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课程: 电器工程 > 单元 3

课程 2: 电场，电势，电压

电势、电压

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电势和电压的正式定义。引用自 Willy McAllister。

用库仑定律可以算出静电荷之间的力。现在我们探索一下如果电荷移动会怎么样。我们先看看在电场中做功的含义，之后引入一些新概念的定义。

电势能
电势（也称作电压）

电场力和电场是矢量（有大小和方向）。电势却是标量（只有大小），是一个简单的物理量。

让我们这样排列电荷，并且问几个问题。开始有两个正点电荷，距离为

r_{A}

。在这个讨论问题中，

Q

位置不变，

q

（我们的试验电荷）会四处移动。

Q

排斥

q

（反之亦然），这就是库仑定律描述的力，

F = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q Q}{{r_{A}}^{2}}

另一种关于电场的说法是，

Q

在周边形成了电场，

E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{r^{2}}

（

Q

的电场方向是从

Q

向四周辐射的方向）。

在离

q

距离为

r_{A}

的地方，电场是，

E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{{r_{A}}^{2}}

我们可以用电场来描述

q

受到

Q

的力，

F = q E

图中的小伙子强调了必须有某个东西才能让

q

在它的位置不动。马上，我们会让小伙子做功。

功和势能

力是改变物体运动状态的原因，推动或者拉回。

F = m a

。

对功的常见定义是 “在一段距离上施加的力”，或者

W = F \cdot d

。在电场标记中，

W = q E \cdot d

能量是 “做功的能力”。当一个物体具有能量是，它就可以做功。

当一个力施加在物体上时，势能就被储存了。一个有势能的物体就有能力去做功。（并不是马上做功，而是有这个能力。）一个物体因其位置而具有势能。

功和势能紧密相关。物体增加的势能等于将物体移动到新的位置所做的功。

你可以在这里对功和能量进行更深入的了解。

场

场是一个可以观察到力的区域。万有引力，电，以及磁都可以产生场。

如果一个场内，物体沿封闭路径运动（回到起始点），并且物体受力所做的净功为零，则这个场被称为守恒场。

重力场是守恒的。如果你抬起一本书，你对书做功了。如果你缓慢地把书放下，书对你做功了。净功为零。你可以抬起并放下一百次，如果书最终位置与开始位置相同，净功就为零。如果你水平移动书，净功也为零，因为水平方向上不受力。

静电场是守恒的。不管带电物体的路径如何，如果它最终回到开始位置，净功就是零。

电势能与重力势能类似

电荷在电场中的行为与质量在重力场中的行为相似。就像重力势能，我们可以谈谈电势能。

电场和重力之间有两种差异，需要记住：

电荷之间可以吸引（就像重力场中的两个重物一样），但是也可以排斥（重物之间从不会排斥）。就像电荷移动地非常远。
我们通常的经验是，重力在物体非常接近地球时会产生，距离相对行星的尺寸微不足道。对于地球问题，重力通常被认为是常量。对电场问题，我们需要考虑 $1 / r^{2}$ ‍。这让数学上更有挑战性，但并不是太难。

对于重力和电力，势能的差异才重要。不管你的书从哪里开始，它都有一定的势能。当你移动书的时候，书本相对起始位置的势能增加或减少了。对于运动电荷，它相对电荷起始位置的电势能增加或减少了。

如果你想知道某个物体是否有势能，那么就去掉任何可能施加在它身上的力。如果物体移动了，那么它就有势能。比如苹果会从树上掉下砸到你的头，它便有重力势能。如果让电荷在电场中自由运动；如果它加速离开，它便有电势能。

