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课程 2: 电阻电路

Delta-Wye电阻网络

Delta-Wye变换是一种额外的技术，用于转换某些串联和并联方程无法处理的电阻组合。这也被称为Pi - T变换。

你可能会在简化某些电路时毫无头绪，这是因为它们不属于普通的并联式和串连式的排列。这时我们可以尝试

Δ - Y

转换，读作“Delta-Wye” 。

名称 Delta 和 Wye 来自与他们形状相似的字母。这种转换将会把三个三个呈

Δ

排列的电阻器替换成

Y

行排列的三个电阻器。这种转换同时也是可逆的。

Δ - Y

形式强调的是三个终端。请注意两种形式中节点的数量。

Δ

形式有三个节点，而

Y

形式有四个（多出来的那点正中心）。

这里的电路图就得重新绘制来匹配其电阻器。这就是

π - T

图，

π - T

时比较常规的绘图方式。下面用到的转换等式也是应用于

π - T

中的。

$Δ - Y$ ‍ 转换

因为转换前后的结果要匹配，所以每组两端之间的电阻需保持一致。我们可以同时用三个等式来得出结果。

终端

x

和

y

(且当前终端

z

不与任何事物连接，因此当前在

R 3

的电流是

0

）。在

Δ

配置中，

x

和

y

之间的电阻

R c

与

R a + R b

平行

在

Y

结构，在

x

和

y

之间的电阻与

R 1 + R 2

串联（同样，假设终端

z

不与任何物体连接，因此

R 1

and

R 2

处有着相同大小的电流）。我们现在把它们放在等式两边来求出第一个方程式的解，

R 1 + R 2 = \frac{R c (R a + R b)}{R c + (R a + R b)}

现在我们可以利用相似的式子来表示其它两组终端。注意

Δ

结构的电阻器用字母命名为

(R a

, etc.

)

，

Y

结构的电阻器用数字命名为

(R 1

, etc.

)

。

在同步解出等式后（未显示），我们可以使任一电路形式转换成另一个。

$Δ \to Y$ ‍ 转换

从

Δ

网络转换成

Y

网络的公式：

R 1 = \frac{R b R c}{R a + R b + R c}

R 2 = \frac{R a R c}{R a + R b + R c}

R 3 = \frac{R a R b}{R a + R b + R c}

从

Δ

转换成

Y

会额外增加一个节点。

$Y \to Δ$ ‍ 转换

从

Y

转换成

Δ

的等式：

R a = \frac{R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1}{R 1}

R b = \frac{R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1}{R 2}

R c = \frac{R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1}{R 3}

从

Y

到

Δ

会移除一个节点。

例题

这里有一个对称的例子。假设我们有一个

Δ

形电路，电阻器皆为

3 Ω

。请通过

Δ \to Y

公式求对应的

Y

形电路。

R 1 = \frac{R b R c}{R a + R b + R c} = \frac{3 \cdot 3}{3 + 3 + 3} = 1 Ω

R 2 = \frac{R a R c}{R a + R b + R c} = \frac{3 \cdot 3}{3 + 3 + 3} = 1 Ω

R 3 = \frac{R a R b}{R a + R b + R c} = \frac{3 \cdot 3}{3 + 3 + 3} = 1 Ω

从另一个方向解，

Y \to Δ

，如下，

R a = \frac{R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1}{R 1} = \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1}{1} = 3 Ω

R b = \frac{R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1}{R 2} = \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1}{1} = 3 Ω

R c = \frac{R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1}{R 3} = \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1}{1} = 3 Ω

例题

现在我们来看一个不是那么明显的例子。我们想要求出从顶端到底端的总电阻大小。

不管我们如何尝试，这个电路里面并没有并联式或者串连式的电阻器。但是这并不代表这道题无解。首先，我们可以重新绘制电路图来强调两个

Δ

型互相叠加。

现在选择一个

Δ

结构转换为

Y

结构。我们将引用

Δ \to Y

，看看是否能够打破僵局并创造其它简化机会。

我们从底部的

Δ

结构开始（任意选择）。小心地标出电阻器以及节点。如果想得到正确答案，保持相同的电阻器和节点的称谓至关重要。例如

R c

必须在节点

x

和

y

之间。标注标准可参考Diagram 1。

当我们在下方的

Δ

进行转换时，黑色

Δ

的电阻器将被新的灰色

Y

电阻器所替换，就像这样：

在看答案之前，请自己尝试转换。注意使用正确的一组等式。
计算从 $Δ$ ‍结构到 $Y$ ‍结构后新的三个电阻器的电阻大小，并完成线路图。

瞧，现在我们的电路上就只剩下串连式和并联式排列的电阻器了。继续简化这些已知的组合，直到终端间只剩下一个电阻器。重新绘制电路图。

接下来我们会使用前文提到的简化方法来继续分析并简化。

在左分支，

3.125 + 1.25 = 4.375 Ω

在右分支，

4 + 1 = 5 Ω

两者呈并联式排列，因而电阻为

4.375 | | 5 = \frac{4.375 \cdot 5}{4.375 + 5} = 2.33 Ω

最后，我们将两个串连式排列的电阻器加在一起，

R_{e q u i v a l e n t} = 2.33 + 1.66 = 4 Ω

总结

在简化复杂电路的过程中，

Δ - Y

转换法将是你有力的工具。

你不需要把转换公式都背下来，如果忘记了，可以随时查看。

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电器工程

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Δ−Y‍ 转换

Δ→Y‍ 转换

Y→Δ‍ 转换

例题

例题

总结

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$Δ - Y$ ‍ 转换

$Δ \to Y$ ‍ 转换

$Y \to Δ$ ‍ 转换