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主要内容

什么是向心加速度?

了解向心加速度的含义以及如何计算它。

什么是向心加速度?

一个匀速移动的物体能否有加速度? 是可以的! 很多人在开始的时候会觉得这个概念很难理解,因为他们忘记了,物体运动方向的改变——即使物体的运动是匀速的——仍然会产生加速度。
加速度是指速度的变化, 既可以是 大小 上的—也就是速率—或者是 方向上的, 或者两者皆有. 在匀速圆周运动中, 速度的方向一直在变化, 所以总是有一个与之相关的加速度, 即使运动速度可能是固定的. 你自己也会在开车转弯时体会这种加速度—如果你把住方向盘并以固定的速度前进, 你就在做匀速圆周运动. 你所注意到的是一个侧向的加速度因为你和车都在改变前进方向. 越急的弯或者越快的速度, 都会导致这个加速度变得更明显. 在这个章节中我们将会研究这个加速度的方向和大小.
下图展示了一个沿着圆周进行匀速运动的物体. 图中显示了两个路径上的点上的瞬时速度的方向. 加速度是速度的方向的变化, 并且指向旋转运动的中心—也就是圆周的圆心. 矢量图中表示了这个方向. 我们将一个进行匀速圆周运动的物体受到的加速度—由一个净外力产生的—称为向心加速度 ac; 向心的意思是 “朝着中心” 或者 “向着中心”.
一个物体在两个不同的点上的速度的方向, BC, 如图所示, 以及速度的变化, Δv, 看上去大致是指向圆弧中心的. 如果想知道瞬时的变化, 点 BC 必须无限接近并且 Δθ 非常小. 我们会发现 Δv 直指向圆周的中心.
因为 ac=ΔvΔt, 加速度也是向着中心的. 因为 Δθ 非常小, 弧长 Δs 在极小的时刻中等于弦长 Δr . 图像来源: Openstax College Physics
向心加速度的方向是直指向圆周中心的, 但是它的大小是多少呢? 注意由速度向量形成的三角形和由半径 r 和弧长 Δs 形成的三角形是相似的. 三角形 ABCPQR 都是等腰三角形. 速度向量三角形的两条腰是 v1=v2=v. 使用相似三角形的性质, 我们得到 Δvv=Δsr.
加速度是 ΔvΔt, 所以我们先从上面的表达式解出 Δv:
Δv=vrΔs
两边同时除以 Δt 我们就会得到:
ΔvΔt=vr×ΔsΔt
最后, 注意到 ΔvΔt=acΔsΔt=v, 也就是垂直速度, 我们可以得到向心加速度的大小是 ac=v2r.
这是一个沿着半径 r 以速度 v 进行圆周运动的物体所受到的加速度. 所以, 向心加速度在速度更高或者弯更急的情况下更大—也就是较小的半径—就像你在开车的时候注意到的一样. 但是 ac 跟速度的平方成正比还是比较令人惊讶的, 也就意味着, 举个例子, 以 100 km/hr 的速度转弯要比以 50 km/hr 的速度转弯难四倍. 一个更急的弯代表了更小的半径, 所以 ac 对于更急的弯来说更大, 你可能也注意到了这一点.

什么是离心机?

离心机是用来分离不同密度样本的旋转的机器. 高向心加速度使得分离更快发生并且能应用在小样本上. 离心机在科学和医药上有着广泛的作用, 比如将单细胞悬浊液如细菌, 病毒, 和血细胞从液体介质中分离出来以及分离高分子—比如DNA和蛋白质—从溶液中.
一个离心机中有一个质量为 m 的粒子正在匀速旋转. 施加给它的加速度必须是垂直于它的速度的不然它就会沿着直线继续前进. 图片来源: Openstax College Physics
离心机通常会根据它们的向心加速度(相对于重力加速度, g)而评级;在真空中,能达到的最大向心加速度有几十万 g。人用离心机(特别大的离心机) 可以用来测试宇航员对于大于地球重力加速度的承受程度。

涉及到向心加速度的问题是什么样的?

例子 1: 转弯中的车

一辆正在拐弯的车受到的向心加速度的大小有多大, 如下图所示, 沿着半径 500 m 以 25 m/s—大约 90 km/hr 的速度前进? 试比较这个较为平缓的高速弯道上的向心加速度与重力加速度.
图片来源: Openstax College Physics

例子 2: 超离心机

计算一个离轴心距离 7.5 cm 并以 7.5×104 转每分钟旋转的超离心机中的点受到的向心加速度.

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