在电场中做功

如果将

q

靠近

Q

会发生什么？需要做多少功？为了将

q

靠近

Q

，我们需要用足够的力推动

q

，才能克服排斥的电场力。

通常来说，对于静电学问题，我们想让

q

的运动是 准静态的，所以我们不需要担心动能。在准静态过程中，我们用稍稍大于

q \vec{E}

的力就行，或者确保

\vec{F} - q \vec{E}

无限小。

q

的运动不包含加速，所以也就没有动能。缓慢运动意味着移动

q

的时间是无限长。这个并不重要，因为我们只是考虑过程，而不是真正移动它。

将 $q$ ‍ 从 $A$ ‍ 移动到 $B$ ‍ 做的功是多少？

当电荷在电场中移动时，必须有东西做功才能将其移动。为了移动

q

，我们应用一个稍稍大于

Q

的排斥力的力就行。

让我们算一算：
做功的多少是力乘以距离，

W = F \cdot d

。移动距离是

(r_{A} - r_{B})

。力多大？这有点复杂，因为在移动的路径上力都不相同。离

Q

越近，排斥力越大。离得越近，推动

q

的力就更大。让我们设置一些变量来讨论。

$r$ ‍ 是当前 $q$ ‍ 的位置离 $Q$ ‍ 的距离。
$d r$ ‍ 是距离上很小的变化量。 $d r$ ‍ 十分小，小到可以忽略力的变化。

在任何电场中，正电荷受力为

F = q E

。

施加的外力方向相反，

F_{e x t} = - q E

。

对于点电荷附近的特殊例子，

Q

附近的电场为，

E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{r^{2}}

移动

q

需要的外力为，

F_{e x t} = - q E = - q \cdot \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{r^{2}}

为了处理力在变化的问题，我们可以分别表达每个微小的

d r

上移动

q

需要做的功。这个假设基于

d r

十分微小，力可以看做常数。根据功的定义，

d W = - q E \cdot d r = - q \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{r^{2}} d r

要找出

A

到

B

的总功，将所有微小的功积分，

W_{A B} = \int_{r_{A}}^{r_{B}} - q E \cdot d r

W_{A B} = - \frac{q Q}{4 π ϵ_{0}} \int_{r_{A}}^{r_{B}} \frac{1}{r^{2}} d r

解出定积分，

W_{A B} = - \frac{q Q}{4 π ϵ_{0}} \cdot (- \frac{1}{r}) |_{r_{A}}^{r_{B}}

将

q

从

A

移动到靠近

Q

的位置

B

所需外力做功为，

W_{A B} = \frac{q Q}{4 π ϵ_{0}} (\frac{1}{r_{B}} - \frac{1}{r_{A}})

电势能

问题： $q$ ‍ 的势能如何变化？

q

的势能变化量等于将

q

从

A

移动到

B

所做的功。

{电势能差}_{A B} = \int_{r_{A}}^{r_{B}} - q \vec{E} \cdot d r = \frac{q Q}{4 π ϵ_{0}} (\frac{1}{r_{B}} - \frac{1}{r_{A}})

就像功，电势能是标量。

现在我们对这个表达方式做一下变化，一些特别的东西出现了。这种推理方式与电场的推理类似。

将两项乘开，

{电势能差}_{A B} = (\frac{q Q}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{r_{B}}) - (\frac{q Q}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{r_{A}})

