倾斜平面上力的分量

这里有一个方块 假设其质量为m 方块位于斜面上 考虑一下这个方块将如何运动 有哪些力作用于方块上 我们假设方块位于地表附近 我们假设方块位于地表附近 存在重力 将方块吸引向地心 反之亦然 地心也被吸引向方块 这里将存在重力 画在方块的中心 这就是重力 重力等于地表附近重力场 也就是g 乘以质量 这样写 质量乘以地表附近重力场 方向向下 或者说朝着地心 然后呢 这里有些让人迷惑 你不能说 法向力正好和重力方向相反 因为法向力是垂直于表面的 而这里 表面并不垂直于重力 我们不能按照水平面上的物体那样考虑这个问题 不过有一件事是可以做而且必须做的 我们可以分解重力 可以将重力分解为垂直于表面的分量 和平行于表面的分量 然后就可以用这些分量来考虑合力是怎样的了 然后就可以用这些分量来考虑合力是怎样的了 下面来分解这个力矢量 将重力分解为垂直于斜面的分量 和平行于斜面的分量 这里我的记号可能有些不依惯例 我这样记 重力垂直于斜面的分力 倒过来的T表示垂直 这个符号中竖线垂直于下面这条线 这个蓝色的力记作 重力平行于斜面的分力 两条平行竖线是平行的符号 平行于斜面 这是重力垂直于斜面的分量 这是重力平行于斜面的分量 下面将用到一些几何和三角学知识 这里已知斜面同水平面的夹角是θ 这里已知斜面同水平面的夹角是θ 未来的视频中 我们会明确这个角为30度 45度等等 In future videos, we'll make it more concrete like 30° or 45° or whatever 这里先使用一般的θ 求出重力各分量的表达式 这里要用到几何知识 这个是直角 这是直角 而三角形内角和是180度 这个角θ 这个角 以及直角90度 加起来是180度 So if this angle, this angle, and this 90° add up to 180 那么这个角θ和这个角加起来就应该是90度 then that means this one and this one need to add up to 90° 这个是θ 那么这个角就是90-θ 另外一个几何知识 不知道你们记不记得 假设有两条平行线 假设这一条平行于这一条 然后有一条截线 像这样 根据基础几何 这个角 等于 这个角 也就是内错角 几何视频中我证明过 这个其实很好理解 你们也可以自己考虑一下截线和角度变化的情况 平行线使得内错角相等 这个角等于那个角 这如何应用到我们的问题中呢 这并不明显 这一条线垂直于地球表面 这条我正在涂蓝的线 力矢量也是 它也垂直于地球表面 这条蓝线 和这条紫线 是平行的 这样一来 斜面这条线就可以看成是截线 也就是说 这个角 和这个角相等 两者互为内错角 这个角相等于这个角 和之前的道理一样 只是这里东西太多 看起来有些混乱 紫线和蓝线是平行的 斜面这条线可以看成是截线 于是这两个角也相等 这个是90-θ度 这个也是90-θ度 再看如何求出这个角 这里我们假设 黄色矢量是垂直于斜面的 这里我们假设 黄色矢量是垂直于斜面的 这是垂直的 而这个角是90-θ 那么上面这个角是多少 这个角+(90-θ)+90肯定等于180 我写一下 设这个角为x x+(90-θ)+90=180 So x + 90-theta + this 90° right over here is going to be equal to 180° 两边可以同时减去180度 两个90也就是180 于是x-θ=0 即x=θ 不管斜面倾角是多少 这个角度都和斜面倾角相等 然后我们可以使用基础三角学知识求出 重力的这两个分量 为了更清楚一些 我把重力平行分量平移下来 为了更清楚一些 我把重力平行分量平移下来 可以看到 垂直分量和平行分量之和 等于总的重力 另外 需要知道这是直角 这个平行于斜面 而这个垂直于斜面 现在 我们可以用基础三角学求出 重力垂直分量和平行分量的大小 首先看垂直于斜面的重力分量的大小 这个矢量的大小 记号看起来很复杂 其实也就是这个矢量的长度 这个矢量的大小比直角三角形的斜边… 直角三角形的斜边是多少 也就是说 总重力的大小是多少 也就是mg的大小 可以写成这样 这等于多少呢 相对于这个角 这里是邻边/斜边 记住soh-cah-toa口诀 cos是邻边/斜边 所以这里等于角度的cos值 cosθ等于邻边/斜边 两侧可以同时乘以斜边的大小 得到 重力垂直于斜面的分量 等于重力的大小乘以cosθ 下一节我将应用这个结果 代入实际数字 让它更具体 很多时候 把人弄迷糊的是记号 其实是很简单的东西 然后还可以使用相同思路考虑平行分量 然后还可以使用相同思路考虑平行分量 平行于斜面的重力分量大小 除以重力的大小 也就是mg的大小 这等于什么 这是角的对边 蓝色矢量的长度是角的对边 而这里 mg的大小 这是斜边 这里是对边比斜边 角度的sin值是对边比斜边 所以这等于sinθ 两侧可以同时乘以重力的大小 于是有 平行于斜面的重力分量大小 等于总重力大小乘以sinθ 这里的推导很简单 了解这些以后 哪怕学物理30年后 你应该仍然会推导 了解这些以后 哪怕学物理30年后 你应该仍然会推导 知道这个 以及这个 就能够将力分解为有用的分量 比如物体如果没有沉入斜面内 我们就知道存在一个法向力 同重力平衡 如果没有维持它在斜面上的摩擦力 物体会因为重力的平行分量而向下加速 我会详细讲到的 就算忘记了这些 直觉考虑一下就知道 无需一步步考虑这些平行线 截线什么的 如果这个角度减小为0 那就成了平面 没有任何倾角 如果角度为0 所有力都是垂直于平面的 如果角度为0 所有力都是垂直于平面的 如果这个为0 垂直的力等于总重力 所以这里是cosθ 我们知道cos0=1 因此 两者相等 如果角度为0 重力平行分量会变成0 因为重力只向下作用 此时sinθ=0 因此重力的平行分量是0 忘记了的话 可以像我刚才那样直观考虑 这能帮你记住哪个是sin 哪个是cos