止可怕的电弧出现。所有人都满意了。
在真实世界中，电感器的电流 i 会不断在二极管循环流动，直到变成热能耗散掉。二极管避免了电感器电压突增，保护了附近的电路元件。

总结

电感器中的电流不会突变。
当电流不变时，电感器可以看作是短路。
组成带电感器的电路时要小心，电流的突然变化，比如开关断开，电路忽然断路，意味着电流的微分 di/dt 会变得非常大，而电感方程告诉我们这种情况下电感器会产生巨大的电压。
应对这种破坏性的电感器电压的一种方法是，为电流设计一条通路，这样就不会有巨大的 di/dt。我们演示了在电路中加入二极管后，当开关断开时，二极管提供了电流通路并将电压锁定在可以接受的范围内，解决了这一问题。

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