将两项取个名字，方便后面讨论。让，

U_{r} = \frac{q Q}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{r}

U_{r}

代表

q

在离

Q

距离为

r

的地方所具有的 电势能。从

A

到

B

的能量变化可以写作，

{电势能差}_{A B} = U_{B} - U_{A}

U_{A}

和

U_{B}

其实和空间中某个位置有关。也就是说，

U_{B}

取决于

B

点，

U_{A}

取决于

A

点。（并且都取决于

q

和

Q

。）这说明了

U

可以看做某个位置的性质。我们可以将电势能看做来自于

Q

附近的的一个场。电势能是标量，所以电势能场是标量场。它在空间任意一点只有大小，没有方向。（另一个例子是房间内任意一点的温度。）

并且，注意到表达式中不含任何其他点，所以电势能差与

A

到

B

的路径无关。这也是电场的守恒性质。

电势差

另一个简化方式也可以用于考虑电场中的情况。上面的电势能差公式表达了在电场中对任意电荷

q

做功电势能的变化情况。我们定义一个新名词，电势差（去掉“能”），指代单位电荷的电势能。

电势 能 差_{A B} = \frac{U_{B}}{q} - \frac{U_{A}}{q}

电势差是具有

+ 1

库仑的试验电荷的电势能差。

电势能差单位为焦耳。
电势差单位是焦耳/库仑。

电势

我们可以给上面电势差公式的两项取一个名字。我们可以说

Q

周围空间任意一点具有电势，表达为，

电势 = \frac{U_{r}}{q}

可能将其看为空间的性质有些奇怪。（但其实类似于电场的表示。）它其实就是说如果我们将单位电荷放在这个位置，它就会有这个势能。将试验电荷拿走，这个性质仍然存在。

我们可以用电势的概念将这个讨论反向思考。假设我们知道电势在空间中的分布情况。我们可以算出从一点将一个物体移动到另一个地点所做的功，

终点电势减去初始点电势得到电势差。之后
将电势差乘以实际物体的电荷。

点电荷附近的电势分布

在点电荷附近，我们可以将具有相同电势的地方连线，也就是等势线。记住，对于点电荷，只有半径不同电势才不同，所以等势线是以电荷为圆心的同心圆，这里中心电荷为

Q

。

电压

电势差有一个特别的名字。我们叫它电压，单位是伏特，为了纪念亚历山德罗·伏特，电池的发明者。点

A

和点

B

之间的电压是，

{电压}_{A B} = 电势 差_{A B} = \frac{U_{B}}{q} - \frac{U_{A}}{q}

绝对电压

现在公式各项都为电势差。我们谈一谈两点的电势差。我们能不能想出绝对电势差（绝对电压）的概念？没错，我们可以。一个惯例是定义无穷远的位置

电压 = 0

。根据这个惯例，绝对电压的概念也就是将起始点定为

r_{A} = \infty

。之后离点电荷距离为

r

的位置电压就是，

V_{r} = (\frac{Q}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{r}) - {(\frac{Q}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{\infty})}^{0}

1 / \infty

趋近于零。这个位置的绝对电压定义为将单位电荷从无穷远处移动到该点所需要做的功。

V_{r} = \frac{Q}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{r}

这并不是空穴来风。这就是一个概念。这就意味着在

x

位置的电压是

x

与无穷远处的电势差。这也基于我们定义无穷远处参考点的电压为零。

绝对重力势能的概念也具有相同的参考点。我们可以只测量两点之间的重力势能。通常我们测量的参考点（地板，桌上，海平面，地心）都是根据语境确定的。我们根据问题就可以推断出隐含的参考点，就像“你多高？”，‘’山峰多高？“以及”地月之间引力多大？”。

当我们了解电势时，我们用重力做类比。奇怪的是（至少对于我来说），重力势却没有一个可以跟（电压）相对的词汇。我们就称为“重力势”，并没有纪念任何科学家。

总结

这些名词非常类似，容易混淆。

电势能 是带电物体的性质，取决于在电场中的位置。如果有带电物体在某个位置，电势能便存在。
电势差，也叫电压，是在电场中移动电荷所需要的功。电势差是移动具有 $+ 1$ ‍ 库仑的试验电荷所需要的功。
电势是空间一点的性质。即使没有电荷在某点，该点仍然具有电势。
绝对电压 基于无穷远处电压为零的假设。绝对电压的概念也是口头的简化。电压是电势差的定义是永远不会错的。

这里电压的概念是基于固定点电荷

Q

作为电场的来源。我们推导出

Q

周围电压的表达式。整个电势和电压的概念在任何电荷分布情况下都成立。当然，每次具体的表达式都不尽相同（

U = …

的表达式有差异，但是之后使用

U

的公式都正确）。电压概念的强大之处在于它描述了一个标量场。我们不用总是找矢量的方向。这也让算术简单了许多。

什么是伏特？

你可能注意到有些东西没有讲清楚。我们没有将任何关于单位伏特的内容。伏特其实就是“国际单位制的一个单位”。关于 标准电学单位 的文章讲到了伏特定义的细节。

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